山西省吕梁市孝义市2021-2022学年八年级下学期期中质量检测数学试卷(含解析)

2021~2022学年第二学期八年级期中质量监测试题（卷）

数学

说明：1.本试卷满分为100分，考试时间为90分钟.

2.书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分.否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分.

一、选择题（每小题2分，共20分.下列各小题均给出四个备选答案，请将符合题意选项的字母代号，填写在下面方格内）

1. 化简的结果是(　　)

A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25

2. 下列根式中属于最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 下列命题的逆命题是假命题的是（    ）

A. 两直线平行，内错角相等

B. 全等三角形的对应角相等

C. 如果直角三角形的两条直角边的长分别是，，斜边长为，那么

D. 平行四边形的对角相等

5. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点，点分别作，的平行线交于点．若，，则四边形的面积为（    ）

A. 6 B. 12 C. 24 D. 48

6. 探究勾股定理的思路是：先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．这种研究思路主要体现的数学思想是（    ）

A. 从特殊到一般 B. 从一般到特殊 C. 分类 D. 归纳

7. 如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．则的周长为（    ）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

8. 如图，菱形的对角线，相交于点，点是的中点．，，则的长为（    ）

A. 10 B. 5 C. 3 D. 2.5

9. 《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙．使木杆之上端与墙平齐．牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．间木杆长是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（    ）

A 5尺5寸 B. 1丈1尺 C. 5丈5寸 D. 5丈5尺

10. 如图，中，，，，则的长度为（    ）

A. 3 B. 4 C.  D.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．

12. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD为菱形．

13. 如图，数轴上点A的坐标是4，于点A．，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点的坐标是______．

14. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是、，则的值为______．

15. 如图，矩形的对角线与交于点，点是上一点，且，连接，若，则的长为______

三、解答题（本大题共7个小题，共55分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算

（1）

（2）

17. 已知，，求代数式的值．

18. 如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段的端点都在格点上．（小正方形的顶点叫格点．）

实践与操作：

（1）以为一边作矩形，使；（点、画在格点上）

推理与计算：

（2）线段的长为______，线段的长为______．（直接写出结果）

19. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．

求证：四边形是菱形．

20. 如图1，在中，，分别是边，上中线，与相交于点．点是的中点，点是的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）如图2，当时，其它条件不变．求证：四边形矩形；

（3）如图3，若是等边三角形，，其它条件不变，直接写出四边形的面积______．

21. 下面是关于探究勾股定理逆定理的一个片断，请你认真阅读并完成相应任务．

如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图1，的三边长分别是，，，且满足．

求证：是直角三角形．

分析：要证明是直角三角形，可以先作一个，使，，如果与全等，那么就是直角三角形．

（1）任务一：请在上述虚线方框内按材料中“分析”的思路画出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）任务二：请你按材料“分析”的思路证明是直角三角形；

（3）任务三：如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，．求证：．

22. 综合与实践

如图1，正方形对角线与交于点，，两边分别与，交于点，．

（1）与的数量关系为______；（直接写出答案）

（2）如图2，点是正方形对角线上一点，，经过点，交于点，连接．猜想线段与数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在图2的基础上，连接，点是的中点，分别连接，．判断的形状，并说明理由．

答案

1. A

解：==5，
故选：A．

2. D

解：A、不是最简二次根式，不符合题意；

B、不是最简二次根式，不符合题意；

C、不是二次根式，不符合题意；

D、是最简二次根式，符合题意．

故选：D．

3. B

因为和不是同类二次根式，不能计算，所以A不正确，不符合题意；

因为，所以B正确，符合题意；

因为，所以C不正确，不符合题意；

因为，所以D不正确，不符合题意．

故选：B．

4. B

解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；

B、全等三角形的对应角相等的逆命题为三组对应角分别相等的三角形全等，此逆命题为假命题；

C、如果直角三角形的两条直角边的长分别是，，斜边长为，那么的逆命题为：如果三角形三边长为a、b、c且，那么这个三角形的直角三角形，此逆命题为真命题；

D、平行四边形的对角相等的逆命题为有两组对角相等的四边形是平行四边形，此逆命题为真命题．

故选：B．

5. C

解：∵BE∥AC，CE∥BD

∴四边形是平行四边形

∵四边形ABCD是矩形

∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC

∴OD＝OC

∴四边形是菱形．
∵AB＝6，AC＝10
∴

∵AO＝CO

∴

∵四边形是菱形

∴

6. A

解：∵先从等腰直角三角形入手，发现等腰直角三角形三边有特殊数量关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”，再探究一般的直角三角形是否也具有这样的性质．

∴这种研究思路主要体现的数学思想是从特殊到一般．

故选A．

7. B

解：∵▱ABCD的周长为20，

∴2(BC+AB)=20，

则BC+AB=10．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，，

∴OA=OC =AC=4．

∵点E是BC的中点，点O是AC的中点，

∴OE是△ABC的中位线，CE=BC，

∴OE=AB，

∴△COE的周长=OC+ CE + OE =AC+ (BC+AB)=4+5=9，

故选：B．

8. D

解：在菱形中，，，，

∴，

由勾股定理可得：，

∵点是的中点，

∴，

故选：D

9. C

解：根据题意作出如下示意图：

设木杆下滑前底端距离墙角x尺，则木杆长为（x+1）尺．

1丈=10尺，则墙高为10尺

由勾股定理可知：

解得：

木杆的长为（尺）

尺=50尺+0.5尺

1丈=10尺，1尺=10寸

尺=5丈5寸

故选：C．

10. C

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴

∴．

故选：C

11.

二次根式在实数范围内有意义

解得

故答案为：．

12. AD=DC（答案不唯一）

由四边形ABCD是平行四边形，

添加AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形；

添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形．

故答案为：AD=DC（答案不唯一）．

13.

解：∵，

∴，

在中，，

∵以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，

∴．

故答案为：．

14. 9

解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=5，

四个三角形的面积=4×ab=5-1=4，

∴2ab=4，

联立解得：（a+b）2=a2+2ab+b2=5+4=9．

故答案为：9．

15.

解：过点作于，

∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：

16. （1）

解：；

（2）

解：．

17. 解：∵

将，代入得：

原式

．

18. （1）

解：矩形如图所示；

（2）

解：如图，，

19. 证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

∴．

在和中，

∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，，

∴，

∴四边形是菱形．

20. （1）

证明：在中，，分别是边，上的中线，

是的中位线，

∴，，

在中，点是的中点，点是的中点，

∴是的中位线，

∴，，

∴，，

∴四边形是平行四边形；

（2）

证明：连接，交于点，并延长，交于点，

∵，

∴，且点在的垂直平分线上，

点、分别是、的中点，

∴，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴点也在的垂直平分线上，

∴，即，

由（1）可知，

∴，

∵点、分别是、的中点，

∴，

∴，

由（1）中四边形是平行四边形，

∴是矩形；

（3）

解：由（1）（2）可知四边形是矩形，

是等边三角形，，分别是边，上的中线，

根据“三线合一”可得，，

，

，点是的中点，

，

，

在中，，，，，则，

，

故答案为：．

21. （1）

解：任务一：如图

即为所求作的三角形．

（2）

任务二；在中，根据勾股定理，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴，

∴是直角三角形．

（3）

任务三：连接，如图所示：

∵正方形的边长为4，点是边的中点，，

∴，，，，，

在中，根据勾股定理：，

在中，根据勾股定理：，

在中，根据勾股定理：，

∵，

∴，

根据勾股定理的逆定理是直角三角形．

即．

22. （1）

解：；

证明：∵四边形是正方形

∴∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOB=90°

∵

∴∠AOE=∠BOF

∴（ASA）

（2）

解：方法一：

，理由如下：

过点作于点，于点

∵四边形是正方形∴，，平分，

∴，

∵，∴

∴

∵∴

∴

在和中，

∴

∴．

在和中，

∴∴

∴

方法二：，理由如下：

在正方形中，，，平分

∴

在和中，

∴

四边形中，，

∵

∴

∴

∴

（3）

解：是等腰三角形理由如下：

在中，点是的中点，∴

在中，点是的中点，∴

∴

∴是等腰三角形