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专题3.9 《勾股定理》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题3.9 《勾股定理》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共37页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.9 《勾股定理》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
1．下面的四组数中不是勾股数的一组是（ ）
A．5，8，10 B．5，12，13 C．6，8，10 D．3，4，5
2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm
3．如图，在直角中，，则以为圆心，分别为半径的圆形成一个圆环，则该圆环的面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（ ）
A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
6．在中，，，则（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
7．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．勾股定理历史悠久，三国时期的赵爽证明了勾股定理，后人借助“赵爽弦图”，用三个正方形证明勾股定理，如图所示，B，C，M，G在同一条直线上，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形AMFN都为正方形，若五边形ABGFN的面积为34，CM=2，则△ABM的面积为( )
A．10 B． C．5 D．4
10．如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
12．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和是______．
14．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝____．
17．如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位）
18．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
19．如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里．
20．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．
21．如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为_____．
22．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．
23．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．
三、解答题
24．如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为圆心，为半径画弧，交线段于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
25．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b，
∵
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
26．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C会受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
27．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离
28．如图（1）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE＝BF．
[思路梳理]：如图（2）：连接AP，必有S△APB+S△APC＝S△ABC，因为△ABP、△ACP和△ABC的底相等，所以三条高PD、PE和BF满足关系：PD+PE＝BF．
[变式应用]：如图（3）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC的反向延长线上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PE﹣PD＝BF．
[类比引申]：如图（4）：已知P是边长为4cm等边△ABC内部一点，作PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，那么PD+PE+PF等于多少．
[联想拓展]：已知某三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，在平面上有一点P，它到此三角形的三边的距离相等，则这个距离等于多少．
参考答案
1．A
【分析】
根据勾股数的概念可进行排除选项．
解：A、，不是勾股数，故符合题意；
B、，是勾股数，故不符合题意；
C、，是勾股数，故不符合题意；
D、，是勾股数，故不符合题意；
故选A．
【点拨】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．
2．D
【分析】
根据正方形的面积可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值．
解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，
∴BC2＝8，AC2＝17，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，
∴AB＝5cm，
故选：D．
【点拨】本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方．
3．B
【分析】
根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即可求出答案．
解：圆环的面积为：，
∵，
∴．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把两个圆的半径的平方差进行转化成已知的数据是解题的关键．
4．B
【分析】
根据题意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．
解：如图所示，
∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，
∴由题意可得，
＝S正方形DEFA－
故选：B．
【点拨】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到＝S正方形DEFA－．
5．C
【分析】
先利用勾股定理求出BC，利用折叠得出AE=CE，然后△ABE的周长转化为AB+BC即可．
解：△ABC纸片中，∵∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，
∴BC=cm，
∵△DEC沿DE折叠得到△ADE，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长，掌握勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长是解题关键．
6．C
【分析】
根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．A
设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
8．D
【分析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=20-x，BC=9，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+92=(20-x)2．
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
9．C
【分析】
可证得，设 ，则，根据五边形ABGFN的面积等于正方形AMFN的面积加上两个的面积即可求得结论．
解：∵四边形ABCD、四边形CEFG、四边形AMFN都为正方形，
∴∠ABM=∠AMF=∠MGF=90°，AM= MF，
∴∠AMB+∠BAM=90°，∠AMB+∠GMF=90°，
∴∠BAM=∠GMF，
∴，
设 ，则，
在中，
∴，即，
∵，即，
∴，
化简得：，
△ABM的面积为，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，利用面积公式变形化简求得是解题的关键．
10．A
【分析】
作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，
∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
11．8
【分析】
作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．
解：如图，作交的延长于点，
则即为BC边上的高，
在中，，
在中,，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
12．11，60，61
【分析】
由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，计算求解即可．
解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
∴知第5组第一个数是11，
第二、第三个数相差为1，
设第二个数为x，则第三个数为，
由勾股定理得：，
解得x＝60，
∴第5组数是：11、60、61
故答案为：11、60、61．
【点拨】本题考查了数字类规律，勾股定理等知识．解题的关键在于推导规律．
13．49
【分析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=7，
则AC2+BC2=49．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为49．
故答案为：49．
【点拨】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB2=AC2+BC2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
14．##
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
解：由勾股定理得：AC=，
∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，
∴AC•BD=4，
∴×2BD=4，
∴BD=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
15．
【分析】
先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．
解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，∠ECD=90°，
∴CE=AE－AC=8，
设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，
在Rt△ECD中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．
16．2
【分析】
由矩形的性质及角平分线的性质解得，，即可证明是等腰直角三角形，从而解得，最后在中利用勾股定理解题即可．
解：在矩形ABCD中，
平分
是等腰直角三角形
中
故答案为：2．
【点拨】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．14
【分析】
阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积
=
=
=
=
=
=14
故答案为：14．
【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
18．8
【分析】
先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．
19．
【分析】
过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长．
解：由已知得，AB=×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．
过点B作BN⊥AM于点N．
∵在直角△ABN中，∠BAN=30°
∴BN=AB=7海里．
在直角△BNM中，∠MBN=45°，
则直角△BNM是等腰直角三角形．
即BN=MN=7海里，
∴BM=（海里）．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键．
20．102+（x-1）2=x2
【分析】
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．
解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴102+（x-1）2=x2，
故答案为：102+（x-1）2=x2．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
21．1或.
【分析】
过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，由“AAS”可证△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝5，由折叠性质可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，
∴四边形DCMN是矩形
∴AN＝BM＝＝5
∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，
∴AE＝A'E，
若A'C＝BC，且CM⊥AB
∴BM＝A'M＝5
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣10＝2
∴AE＝1
若A'C＝A'B，过点A'作A'H⊥BC，
∵CH2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，
∴36﹣25＝A'B2﹣（5﹣A'B）2，
∴A'B＝
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣＝
∴AE＝
故答案为1或
【点拨】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
22．13
【分析】
根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．
解：如图所示：
BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，
连接BD、AD，
在Rt△BCD中，BD==5（cm），
在Rt△ABD中，AD==13（cm）．
故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm．
故答案为：13．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．
【分析】
根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在R t△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．
解：如图，
根据题意可知：
AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，
线段AE即为滑行的最短路线长．
在Tt△ADE中，根据勾股定理，得
AE＝（m）．
故答案为：
【点拨】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离．
24．(1)(2)4
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD进行计算即可；
（2）由题意根据线段的和差以及勾股定理可得结论．
(1)解：∵∠ACD＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝65°．
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝57.5°．
∴∠ACD＝90°−∠BCD＝90°−57.5°＝32.5°；
(2)∵∠ACB＝90°，BC＝2．5，CE＝2，
∴BD＝BC＝2．5，AC＝AD＋2，
∴AB＝AD＋2．5，
由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，即(AD＋2．5)2＝(AD＋2)2＋2．52，
解得：AD＝4．
【点拨】本题考查的是勾股定理以及三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．见分析
【分析】
首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出，两者相等，整理即可得证．
解：证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵，
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出是解题的关键．
26．（1）会，理由见分析；（2）7h
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴，
∴△ABC为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
（2）由（1）得CD=240km，
如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，
此时△ECF为等腰三角形，
∵，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7h，
∴台风影响该海港持续的时间有7h．
【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；
（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；
（3）根据三角形的面积公式计算．
解：（1），
，
；
（2）△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离为h，
则，即，
解得，．
【点拨】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
28．[变式应用]证明见分析；[类比引申]2cm；[联想拓展]2cm．
【分析】
[变式应用]：如图（3）：连接PA，利用面积法即可解决问题；
[类比引申]：如图（4）：作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC．利用面积法即可解决问题；
[联想拓展]：首先证明△ABC是直角三角形，再利用面积法求解即可解决问题；
解：[变式应用]证明：如图3中，连接PA，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，
∴S△ABC＝AC•BF，S△PAC＝AC•PE，S△PAB＝AB•PD，
又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，
∴AC•BF＝AC•PE﹣AB•PD，
又∵AB＝AC，
∴BF＝PE﹣PD．
[类比引申]解：如图4中，作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC．
∵S△ABC＝BC•AH＝AB•PE+AC•PF+BC•PD，
∵AB＝BC＝AC＝4cm，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2cm，AH＝2cm，
∴PE+PF+PD＝AH＝2cm，
故答案为2cm．
[联想拓展]解：∵52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，
根据题意画图，如图所示：
连接AP，BP，CP．
设PE＝PF＝PG＝x，
S△ABC＝×AB×CB＝30，
S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×30x＝15x，
则15x＝30，
x＝2．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理等知识，利用面积法解决问题是解题的关键.
专题3.9 《勾股定理》全章复习与巩固（基础篇）
（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
1．下面的四组数中不是勾股数的一组是（ ）
A．5，8，10 B．5，12，13 C．6，8，10 D．3，4，5
2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm
3．如图，在直角中，，则以为圆心，分别为半径的圆形成一个圆环，则该圆环的面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（ ）
A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
6．在中，，，则（ ）．
A．100 B．200 C．300 D．400
7．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．勾股定理历史悠久，三国时期的赵爽证明了勾股定理，后人借助“赵爽弦图”，用三个正方形证明勾股定理，如图所示，B，C，M，G在同一条直线上，四边形ABCD，四边形CEFG，四边形AMFN都为正方形，若五边形ABGFN的面积为34，CM=2，则△ABM的面积为( )
A．10 B． C．5 D．4
10．如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
12．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=7，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和是______．
14．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为__________．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝____．
17．如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为______．（平方单位）
18．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米
19．如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是______海里．
20．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．
21．如图：在四边形纸片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．现将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，连接A'C．若△A'BC恰好是以A'C为腰的等腰三角形，则AE的长为_____．
22．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．
23．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为_________m．
三、解答题
24．如图，在中，，以为圆心，为半径画弧，交线段于点，以为圆心，为半径画弧，交线段于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
25．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，FC=DE=b，
∵
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：
26．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C会受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
27．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上，
（1）边AC、AB、BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离
28．如图（1）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE＝BF．
[思路梳理]：如图（2）：连接AP，必有S△APB+S△APC＝S△ABC，因为△ABP、△ACP和△ABC的底相等，所以三条高PD、PE和BF满足关系：PD+PE＝BF．
[变式应用]：如图（3）：已知在△ABC中，AB＝AC，P是底边BC的反向延长线上一点，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PE﹣PD＝BF．
[类比引申]：如图（4）：已知P是边长为4cm等边△ABC内部一点，作PD⊥BC于D，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，那么PD+PE+PF等于多少．
[联想拓展]：已知某三角形的三条边分别是5cm、12cm、13cm，在平面上有一点P，它到此三角形的三边的距离相等，则这个距离等于多少．
参考答案
1．A
【分析】
根据勾股数的概念可进行排除选项．
解：A、，不是勾股数，故符合题意；
B、，是勾股数，故不符合题意；
C、，是勾股数，故不符合题意；
D、，是勾股数，故不符合题意；
故选A．
【点拨】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．
2．D
【分析】
根据正方形的面积可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值．
解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，
∴BC2＝8，AC2＝17，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，
∴AB＝5cm，
故选：D．
【点拨】本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方．
3．B
【分析】
根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即可求出答案．
解：圆环的面积为：，
∵，
∴．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理把两个圆的半径的平方差进行转化成已知的数据是解题的关键．
4．B
【分析】
根据题意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．
解：如图所示，
∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，
∴由题意可得，
＝S正方形DEFA－
故选：B．
【点拨】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到＝S正方形DEFA－．
5．C
【分析】
先利用勾股定理求出BC，利用折叠得出AE=CE，然后△ABE的周长转化为AB+BC即可．
解：△ABC纸片中，∵∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm，
∴BC=cm，
∵△DEC沿DE折叠得到△ADE，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm．
故选C．
【点拨】本题考查勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长，掌握勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长是解题关键．
6．C
【分析】
根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．A
设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了勾股定理．
8．D
【分析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=20-x，BC=9，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+92=(20-x)2．
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
9．C
【分析】
可证得，设 ，则，根据五边形ABGFN的面积等于正方形AMFN的面积加上两个的面积即可求得结论．
解：∵四边形ABCD、四边形CEFG、四边形AMFN都为正方形，
∴∠ABM=∠AMF=∠MGF=90°，AM= MF，
∴∠AMB+∠BAM=90°，∠AMB+∠GMF=90°，
∴∠BAM=∠GMF，
∴，
设 ，则，
在中，
∴，即，
∵，即，
∴，
化简得：，
△ABM的面积为，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，利用面积公式变形化简求得是解题的关键．
10．A
【分析】
作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．
解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，
∵，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
即PA+PB的最小值是；
如图所示，延长AB交MN于点，
∵，，
∴当点P运动到点时，最大，
过点B作，则，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴，
即，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查了最短线路问题和勾股定理，解题的关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
11．8
【分析】
作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．
解：如图，作交的延长于点，
则即为BC边上的高，
在中，，
在中,，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
12．11，60，61
【分析】
由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，知第5组第一个数是11，第二、第三个数相差为1，设第二个数为x，则第三个数为，由勾股定理得：，计算求解即可．
解：由所给勾股数发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
∴知第5组第一个数是11，
第二、第三个数相差为1，
设第二个数为x，则第三个数为，
由勾股定理得：，
解得x＝60，
∴第5组数是：11、60、61
故答案为：11、60、61．
【点拨】本题考查了数字类规律，勾股定理等知识．解题的关键在于推导规律．
13．49
【分析】
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=7，
则AC2+BC2=49．
即正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为49．
故答案为：49．
【点拨】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得AB2=AC2+BC2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
14．##
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
解：由勾股定理得：AC=，
∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，
∴AC•BD=4，
∴×2BD=4，
∴BD=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
15．
【分析】
先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．
解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，∠ECD=90°，
∴CE=AE－AC=8，
设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，
在Rt△ECD中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．
16．2
【分析】
由矩形的性质及角平分线的性质解得，，即可证明是等腰直角三角形，从而解得，最后在中利用勾股定理解题即可．
解：在矩形ABCD中，
平分
是等腰直角三角形
中
故答案为：2．
【点拨】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．14
【分析】
阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积．
解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积
=
=
=
=
=
=14
故答案为：14．
【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
18．8
【分析】
先设水深x米，则AB=x，则有BD=AD+AB=x+2，由题条件有BD=BC=x+2，又根据芦节直立水面可知BD⊥AC，则在直角△ABC中，利用勾股定理即可求出x．
解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米，
故答案为8．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．
19．
【分析】
过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长．
解：由已知得，AB=×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．
过点B作BN⊥AM于点N．
∵在直角△ABN中，∠BAN=30°
∴BN=AB=7海里．
在直角△BNM中，∠MBN=45°，
则直角△BNM是等腰直角三角形．
即BN=MN=7海里，
∴BM=（海里）．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键．
20．102+（x-1）2=x2
【分析】
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．
解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴102+（x-1）2=x2，
故答案为：102+（x-1）2=x2．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
21．1或.
【分析】
过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，由“AAS”可证△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝5，由折叠性质可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，
∴四边形DCMN是矩形
∴AN＝BM＝＝5
∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，
∴AE＝A'E，
若A'C＝BC，且CM⊥AB
∴BM＝A'M＝5
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣10＝2
∴AE＝1
若A'C＝A'B，过点A'作A'H⊥BC，
∵CH2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，
∴36﹣25＝A'B2﹣（5﹣A'B）2，
∴A'B＝
∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣＝
∴AE＝
故答案为1或
【点拨】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
22．13
【分析】
根据题意画出图形，两次运用勾股定理即可得出结果．
解：如图所示：
BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，
连接BD、AD，
在Rt△BCD中，BD==5（cm），
在Rt△ABD中，AD==13（cm）．
故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm．
故答案为：13．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．
【分析】
根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在R t△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长．
解：如图，
根据题意可知：
AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，
线段AE即为滑行的最短路线长．
在Tt△ADE中，根据勾股定理，得
AE＝（m）．
故答案为：
【点拨】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离．
24．(1)(2)4
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD进行计算即可；
（2）由题意根据线段的和差以及勾股定理可得结论．
(1)解：∵∠ACD＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝65°．
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝57.5°．
∴∠ACD＝90°−∠BCD＝90°−57.5°＝32.5°；
(2)∵∠ACB＝90°，BC＝2．5，CE＝2，
∴BD＝BC＝2．5，AC＝AD＋2，
∴AB＝AD＋2．5，
由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2，即(AD＋2．5)2＝(AD＋2)2＋2．52，
解得：AD＝4．
【点拨】本题考查的是勾股定理以及三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．见分析
【分析】
首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出，两者相等，整理即可得证．
解：证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵，
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出是解题的关键．
26．（1）会，理由见分析；（2）7h
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，
∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴，
∴△ABC为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
（2）由（1）得CD=240km，
如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，
此时△ECF为等腰三角形，
∵，
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7h，
∴台风影响该海港持续的时间有7h．
【点拨】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
27．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据勾股定理计算，求出边AC、AB、BC的长；
（2）根据三角形的面积公式，正方形的面积公式，结合图形计算；
（3）根据三角形的面积公式计算．
解：（1），
，
；
（2）△ABC的面积；
（3）点C到AB边的距离为h，
则，即，
解得，．
【点拨】本题考查的是勾股定理，坐标与图形性质，解题关键是掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
28．[变式应用]证明见分析；[类比引申]2cm；[联想拓展]2cm．
【分析】
[变式应用]：如图（3）：连接PA，利用面积法即可解决问题；
[类比引申]：如图（4）：作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC．利用面积法即可解决问题；
[联想拓展]：首先证明△ABC是直角三角形，再利用面积法求解即可解决问题；
解：[变式应用]证明：如图3中，连接PA，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，BF⊥AC，
∴S△ABC＝AC•BF，S△PAC＝AC•PE，S△PAB＝AB•PD，
又∵S△ABC＝S△PAC﹣S△PAB，
∴AC•BF＝AC•PE﹣AB•PD，
又∵AB＝AC，
∴BF＝PE﹣PD．
[类比引申]解：如图4中，作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC．
∵S△ABC＝BC•AH＝AB•PE+AC•PF+BC•PD，
∵AB＝BC＝AC＝4cm，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2cm，AH＝2cm，
∴PE+PF+PD＝AH＝2cm，
故答案为2cm．
[联想拓展]解：∵52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，
根据题意画图，如图所示：
连接AP，BP，CP．
设PE＝PF＝PG＝x，
S△ABC＝×AB×CB＝30，
S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×30x＝15x，
则15x＝30，
x＝2．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理等知识，利用面积法解决问题是解题的关键.
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