湖南省长沙市2023届九年级学业水平模拟考试（3）数学试卷(含答案)

2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试题（三）

注意事项:

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请匆折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.实数-2023.2023,,0,,-,,中,有理数的个数为a,无理数的个数为b,则a-b的值是（    ）

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

2.习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务。将9899万用科学记数法表示为（  ）

A．0.9899×108 B．9.899×107 C．9.899×108 D．98.99×108

3.计算的结果是（　　）

A. 25x5y2 B. 25x6y2 C. －5x3y2 D. -10x6y2

4.如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B=73°48′，那么∠D的度数是（　　）

A.127°12′ B106°48′ C.106°12′  D. 73°48′

5.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．5

6.下列说法正确的是（C　　）

A．在小明、小红、小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是随机事件 

B．要了解学校2000名学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生             

C．预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包             

D．了解某班学生的身高情况适宜抽样调查

7.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，它的左视图的面积是（    ）

A.4 B.2 C. D.

8.已知两个不等于0的实数a、b满足a -b = 0.则等于(   )

1. 2          B. 1          C.-1              D.-2

9.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（  　　）

A． B． C． D．

10.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（ 　）

A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：3x3﹣12xy2＝　      ．

12.如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝16cm，CD＝4cm，则⊙O的半径为 　  　cm．

13.在平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣2），点B（2，1），点P在一次函数y＝x+b的图象上，若满足PAB＝45°的点P只有1个，则b的取值范围是　 　．

14.已知方程x2-mx+3＝0的一个根是1，则m的值为 　 　．

15.如图，四个完全相同的小球上分别写有：0，，﹣5，π四个实数，把它们全部装入一个布袋里，从布袋里任意摸出1个球，球上的数是无理数的概率为_____．

16.如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm，BC＝4cm，则AD与BC之间的距离为 　    　．

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字

说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分6分)计算：（π-1）0+|-2|-（）-1+tan60°．
18.(本小题满分6分)已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．

19.(本小题满分6分)如图，已知锐角中，．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）

20.(本小题满分8分)为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图．

（1）本次调查的样本容量是 　    　；

（2）补全条形统计图；

（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．

21.(本小题满分8分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．

（1）求∠B的度数；

（2）若AB＝2，求的长．

22.(本小题满分9分)在全国人民普遍接种新冠疫苗，国内疫情得到控制后，五一假期到长沙旅游的游客越来越多。深受当地老百姓喜爱的两种本土特产毛毛鱼和灯芯糕，也深受外地游客的青睐．现在，有两种特产大礼包的组合是这样的：若购买2大包毛毛鱼和3盒灯芯糕，则需花费270元；若购买1大包毛毛鱼和4盒灯芯糕，则需花费260元．（毛毛鱼、灯芯糕分别按大包和盒计价）

（1）求一大包毛毛鱼、一盒灯芯糕的售价分别是多少元？

（2）如果需购买两种特产共12件（1大包或1盒称为1件），要求灯芯糕的盒数不高于毛毛鱼包数的两倍，请你设计一种购买方案，使所需总费用最低．

23.(本小题满分9分)如图，在△ABC和△DEC中，∠BCE＝∠ACD,∠B＝∠CED．

（1）求证：△ABC∽△DEC；

（2）若S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝12，求EC的长．

24.(本小题满分10分)（1）阅读理解

我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．

根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

（2）问题解决

勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；

（3）拓展探究

如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．

已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．

25.(本小题满分10分)如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求|QO|+|QA|的最小值；

（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．

2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试题（三）答案

1.   B2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.A9.D10.C11.3x（x+2y）（x﹣2y）．12.10 13. 14.4  15. 16.6cm

17.解：原式=1+2--3+ =0．

18.解：

=

=，∵，∴，

代入原式得：原式=．

19.解：（1）如图所示：

（2）连接OA，

∵，的平分线，∴AD=BD=，CD⊥AB，

∵的半径为5，

∴OD=，∴CD=CO+OD=5+=，

∴BC=，∴．

20.解：（1）55÷55%＝100，

（2）完全了解的人数为：100×30%＝30（人），

较少了解的人数为：100﹣30﹣55﹣5＝10（人），

补全条形统计图如下：

（3）估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为：2000×30%＝600（人），

答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数为600人．

21.解：（1）连接OC，如图，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AE⊥CD，

∴OC∥AE，

∴∠CAD＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠CAD＝∠OAC＝35°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠OAC+∠B＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；

（2）连接OE，

∵⊙O的直径AB＝2，

∴OA＝1，

∵＝，

∴∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，

∴的长为：＝．

22.解：（1）设一大包毛毛鱼、一盒灯芯糕的售价分别是x元、y元，

根据题意，得，解得．

答：一大包毛毛鱼、一盒灯芯糕的售价分别是60元、50元．

（2）设购买n大包毛毛鱼，则购买（12﹣n）盒灯芯糕，总费用为m元，

根据题意，得12﹣n≤2n，解得n≥4，

∴m＝60n+50（12﹣n）＝10n+600，

∵n＞0，∴m随n的增大而增大，∴当n＝4时，m＝640，

答：购买4大包毛毛鱼，8盒灯芯糕时，总费用最少．

23.证明：（1）∵∠BCE＝∠ACD．

∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，

又∵∠B＝∠CED，∴△ABC∽△DEC；

（2）∵△ABC∽△DEC；

∴＝（）2＝，又∵BC＝12，∴CE＝18．

24.解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：

∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，

∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，

即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2；

（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF＝a，FD＝b，

分两种情况：

①a＞b时，∴a+b＝12①，

∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，

∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，

∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴a﹣b＝5②，

由①②得：，解得：a＝，∴EF＝；

②a＜b时，同①得：，解得：a＝，

∴EF＝；综上所述，EF为或；

（3）c+b＝n，理由如下：

如图③所示：设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，

∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，

∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，

∴＝，＝，

即＝，＝，∴e2＝cn，f2＝bn，

在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，∴cn+bn＝n2，∴c+b＝n．

25.解：（1）∵抛物线交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入，

得：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′，QO′，CO′，BO′，

∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵O、O′关于直线BC对称，∴BC垂直平分OO′，

∴OO′垂直平分BC，∴四边形BOCO′是正方形，∴O′（3，﹣3），

在Rt△ABO′中，|AO′|＝＝＝5，

∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，

∴|QO|+|QA|＝|QA|+|QO′|≥|AO′|＝5，即点Q位于直线AD与直线BC交点时，|QO|+|QA|有最小值5；

（3）设直线BC的解析式为y＝kx+d，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，

设直线AC的解析式为y＝mx+n，

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3，

∵PQ∥AC，

∴直线PQ的解析式可设为y＝﹣3x+b，

由（1）可设P（m，m2﹣2m﹣3），代入直线PQ的解析式，

得：m2﹣2m﹣3＝﹣3m+b，

解得：b＝m2+m﹣3，

∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+m2+m﹣3，

联立方程组，得：，解得：，∴Q（，），

由题意：S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PAB﹣S△QAB，∵P，Q都在第四象限，∴P，Q的纵坐标均为负数，

∴S＝|AB|•（﹣m2+2m+3）﹣|AB|•（﹣）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，

由题意，得0＜m＜3，∴m＝时，S最大，

即P（，﹣）时，S有最大值．