湖南省长沙市2023届九年级学业水平模拟考试（2）数学试卷(含答案)

2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷（二）

注意事项:

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请匆折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.计算的结果是（   ）

  A.           B.9               C.             D.3

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3.假设一根头发的直径是0.05毫米，把它轴向平均剖成5万根，每根的厚度大约就是1纳米，也就是说，1纳米就是0.000 001毫米．那么把数据“0.000 001”用科学记数法可表示为（    ）

A． B． C． D．

4.下列语句：

①相等的角是对顶角；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；

③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行线间的距离处处相等．

其中正确命题是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

5.已知等式，则下列等式中不一定成立的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

6.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）

A．函数解析式为I＝ B．蓄电池的电压是18V C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当R＝6Ω时，I＝4A

7.现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“北斗”和“高铁”的概率是（　　）

A． B． C． D．

8.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

1. 70° B.75°  C.80°  D.85°

9.2022年春节过后的疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩。随着国内疫苗的注射，及防控的常态化，2022年夏，疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2021年购买的数量还多100包，设2021年每包口罩为x元，可列方程为（　　）

A． B． C． D．

10.如图，在平面直角坐标系中，将线段CD平移到线段AB的位置，则b-a的值为（     ）

A.-5 B.0 C.-3 D.4                                     

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.因式分解：a2b﹣4ab+4b2＝　         　．

12.菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是         .

13.若x2+x﹣1＝0，则5x﹣＝　   　．

14.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 　 　寸．

15.我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为﹣1，则该矩形的周长为 　                　．

16.某学校为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，举行了“志愿长沙,我愿我行”演讲比赛.购买奖品方案如下：已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的.则在购买方案中最少费用是 　    　元．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分6分) 计算：；

18.(本小题满分6分) 先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝+1．

19.(本小题满分6分)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．

（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．

20.(本小题满分8分)暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．

其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取 　    　名学生，a的值为 　    　；

（2）在扇形统计图中，n＝　    　，E组所占比例为 　    　%；

（3）补全频数分布直方图；

（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．

21.(本小题满分8分)（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证，直线l1垂直平分AC；

（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

22.(本小题满分9分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠BDC=2∠ADB＝2∠ABD，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．

（1）求证：四边形ABED是菱形；

（2）若AD＝8，求△BED的面积．

23.(本小题满分9分)为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．

24.(本小题满分10分)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为___________；

②面积的最大值为_________；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线的左侧，且．

①线段长的最小值为_______；

②若，则线段长为________．

25.(本小题满分10分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷（二）答案

1.B2.D3.C4.C5.A6.C7.A8.B9.C10.B11.b（a﹣4b）2 12.35 13.﹣5 14. 26 15.2+2或4 16.330

17.解：（1）原式=2+1-1-2×=2+1-1-=；
18.解：原式＝＝＝＝，

当时，原式＝＝＝．

19.19.解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，

∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，

∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．

（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°∴∠ABC＝60°，∵∠ABC的平分线交AC于点D，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°， 由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，故∠BDE的度数为30°．

20解：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，

因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），

a＝150×8%＝12（人），

故答案为：150，12；

（2）360°×＝360°×40%＝144°，即n＝144，

“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，故答案为：144，4；

（3）b＝a+15＝27（人），“C组”频数为：150×30%＝45（人），“E组”频数为：150×4%＝6（人），补全频数分布直方图如图所示：

（4）1500×＝660（人），答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．

21.解：（1）证明：∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OCB，

∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴2∠A+2∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，

∴∠ACB＝90°，∴AC⊥CB，∵l1∥l2，∴l1⊥AC，∵OA＝OC，∴直线l1平分AC，

∴直线l1垂直平分线段AC．

（2）解：如图，线段PD即为所求．

22.解：（1）证明：∵∠C＝90°，∴EC⊥DC，∵EF⊥BD，EF＝EC，∴DE是∠BDC的平分线，

∴∠EDB＝∠EDC，∵2∠ADB＝∠BDC，∴∠ADB＝∠EDB，∵∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EDB，

∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，

∴四边形ABED是菱形；

（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，∴DE＝BE＝AD＝8，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，

∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝30°，∴CD＝DE•cos30°＝8×＝4，∴S△BED＝BE•CD＝×8×4＝16．

23.解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元，

，解得，

答：A型消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；

（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90﹣a）瓶，费用为w元，

依题意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，

∴w随a的增大而减小，

∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，

∴90﹣a≥a，解得a≤67，

∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23，

答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元．

24.解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=60°，又OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=OC=BC=2，即半径为2；

②∵△ABC以BC为底边，BC=2，

∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，

如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，

∴BE=CE=1，DO=BO=2，

∴OE==，∴DE=，

∴△ABC的最大面积为=；

（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，

∵点D在圆上，∴∠BDC=∠BAC，

∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，

∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；

（3）①如图，当点P在BC上，且PC=时，

∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC==，为定值，

连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，

∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC=，连接BQ，与圆Q交于P′，

此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，

∵点Q是PD中点，

∴点E为PC中点，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，

∴BE=BC-CE=3-=，∴BQ==，

∵PD==，∴圆Q的半径为，

∴BP′=BQ-P′Q=，即BP的最小值为；

②∵AD=3，CD=2，，则，

∴△PAD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，

即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，

则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，

过点C作CF⊥PD，垂足为F，

∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，

∴△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，

∴CF=DF==，∵tan∠DPC==，∴PF=，

∴PD=DF+PF==．

25.解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），

设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），

解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；

（2）如图1，将点沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，

过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，

∵A、B关于直线x＝1对称，

∴AQ′＝BQ′，

∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，

∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，

∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，

在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，

∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，

此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，

∴AQ+QP+PC的最小值为+1；

（3）线段EF的长为定值1.

如图2，连接BE，

设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，

∵EF⊥x轴，

∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，

∵F（t，0），

∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠DAF+∠BED＝180°，

∵∠BEF+∠BED＝180°，

∴∠DAF＝∠BEF，

∵∠AFD＝∠EFB＝90°，

∴△AFD∽△EFB，

∴＝，

∴＝，

∴EF＝＝＝1，

∴线段EF的长为定值1．