人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第1课时学案及答案

6.4.3　余弦定理、正弦定理

第1课时　余弦定理

学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.

2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

情景导入　

千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？

一、余弦定理的推导

问题1　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c?

提示　如图，设＝a，＝b，＝c，

那么c＝a－b，①

阅读教材42页 完成余弦定理的推导

问题2　在问题1的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？

知识梳理　

1．余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边          减去这两边与它们夹角的余弦的            ．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有

a2＝                   ，

b2＝                   ，

c2＝                   .

课堂练习 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是

A.45°   B.60°    C.90°    D.135°

二、已知两边及一角解三角形

例1　 (教材P43例5改编)（1）在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；

(2)在△ABC中，已知b＝ 5，c＝ ， cos C＝，求a的值.

反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法

已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边．

跟踪训练1已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝        .

三、已知三边解三角形

问题3　余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？

提示 将余弦定理的公式进行变形.

知识梳理　

余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，

则cos A＝             ，

cos B＝               ，

cos C＝               .

注意点：余弦定理及推论把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画．

例2（1）在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．

(2)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C等于

A.90°   B.120°    C.135°    D.150°

反思感悟　已知三角形的三边解三角形的方法

利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角．

课堂小结

1．知识清单：

(1)余弦定理．

(2)余弦定理解决的两类问题．

已知两角及一边解三角形（给出两边及夹角 两边及一边的对角） 

已知三边解三角形

2．方法归纳：化归转化、数形结合．

3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件．

随堂检测

1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为(　　)

A．52              B．2          C．16               D．4

2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A.                B.                C.               D.

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　)

A.                B.              C.或               D.或