2022-2023学年河南省开封市五县高二上学期第一次月考联考数学试题含解析

2022-2023学年河南省开封市五县高二上学期第一次月考联考数学试题

一、单选题

1．直线的一个方向向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线方程写出其对应的方向向量，即可得答案.

【详解】由直线方程知：其方向向量为且，

所以时一个方向向量是.

故选：B

2．如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.

【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，所以，

又因为为的中点，所以，

所以，

故选：A.

3．已知，，那么它们的位置关系是（    ）

A．外离 B．相切 C．相交 D．内含

【答案】C

【分析】将和方程化为标准方程，求得圆心和半径，进而求出，即可求得答案.

【详解】方程可化为，得，，

方程可化为，得，，

，

，

故两圆相交.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了判断两个圆的位置关系，解题关键是掌握判断圆位置关系的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

4．若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（    ）

A．2 B． C．或 D．2或

【答案】C

【分析】根据，解得即可得出答案.

【详解】解：因为，，

所以，

解得：或.

故选：C.

5．若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】联立，解得

把(1,2)代入可得

∴.

∴点到原点的距离

当时，取等号．

∴点到原点的距离的最小值为.

故选A.

6．经过中三个点的圆的方程不可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将点代入各方程判断是否满足圆的方程，即可得答案.

【详解】A：在圆上，排除；

B：都不在圆上，符合要求；

C：在圆上，排除；

D：在圆上，排除.

故选：B

7．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

A． B．

C．1 D．

【答案】D

【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得到答案

【详解】,

故

故选

【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．

8．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】依据入射光线和反射光线关于直线对称，假设入射光线上两点、，求出这两点关于对称的两点，由两点式即可求得反射光线

【详解】入射光线和反射光线关于直线对称，设入射光线上任意两点、，

则关于直线对称的两个点的坐标分别为、且这两个点在反射光线上，

由两点式可求出反射光线所在的直线方程为，

故选：A.

9．已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能

【答案】C

【详解】圆心到直线的距离,所以，在中，，所以为钝角．为钝角三角形．选C

10．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是（    ）

A．平行 B．重合

C．垂直 D．相交但不垂直

【答案】C

【解析】计算得到，，再根据正弦定理得到，得到垂直关系.

【详解】直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率，直线bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率 ，故直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直故选：C.

【点睛】本题考查了直线的位置关系，正弦定理，意在考查学生的综合应用能力.

11．在下列命题中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

③若三个向量两两共面，则向量共面；

④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得.

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】①②空间向量共线不代表所在直线平行，且空间任意两向量都共面，即可判断；③利用四面体四条侧棱说明即可；④根据空间向量基本定理即可判断.

【详解】①若向量共线，则向量所在的直线平行或重合，错误；

②若向量所在的直线为异面直线，由向量位置的任意性，空间中两向量可平移至一个平面内，故共面，错误；

③若三个向量两两共面，如下图：

显然不共面，错误；

④已知空间的三个不共面向量，则对于空间的任意一个向量，根据空间向量基本定理知：总存在实数使，正确.

只有④正确.

故选：B

12．关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为直线与且有两个交点，数形结合判断存在两个交点对应的m范围即可.

【详解】令且，则且，即圆的上半部分，

只需恒过的直线与且有两个交点即可，

如上图，当与半圆相切时，得，

当过时，，

当过时，，

综上，.

故选：C

二、填空题

13．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________________．

【答案】y＝－x或x－y＋8＝0

【分析】需要分类讨论：截距为0和截距不为0两种情况来解答．

【详解】解：过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，

当截距为0，所求直线斜率为，方程为，即为；

当截距不为0，设所求直线方程为，代入的坐标，可得，

即有直线方程为．综上可得所求直线方程为．

故答案是：或．

【点睛】本题考查了直线的截距式方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

14．平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面所成二面角的大小为________.

【答案】或

【分析】依据两个平面的法向量，然后按照公式计算即可.

【详解】设，，

则，

∴.因平面与平面所成的角与相等或互补，

所以与所成的角为或.

故答案为：或

15．直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是___________.

【答案】

【分析】由直线的一般式方程得到斜率与的关系式,从而得斜率的取值范围，然后可确定倾斜角的取值范围.

【详解】①若，则直线的方程为，

此时直线的倾斜角；

②若，

将直线的方程转化为斜截式得，

则直线的斜率为，

，

，

即，

因为倾斜角，

所以，

综合①②可得:.

故答案为：.

16．在中，若，则面积的最大值为___________.

【答案】

【分析】设，应用余弦定理得，进而求，最后利用三角形面积公式及二次函数性质求面积最大值.

【详解】令，则，而，

所以，

由，当，即时面积的最大值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知直线的方程为，按照下列要求，求直线的方程：

(1)与垂直，且过点；

(2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）由两线垂直，设所求直线为，根据点在直线上求参数，即可得直线方程；

（2）由两线平行，设所求直线为，求截距并利用三角形面积公式求参数，即可得直线方程.

【详解】(1)因为，所以直线可设为.

将点代入方程得，

因此所求的直线方程为.

(2)因为，所以直线可设为.

令，得，令，得，

所以三角形的面积，解得.

因此直线的方程为或.

18．已知为圆上任意一点.

(1)求的取值范围；

(2)求的最大值和最小值.

【答案】(1)；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）问题化为直线与圆有交点，即圆心到直线距离，即可求范围；

（2），问题化为求直线的斜率最值，利用直线与圆有交点，结合点线距离公式求范围，即可得结果.

【详解】(1)因为圆心，半径，

设看成直线方程，其与圆有公共点，

所以圆心到直线的距离，解得，

所以所求的取值范围是.

(2)记，因为表示直线的斜率，

所以直线的方程为，即.

因为直线与圆有公共点，所以，可得

所以的最大值为，最小值为.

19．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且.

(1)求证：；

(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，表示出、的坐标，根据空间向量法得到，即可得证；

（2）利用基本不等式求出三棱锥的体积的最大值，从而求出，过作于，即可得到，则是二面角的平面角，再根据锐角三角函数计算可得.

【详解】(1)证明：如图建立坐标系

设，则，，，

所以，，

所以，

所以；

(2)解：由（1）可知，，

所以三棱锥的体积，

当且仅当，即时取得最大值，

过作于，又平面，平面，

所以，又，平面，

所以平面，平面，

所以，

所以是二面角的平面角，

在直角三角形中，，，

所以，又且，

解得或（舍去），

因此平面与平面的夹角余弦值为.

20．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0．

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；

(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m；

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

【答案】（1）m<5；（2）；（3）

【详解】（1）由，得：，

，；

（2）由题意，

把代入，得，

，，

∵得出：，

∴，

∴；

（3）圆心为，

，半径，

圆的方程.

【解析】直线与圆的位置关系.

21．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，.

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）构建空间直角坐标系，设且，求出的坐标，再由向量数量积坐标表示可得，即，最后根据线面垂直的判定证结论；

（2）由（1）空间坐标系，求面的法向量、方向向量，应用空间向量夹角的坐标运算求线面角的正弦值.

【详解】(1)以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，设，则，

所以.

由得：，解得.

由，得①

由，得②

由①②，解得.

，

，

故，又，面，则平面.

(2)设面的法向量为，

，又，

∴，取，得.

，故与面所成角的正弦值为.

22．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．

（1）求的轨迹方程；

（2）当时，求的方程及的面积．

【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为.

【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程；

（2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案．

【详解】解：（1）由圆，即，

圆的圆心坐标为，半径．

设，则，．

由题意可得，即．

整理得．

的轨迹方程是．

（2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

由于，

故在线段的垂直平分线上，

又在圆上，

从而．

，

直线的斜率为．

直线的方程为，即．

则到直线的距离为．

又到的距离为，

．

．