专题4.17 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题4.17 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

【要点梳理】

要点一、平方根和立方根

要点二、实数概念及分类

有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类

按定义分：实数

按与0的大小关系分：实数

　特别说明：

（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：

①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；        

③有特定结构的数，如0.1010010001…

（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

（4）（4）实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点一 一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算：

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数   大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

【典型例题】

类型一、平方根与算术平方根

1、已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根．

【答案】

【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可求出和的值，进而求出a和b的值，将a和b的值代入即可求解．

解：∵的平方根是，的算术平方根是4，

∴=9，=16，

∴a=4，b=-1

把a=4，b=-1代入得：3×4-4×(-1)=16，

∴的平方根为：．

【点拨】本题主要考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的定义是解题的关键．注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

【变式1】王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．

小张的解法如下：

依题意可知，是或者是两数中的一个，（1）

当，解得．（2）

所以这个数为．（3）

当时，解得．（4）

所以这个数为．（5）

综上可得，这个数为2或．（6）

王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正．

【答案】这个数为4，小张错在第（3）（5）（6），共3个错处．

【分析】根据知道一个数的平方根时，要求这个数需要平方，由算术平方根的非负性质可知2m-6≥0，从而可对求得的m的值作出取舍．

解：可以看出小张错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”；当时，这个数的算术平方根为；这个数为，故（3）错误；

当时，这个数的算术平方根为（舍去），故（5）错误；

综上可得，这个数为4，故（6）错误；

所以小张错在第（3）（5）（6）．

【点拨】本题主要考查算术平方根、平方根的定义，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．

【变式2】如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．

（1）实数m的值是_______；

（2）求的值；

（3）在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）用减去2即可得到m值；

（2）将m代入中计算即可；

（3）根据相反数的性质得到，根据非负数的性质得到c和d的值，代入计算即可．

解：（1）实数m的值是；

（2）∵m=，

∴

=

=

=；

（3）∵与互为相反数，

∴，

∴=0，=0，

∴c=-2，d=4，

∴==，

∴的平方根为．

【点拨】本题考查了数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法．

类型二、立方根

2、求下列各式中x的值：

(1) (2x－3)3＝36；        (2)(5x－2)3＝－125.

【答案】(1)；（2）.

【分析】(1)方程两边同乘以6，再将方程两边直接开立方即可得到方程的解；

(2)方程两边直接开立方即可得到方程的解.

解：(1) (2x－3)3＝216，

2x－3＝，

2x－3＝6，

x＝.

(2)  5x－2＝，

5x－2＝－5，x＝－.

【点拨】本题考查了立方根的定义，熟练掌握利用立方根的定义求方程的解的方法是解题的关键；

【变式1】简答：

(1)  设+|b3-27|=0,求(a+b)2的值;

(2)  已知225的算术平方根是a,-512的立方根是b,求的值.

【答案】(1)1;(2)6.

【分析】（1）根据算术平方根及绝对值的非负性可求出a及b的值，进而可得出答案；

（2）首先根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值，然后将a、b的值代入化简即可．

解：(1)  由题意知:a3+64=0,b3-27=0,

 解得a=-4,b=3.

 ∴(a+b)2=(-4+3)2=(-1)2=1.

 (2)  ∵=15=a,=-8=b,

 ∴=6.

【点拨】本题主要考查的是算术平方根、立方根的定义.根据算术平方根和立方根的定义求得a、b的值是解题的关键．

【变式2】如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x．

(1)  求x的值；

(2) 求(x－)2的立方根．

【答案】（1）x=﹣1；（2）1．

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；

（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．

解：（1）∵点A、B分别表示1，，

∴AB＝－1，即x＝－1；

（2）∵x＝－1，

∴原式＝(x−)2＝(−1−)2＝1，

∴的立方根为1．

【点拨】本题考查的是实数与数轴，立方根，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．

类型三、实数

3、已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是的整数部分．

(1)  求a+b+c的值．

(2)  求3a﹣b+c的平方根．

【答案】(1)-33(2)±7

【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出a，b的值，再估算出的值即可求出c的值，然后进行计算即可解答；

（2）把a，b，c的值代入3a-b+c中进行计算，然后再求出49的平方根即可解答．

解：（1）由题意得：

3a﹣14+a+2＝0，b+11＝﹣27，

∴a＝3，b＝﹣38，

∵4＜7＜9，

∴23，

∵c是的整数部分，

∴c＝2，

∴a+b+c＝3+（﹣38）+2

＝﹣33；

（2）当a＝3，b＝﹣38，c＝2时，

3a﹣b+c＝9+38+2

＝49，

∵49的平方根是±7，

∴3a﹣b+c的平方根是±7．

【点拨】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键．

【变式1】把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，，，.

（1）有理数集合：；

（2）正实数集合：；

（3）无理数集合：；

（4）负实数集合：.

【答案】见解析

【分析】根据 进行分类即可．

解：（1）有理数集合；

（2）正实数集合；

（3）无理数集合；

（4）负实数集合．

【点拨】本题考查实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0．

【变式2】已知a＝|－|＋|1－|－|－2|，求－2a＋2的平方根．

【答案】－2a＋2的平方根是0.

【分析】先根据绝对值的性质化简a，再代入即可.

解：∵<，1<， >2.

∴a＝－＋－1－＋2＝1，

∴－2a＋2＝0，

∴－2a＋2的平方根是0.

【点拨】此题考查了绝对值的性质和平方根是定义，熟练掌握这个性质是解题的关键.

4、数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．

小华的方法是：

因为＞4，所以﹣2_____2，所以_____（填“＞”或“＜”）；

小英的方法是：

﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣4____0，所以____0，所以_____（填“＞”或“＜”）．

（1）根据上述材料填空；

（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．

【答案】（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）．

【分析】（1）根据不等式的性质即可求解；

（2）根据小华的方法求解即可．

解：（1）∵，

∴，

∴；

，

∵，

∴．

∴，

∴，

故答案是：＞，＞，＞，＞，＞；

（2）∵，

∴，

∴；

【点拨】考查了实数大小比较，读懂题目并能应用，熟练掌握比较大小的解法是解题的关键．

【变式1】讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么．”然后讲了下面的一个例题：比较和的大小．

方法一：．

又∵8＜12，∴．

方法二：200=8，4×3=12．

又∵8＜12，∴．

根据上面的例题解答下列各题：

（1）比较和的大小；

（2）比较1与的大小．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据负数的乘方，幂越大，负数越小，可得答案；

（2）根据乘方，可得实数的减法，根据被减数相同，减数越大，差越小，可得答案．

解：（1）（﹣5）2=150，（﹣6）2=180，150＜180，∴；

（2）（1）2=8﹣2，（）2=8﹣2

∵，∴．

【点拨】本题考查了实数比较大小，掌握平方法比较实数大小是解答本题的关键．

【变式2】比较下列各数的大小：

(1)2和4;(2)和;(3)和.

【答案】(1)2<4； (2)>；(3)>.

【分析】（1）将根号外的数变为平方后移到根号内，然后比较根号内的数的大小即可；

（2）根据两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可；

（3）先变为分母相同的两个数，然后比较分子的大小即可.

解：(1) ∵2=，4=，

28<32，

∴，

∴2<4；

(2)  ∵||==0.1，||=π≈3.14，

0.1<3.14，

∴>；

(3)  ∵=，=，

8>5，

∴>.

【点拨】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键.

5、计算

(1)  ；      (2) ．

【答案】(1) 4    (2) 3

【分析】（1）先化简立方根、算术平方根及绝对值，再算加减；

（2）先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减．

（1）解：原式

（2）解：原式

【点拨】本题考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握立方根、算术平方根的定义和去绝对值、去括号的法则．

【变式1】计算题：

【答案】

【分析】根据算术平方根，绝对值，立方根，有理数乘法的运算法则来求解．

解： 

．

【点拨】本题主要考查了实数的运算，理解算术平方根，绝对值，立方根，有理数乘法的运算法则是解答关键．

【变式2】计算：．

【答案】3

【分析】根据绝对值、零指数幂、负整指数幂和立方根的运算法则计算即可．

解：，

=，

=3．

【点拨】本题考查了实数的混合运算，解决本题的关键是掌握相关的运算法则即可．

6、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简.

【答案】 b-a+2c

【分析】根据数轴得出a-b＜0，b+c＜0，b-c>0，进而化简得出即可．

解：

=

=b-a+b+c-b+c

=b-a+2c

【点拨】此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

【变式1】已知表示，，，四种运算符号中的一种，且对于任意两个不相等的实数，满足以下关系式：，．

(1)  _______；

(2)  的倒数和绝对值都是本身，求的值．

【答案】(1)(2)

【分析】（1）根据题意分析出所表示的运算类型，再进行计算；

（2）的倒数和绝对值等于本身，故，然后进行计算．

(1)解：，，

表示的是加法运算．

．

(2)解：的倒数和绝对值都是本身，

．

．

【点拨】本题考查了新定义运算，有理数的四则运算，解决本题的关键是分析运算是四则运算中的哪一种．

【变式2】观察以下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第5个等式：，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：             ；

（2）写出你猜想的第个等式          （用含的等式表示），并证明．

【答案】（1）；（2），证明详见解析

【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：分母为序号数分子为比序号数大2的数，与比序号数大1的倒数相乘，等于分母为序号数分子为比序号数大2的数减去分母为比序号数大1分子比序号数大2的数，按照此规律即可求解；

（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．

解：（1）根据题意，第六个等式为：；

故答案为：；

（2）第n个等式为：，

证明：∵左边

．

右边

∴左边=右边，等式成立

故答案为：．

【点拨】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

类型四、近似数

7、下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？

(1)600万；    (2) 7.03万；   (3) 5.8亿； (4) 3.30×105。

【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位

【分析】（1）根据近似数的精确度求解；

（2）根据近似数的精确度求解；

（3）根据近似数的精确度求解；

（4）根据近似数的精确度求解．

（1）解：∵600万的末尾为万位，∴600万精确到万位；

（2）解：∵7.03万的末尾为百位，∴7.03万精确到百位；

（3）解：∵5.8亿的末尾为千万位，∴5.8亿精确到千万位；

（4）解：∵3.30×105的末尾为千位，∴3.30×105亿精确到千位；

【点拨】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键．

【变式1】用四舍五入法，按下列要求对159 897 000 000 分别取近似值(用科学记数法表示)．

(1)  精确到千万位；

(2)  精确到亿位；

(3)  精确到百亿位．

【答案】(1) 1.599 0×1011；(2) 1.599×1011；(3) 1.6×1011．

【分析】（1）把百万位上的数字7进行四舍五入即可；

（2）把千万位上的数字9进行四舍五入即可；

（3）把十亿位上的数字9进行四舍五入即可．

解：(1) 159 897 000 000≈1.599 0×1011；

(2)  159 897 000 000≈1.599×1011；

(3)  159 897 000 000≈1.6×1011

【点拨】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数叫近似数．

【变式2】1984年4月8日，我国第一颗地球同步轨道卫星发射成功．所谓地球同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为36 000千米，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时，卫星在轨道上的绕行速度约为每秒      千米．

(1)现在知道地球的半径约为6 400千米，你能将上面的空填上吗？

(2)写出你的计算过程．（结果保留一位小数）

【答案】(1)3.1(2)见解析

【分析】（1）先将卫星到地球的距离加上地球的半径，求出其运行的周长，除以飞行一周的时间，即得答案；

（2）按（1）中的分析解答即可．

（1）答案为：3.1，解题过程见（2）．

（2）解：×（36000+6400）×2÷（3600×24），＝×（36000+6400）×2÷3600÷24，≈3.1（千米），答：卫星在轨道上的绕行速度约为每秒3.1千米．

【点拨】本题考查了近似数和有效数字的区别，精确到“第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确．