湖北省武汉市2019年中考数学试卷【含答案】

武汉市2019年中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．实数2019的相反数是（　　）  

A．2019 B．－2019 C． D．

2．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）  

A．x＞0 B．x≥－1 C．x≥1 D．x≤1

3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）  

A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球

C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球

4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（　　）  

A．诚 B．信 C．友 D．善

5．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（　　） 

A． B．

C． D．

6．“漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用t表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（　　）
 

A． B．

C． D．

7．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程ax2＋4x＋c＝0有实数解的概率为（　　）  

A． B． C． D．

8．已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在该图象上，下列命题：① 过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③ 若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0其中真命题个数是（　　）  

A．0 B．1 C．2 D．3

9．如图，AB是⊙O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（　　） 

A． B． C． D．

10．观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（　　）  

A．2a2－2a B．2a2－2a－2 C．2a2－a D．2a2＋a

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．计算 的结果是　     　

12．武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温（单位：℃），分别是25、20、18、23、27，这组数据的中位数是　     　

13．计算 的结果是　     　

14．如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为　     　

15．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是　         　

16．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA＋PC＝PE

问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝ ．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　     　

三、解答题（共8题，共72分）

17．计算：(2x2)3－x2·x4

18．如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F

19．为弘扬中华传统文化，某校开展“双剧进课堂”的活动，该校童威随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

各类学生人数条形统计图             各类学生人数扇形统计图

（1）这次共抽取　     　名学生进行统计调查，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小为　     　

（2）将条形统计图补充完整  

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的B类的学生大约有多少人？  

20．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由

（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC

（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC

（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB

21．已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点

（1）如图1，求证：AB2＝4AD·BC

（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积  

22．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：

注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）

（1）① 求y关于x的函数解析式　          　（不要求写出自变量的取值范围）

② 该商品进价是　     　元/件；当售价是　     　元/件时，周销售利润最大，最大利润是　     　元

（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值  

23．在△ABC中，∠ABC＝90°， ，M是BC上一点，连接AM

（1）如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN

（2）过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q

① 如图2，若n＝1，求证：

② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）

24．已知抛物线C1：y＝(x－1)2－4和C2：y＝x2

（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？  

（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线 经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ

① 若AP＝AQ，求点P的横坐标

① 若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标

（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系  

1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．C 8．D 9．A 10．C

11．4

12．23

13．

14．

15． 或5

16．

17．解：

18．证明：∵CE∥DF，
∴∠ACE=∠D，
∵∠A=∠1，
∴180°−∠ACE−∠A=180°−∠D−∠1，
∵∠E=180°−∠ACE−∠A，∠F=180°−∠D−∠1，
∴∠E=∠F.

19．（1）50；72

（2）解： A类的人数为：50-23-12-10=5人补全条形统计图

（3）解： 500×=690人
答： 该校表示“喜欢”的B类的学生大约有690人。

20．（1）解：如图 

（2）解：如图 

（3）解：如图 

21．（1）证明： 连接OC、OD，如图1

∵AM和BN是它的两条切线，    
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∴∠ADE＋∠BCE＝180°
∵DC切⊙O于E，
∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，
∴∠ODE＋∠OCE＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠AOD＋∠COB＝90°，
∵∠AOD＋∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝∠OCB，
∵∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴
∵OA=OB
∴OA2＝AD•BC，
∴（AB）2＝AD•BC，
∴AB2＝4AD•BC；

（2）解：  连接OD，OC，如图2

∵∠ADE＝2∠OFC，
∴∠ADO＝∠OFC，
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，    
∴∠OFC＝∠FOC，
∴CF＝OC，
∴CD垂直平分OF，
∴OD＝DF，
在△COD和△CFD中，

∴△COD≌△CFD（SSS）
∴∠CDO＝∠CDF
∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°
∴∠ODA＝60°＝∠BOC，
∴∠BOE＝120°
在Rt△DAO，AD＝OA，
Rt△BOC中，BC＝OB，
∴AD：BC＝1：3，
∵AD＝1，
∴BC＝3，OB＝
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC−S扇形OBE＝2×××3−

22．（1）；40；70；1800

（2）解： 根据题意得，w＝（x−40−m）（−2x＋200）＝−2x2＋（280＋2m）x−8000−200m，
∵对称轴x＝
∴①当＜65时（舍），
②当≥65时，x＝65时，w求最大值1400，
解得：m＝5．

23．（1） 证明：如图1中，延长AM交CN于点D

∵AM⊥CN，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝∠CBN=90°，
∴∠BAM＋∠AMB＝90°，∠BCN＋∠CMD＝90°，
∵∠AMB＝∠CMD，
∴∠BAM＝∠BCN，
∵
∴AB=BC
在△ABM和△CBN中

∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴BM＝BN．

（2）①证明：如图2中，过点C作CH∥AB交BP的延长线于H． ∴∠ABC+∠BCH=90°∵∠ABC=90°∴∠BCH=∠ABC=90°∵BP⊥AM，∴∠BPM＝90°，∴∠MPB＋∠AMB＝90°，∠MPB＋∠H＝90°， ∴∠AMB＝∠H，∵∴AB＝BC，在△ABM和△BCH中∴△ABM≌△BCH（AAS）∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴∴②如图3中，过点C作CD∥AB交BP的延长线于D，作CE⊥BD于E．∵点M时BC的中点∴BC=2CM设CM=m，则BC＝2m，则AB＝2mn．∵AB：BC=n∴AB=2mn，∵∠DCB=∠ABM=90°，∠D=∠AMB∴△BCD∽△ABM∴解之：CD＝，在Rt△BCD中，BD＝∵m＞0，n＞0∴BD＝在Rt△AMB中AM＝,∵S△AMB=AM•BP＝AB•BM，∴PB＝=∵S△BCD=BD•CE＝CD•BC，∴CE＝∵CE⊥BD，PM⊥BD，∴CE∥PM，∴BM：CM=BP：PE∵CM＝BM，∴BP=PE∴PE=∵∠BPQ＝∠CPE，∴tan∠BPQ＝tan∠CPE在Rt△PCE中，∴

24．（1）解： y＝（x−1）2−4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y＝x2；
∴将抛物线C1向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2。

（2）解： 如图

当y=0时，则（x−1）2−4=0
解之：x1=-1（舍去），x2=3
∵y＝（x−1）2−4与x轴正半轴的交点A
∴A（3，0），
∵直线y＝−x＋b经过点A，
∴−×3＋b=0
解之：b＝4，
∴y＝−x＋4，
y＝−x＋4与y＝（x−1）2−4的另一个交点为B
∴−x＋4＝（x−1）2−4
∴x1＝3（舍去），x2＝−，
当x=−时，y=−×（−）＋4=
∴B（−，），
设P（t，−t＋4），且−＜t＜3，
∴Q（t，t2−2t−3），
①当AP＝AQ时，
|4−t|＝|t2−2t−3|，
则有−4＋t＝t2−2t−3，
∴t＝，
∴P点横坐标为；
②当AP＝PQ时，
PQ＝−t2＋t＋7，PA＝（3−t），
∴−t2＋t＋7＝（3−t），
∴t＝−；
∴P点横坐标为−；

（3）解： 设经过M与N的直线解析式为y＝k（x−m）＋m2，
∴x2−kx＋km−m2＝0，
△＝k2−4km＋4m2＝（k−2m）2＝0，
∴k＝2m，
直线ME的解析式为y＝2mx−m2，直线NE的解析式为y＝2nx−n2，
∴E（，mn），
∴[（n2−mn）+（m2−mn）]×（m−n）−（n2−mn）×（−n）−（m2−mn）×（m−）＝2，
∴（m−n）3＝8，
∴m−n＝2；