湖北省武汉市2020年中考数学试卷【含答案】

 武汉市2020年中考数学试卷

一、选择题

1．-2的相反数是（　　）

A．2 B．-2 C． D．

2．式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

3．两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）  

A．两个小球的标号之和等于1 B．两个小球的标号之和等于6

C．两个小球的标号之和大于1 D．两个小球的标号之和大于6

4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也只有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（　　）  

A． B． C． D．

5．下图是由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） 

A． B．

C． D．

6．某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．若点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，则a的取值范围是（　　）  

A． B．

C． D． 或

8．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水和出水是两个常数.从某时刻开始 内只进水不出水，从第 到第 内既进水又出水，从第 开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位： ）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　） 

A．32 B．34 C．36 D．38

9．如图，在半径为3的⊙O中， 是直径， 是弦，D是 的中点， 与 交于点E.若E是 的中点，则 的长是（　　） 

A． B． C． D．

10．下列图中所有小正方形都是全等的.图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的 方格纸片.把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的 方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有 种不同放置方法，则 的值是（　　）

A．160 B．128 C．80 D．48

二、填空题

11．计算 的结果是　     　.  

12．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间（单位：h），分别为：4，3，3，5，5，6.这组数据的中位数是　     　.

13．计算 的结果是　     　.  

14．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图， 是平行四边形 的对角线，点 在 上， ， ，则 的大小是　     　. 

15．抛物线 （ ， ， 为常数， ）经过 ， 两点，下列四个结论： 

①一元二次方程 的根为 ， ；

②若点 ， 在该抛物线上，则 ；

③对于任意实数 ，总有 ；

④对于 的每一个确定值，若一元二次方程 （ 为常数， ）的根为整数，则 的值只有两个.

其中正确的结论是　     　（填写序号）.

16．如图，折叠矩形纸片 ，使点D落在 边的点M处， 为折痕， ， .设 的长为t，用含有t的式子表示四边形 的面积是　           　. 

三、解答题

17．计算： .

18．如图，直线 分别与直线 ， 交于点E，F. 平分 ， 平分 ，且 ∥ .求证： ∥ . 

19．为改善民生；提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策.某社区志愿者随机抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取了　     　名居民进行调查统计，扇形统计图中， 类所对应的扇形圆心角的大小是　     　；  

（2）将条形统计图补充完整；  

（3）该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？  

20．在 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， .仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： 

（1）将线段 绕点C逆时针旋转 ，画出对应线段 ；  

（2）在线段 上画点E，使 （保留画图过程的痕迹）；  

（3）连接 ，画点E关于直线 的对称点F，并简要说明画法.  

21．如图，在 中， ，以 为直径的⊙O交 于点D， 与过点D的切线互相垂直，垂足为E. 

（1）求证： 平分 ；  

（2）若 ，求 的值.  

22．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件.A城生产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系 ，当 时， ；当 时， .B城生产产品的每件成本为70万元.

（1）求a，b的值；  

（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？  

（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从 城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件，C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）.

23．如图

（1）问题背景：如图（1），已知 ，求证： ；  

（2）尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相交于点 .点 在 边上， ，求 的值；  

（3）拓展创新：如图（3），D是 内一点， ， ， ， ，直接写出 的长.  

24．将抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线 . 

（1）直接写出抛物线 ， 的解析式；  

（2）如图（1），点 在抛物线 对称轴 右侧上，点 在对称轴 上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，求点 的坐标；  

（3）如图（2），直线 （ ， 为常数）与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点；直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为线段 的中点.求证：直线 经过一个定点.  

1．A

2．D

3．B

4．C

5．A

6．C

7．B

8．C

9．D

10．A

11．3

12．4.5

13．

14．26°

15．①③

16．

17．解：原式

.

18．证明： 平分 ， 平分

，即

.

19．（1）60；18°

（2）解：A类居民的人数为 （名）  

补全条形统计图如下所示：

（3）解：表示“支持”的B类居民的占比为

则 （名）

答：该社区表示“支持”的B类居民大约有1200人.

20．（1）解：如图示，线段 是将线段 绕点C逆时针旋转 得到的；  

（2）解：将线段 绕点D逆时针旋转 ，得到线段 ，  

将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，

则四边形 是正方形，连接 ，DB， 交AB于点E，

则E点为所求，

理由如下：∵四边形 是正方形，

∴ ， ，

则有 ，

∴E点为所求；

（3）解：将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ，  

过E点作线段 交 于F，交 于 ，

则F为所求；

理由如下：∵将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ，

∴

∵ ，

∴ ,

∵四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ，

∴四边形 是平行四边形，

根据 是平行四边形 的对角线，

∴

∴ 

∴ ，

∴ 垂直平分

∴F是点E关于直线 的对称点，

21．（1）解：如图，连接OD 

由圆的切线的性质得：

又

则 平分 ；

（2）解：如图，连接BD 

由圆周角定理得：

在 和 中，

设 ，则 ，且

在 和 中，

，即

解得 或 （不符题意，舍去）

经检验， 是所列分式方程的解

则在 中，

故 的值为 .

22．（1）解：由题意得：当产品数量为0时，总成本也为0，即 时，

则 ，解得

故 ， ；

（2）解：由（1）得：

设 ， 两城生产这批产品的总成本的和为

则

整理得：

由二次函数的性质可知，当 时，W取得最小值，最小值为6600万元

此时

答：A城生产20件，B城生产80件；

（3）解：设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为 件，从B城运往C地的产品数量为 件，从B城运往D地的产品数量为 件

由题意得： ，解得

整理得：

根据一次函数的性质分以下两种情况：

①当 时，在 内，p随n的增大而减小

则 时，p取得最小值，最小值为

②当 时，在 内， 随 的增大而增大

则 时，p取得最小值，最小值为

答：当 时，A，B两城总运费的和的最小值为 万元；当 时，A，B两城总运费的和的最小值为 万元.

23．（1）解：∵ ，  

∴∠BAC=∠DAE，   ，

∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∴ ；

（2）解：连接CE， 

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∴ ，

∴ ，

由于 ， ，

∴ ，

即 ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

又∵

∴ ，

∴ ；

（3）解：

如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，

∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ，

∴∠ADE=∠ABC，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴ ，

∴ ，

又∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∴ ，

∴ ，

设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴

24．（1）解：∵抛物线 向下平移6个单位长度得到抛物线 ，再将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线 ，  

∴抛物线 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，

抛物线 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6.

（2）解：如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD， 

∵ 是等腰直角三角形，

∴∠BOA =45°，

又∵∠BDO=∠BAO=90°，

∴点A、B、O、D四点共圆，

∴∠BDA=∠BOA=45°，

∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，

∴ 是等腰直角三角形，

∴DC=AC.

∵点 在抛物线 对称轴 右侧上，点 在对称轴 上，

∴抛物线 的对称轴为x=2，

设点A的坐标为（x，x2-4x-2），

∴DC=x-2，AC= x2-4x-2，

∴x-2= x2-4x-2，

解得：x=5或x=0（舍去），

∴点A的坐标为（5，3）；

同理，当点B、点A在x轴的下方时，

x-2= -(x2-4x-2)，

x=4或x=-1（舍去），

∴点 的坐标为（4，-2），

综上，点 的坐标为（5，3）或（4，-2）.

（3）解：∵直线 （ ， 为常数）与抛物线 交于 ， 两点，  

∴ ，

∴x2-kx-6=0，

设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，

∴xE+xF=k，

∴中点M的横坐标xM= = ，

中点M的纵坐标yM=kx= ，

∴点M的坐标为（ ， ）；

同理可得：点N的坐标为（ ， ），

设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），

将M（ ， ）、N（ ， ）代入得：

，

解得： ，

∴直线MN的解析式为y=  ·x+2（ ），

不论k取何值时（ ），当x=0时，y=2，

∴直线 经过定点（0，2）.