【江苏专用】2023年中考数学易错题汇编——02 方程与不等式（原卷版+解析版）

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一元一次方程与二元一次方程（组）的应用
一元二次方程及其应用
分式方程及应用
一元一次不等式与一元一次不等式组
一次不等式（组）的应用
易错分析 01
熟练掌握方程与不等式的相关性质及解法步骤，理解方程的概念，在判断方程定义的方法上需要注意方程成立的条件
（2021秋•本溪县期末）下列方程①；②3x＝11；③；④y2﹣4y＝3；⑤x＝0；⑥x+2y＝1，其中是一元一次方程的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【思路点拨】答案错诶，根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【规范解答】解：①x﹣2＝是分式方程，不是一元一次方程；
②3x＝11；③＝5x﹣1；⑤x＝0是一元一次方程；
④y2﹣4y＝3是一元二次方程；
⑥x+2y＝1是二元一次方程．
是一元一次方程的有3个，
故选：B．
【考点解读】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
【变式训练01】（2022春•宛城区期末）若（m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值可以是 2 .（写出一个即可）
【思路点拨】直接利用一元一次方程的定义进而得出m﹣1≠0，即可得出答案．
【规范解答】解：∵（m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
∴m的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一）．
【考点解读】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式训练02】（2022秋•信宜市校级期中）请填上适当的m值，使得关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，m的值为 不为0的实数 ．
【思路点拨】根据一元二次方程的概念判断即可．
【规范解答】解：因为关于x的方程mx2﹣2＝0是一元二次方程，
所以m≠0，
即m的值为不为0的实数．
故答案为：不为0的实数．
【考点解读】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
【变式训练03】（2021秋•云岩区校级月考）已知关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0．
（1）当m取何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当m取何值时，该方程是一元一次方程？
【思路点拨】根据一元二次方程、一元一次方程的概念判断即可．
【规范解答】解：（1）∵关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝1，
∴m＝1时，原方程是一元二次方程．
（2）∵关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1＝0是一元一次方程，
∴m+1＝0，m﹣3≠0或
解得m＝﹣1或m＝0，
∴m＝﹣1或0时，原方程是一元一次方程．
【考点解读】此题主要考查了一元二次方程、一元一次方程的概念，解答此题的关键是要明确：（1）只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．（2）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
易错分析 02
运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况，还要关注解方程与方程组的基本思路，消元降次的主要陷阱在于消除了一个带X公因式时回头检验。
（2022秋•天河区校级期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．将5x﹣4＝2x+6移项，得5x﹣2x＝6﹣4
B．将4x＝2化系数为1，得
C．将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号得，2x﹣6＝﹣3x﹣18
D．将去分母得，3﹣2x+1＝1
【答案】A
【思路点拨】答案错诶，注意移项要变号
【规范解答】解：A、将5x﹣4＝2x+6移项，得5x﹣2x＝6+4，不符合题意；
B、将4x＝2化系数为1，得x＝，符合题意；
C、将2（x﹣3）＝﹣3（﹣x+6）去括号，得2x﹣6＝3x﹣18，不符合题意；
D、将﹣＝1去分母，得3﹣2x﹣2＝6，不符合题意．
故选：B．
【考点解读】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式训练01】（2022秋•驿城区校级期末）解方程：
（1）3（x+2）＝5（x﹣4）；
（2）．
【思路点拨】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）3（x+2）＝5（x﹣4），
3x+6＝5x﹣20，
3x﹣5x＝﹣20﹣6，
﹣2x＝﹣26，
x＝13；
（2），
6x﹣3（x﹣1）＝2x﹣6，
6x﹣3x+3＝2x﹣6，
6x﹣3x﹣2x＝﹣6﹣3，
x＝﹣9．
【考点解读】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋•茂南区期末）方程2x＝去分母后，正确的是（ ）
A．2x＝2﹣（4x+1）B．12x＝2﹣4x+1
C．2x＝D．12x＝2﹣4x﹣1
【思路点拨】按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：2x＝，
去分母得：
12x＝2﹣（4x+1），
12x＝2﹣4x﹣1，
故选：D．
【考点解读】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式训练03】（2022秋•东昌府区校级期末）解方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1），
x2+x﹣1＝x（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，x（x﹣1）≠0，
∴x＝是原方程的根；
（2），
2（x﹣2）+x+2＝4，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【考点解读】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
易错分析 03
运用不等式的性质３时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。注意结合不等号两边的正负性灵活转变不等号的方向。不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。
（2022秋•碑林区校级期末）解不等式组：．
【答案】，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≥，
∴原不等式组的解集为：x≥．
【思路点拨】答案错误，没有注意运算符号，没有改变符号方向。
【规范解答】，
解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜x≤．
【考点解读】解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题题的关键．
【变式训练01】（2022秋•拱墅区期末）若a＞b，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．a﹣3＜b﹣3C．﹣3a＜﹣3bD．a﹣b＜0
【思路点拨】根据不等式的性质进行判断．
【规范解答】解：A、不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即＞，故本选项不符合题意；
B、不等式a＞b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a﹣3＞b﹣3，故本选项不符合题意；
C、不等式a＞b的两边同时乘﹣3，不等式仍成立，即﹣3a＜﹣3b，故本选项符合题意；
D、不等式a＞b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a﹣b＞0，故本选项不符合题意．
故选：C．
【考点解读】本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
【变式训练02】（2022秋•东方期末）计算：
（1）；
（2）解不等式组：．
【思路点拨】（1）先计算平方根，乘方，再计算除法和加减法；
（2）分别计算两个不等式，再求两个解得公共部分即可．
【规范解答】解：（1）原式＝4×（﹣2）﹣2+9
＝﹣8﹣2+9
（2）解不等式3x﹣4＜5，得x＜3；
解不等式＞1，得x＞1，
∴原不等式组的解为：1＜x＜3．
【考点解读】本题主要考查运算能力，涉及实数的运算，解一元一次不等式组，掌握相关运算法则是解题基础．
【变式训练03】（2022秋•碑林区校级期末）关于x的不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤6的范围中，则a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．1≤a≤5D．a≥5
【思路点拨】先按照解一元一次不等式组的步骤进行计算可得2a﹣4＜x＜a﹣3，然后根据题意可得：2a﹣4≥6或a﹣3≤﹣2，从而可得：a≥5或a≤1，最后再根据不等式组有解集可得a﹣3＞2a﹣4，进行计算即可解答．
【规范解答】解：，
解不等式①得：x＜a﹣3，
解不等式②得：x＞2a﹣4，
∴原不等式组的解集为：2a﹣4＜x＜a﹣3，
∵不等式组有解且每一个x的值均不在﹣2≤x≤6的范围中，
∴2a﹣4≥6或a﹣3≤﹣2，
解得：a≥5或a≤1，
∵不等式组有解集，
∴a﹣3＞2a﹣4，
解得：a＜1，
综上所述：a的取值范围是a＜1，
故选：A．
【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
易错分析 04
一元二次方程中相关字母的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。解这类问题一定要掌握一元二次方程的定义，注意特殊字母的取值范围
（2022秋•梁溪区校级期中）已知方程（a﹣2）x|a|+2x＝0是关于x的一元二次方程，则a＝ ﹣2 ．
【答案】2或-2
【思路点拨】答案错误，没有考虑到满足二元一次方程定义，根据一元二次方程的定义求解即可．
【规范解答】解：由题意得：|a|＝2，且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【考点解读】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【变式训练01】（2022秋•凤凰县期末）已知：（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ﹣3 ．
【思路点拨】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【规范解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|+6x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m+1|＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【考点解读】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数是解题关键．
【变式训练02】（2022秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1B．a＝1C．a≠1D．a≥0
【思路点拨】根据一元二次方程定义可得：a﹣1≠0，再解即可．
【规范解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：C．
【考点解读】此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【变式训练03】已知关于x的一元二次方程ax2+2xa﹣4xb﹣5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值．
【思路点拨】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【规范解答】解：根据题意知，当时，方程为2x2﹣4x﹣5＝0，
当时，方程为﹣3x2+2x﹣5＝0，
当时，方程为﹣4x2﹣3＝0，
当时，方程为4x2﹣9＝0，
当时，方程为x2﹣2x﹣5＝0，
当时，方程为x2+2x﹣9＝0．
【考点解读】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
易错分析 05
关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视相等的情况。解不等式过程中，容易忽视整数解的正确选择，需要考虑到解题步骤中要满足每个步骤及相关条件
（2022•成都模拟）解不等式组：．
【答案】，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＞2.5，
∴原不等式组的解集为：x＞2.5．
【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2.5，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2.5．
【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋•平南县期末）解不等式组：，并利用数轴表示不等式组的解集．
【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣2.5，
∴原不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤2，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【变式训练02】（2022•蔡甸区模拟）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x≤1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x＞﹣3 ；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣3＜x≤1 ．
【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：，
（Ⅰ）解不等式①，得x≤1；
（Ⅱ）解不等式②，得x＞﹣3；
（Ⅲ）将不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
故答案为：（Ⅰ）x≤1；
（Ⅱ）x＞﹣3；
（Ⅳ）﹣3＜x≤1．
【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【变式训练03】（2022春•淮阴区期末）解不等式（组）：
（1）解不等式≥x﹣7，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【思路点拨】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）≥x﹣7，
1﹣3x≥2（x﹣7），
1﹣3x≥2x﹣14，
﹣3x﹣2x≥﹣14﹣1，
﹣5x≥﹣15，
x≤3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2），
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
∴该不等式组的所有整数解为：﹣1，0，1．
【考点解读】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错分析 06
解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。另外注意方程无解时，相关字母可能会出现多个解，容易遗漏
（2022春•大英县期末）关于x的分式方程无解，则a的值是 ．
【答案】a的值为1
【思路点拨】答案错误，没有考虑到无解的多种情况，分两种情况：当a﹣1＝0时，整式方程无解，当x﹣1＝0时，分式方程有增根，无解，然后分别进行计算即可解答．
【规范解答】解：，
ax+1＝4+x﹣1，
（a﹣1）x＝2，
∵分式方程无解，
∴分两种情况：
当a﹣1＝0时，a＝1；
当x﹣1＝0时，x＝1，
把x＝1代入（a﹣1）x＝2中，
a﹣1＝2，
∴a＝3，
综上所述：a的值为1或3．
【考点解读】本题考查了分式方程的解，解分式方程，分两种情况进行计算是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋•磁县期末）（一）分解因式：
（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）；
（2）（x2+1）2﹣4x2；
（3）x2﹣7x+12．
（二）解分式方程：．
【思路点拨】（一）（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方差公式继续分解即可解答；
（3）利用因式分解﹣十字相乘法，进行分解即可解答；
（二）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（一）（1）x2（x+4）﹣4x（x+1）
＝x[x（x+4）﹣4（x+1）]
＝x（x2+4x﹣4x﹣4）
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）；
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1）2﹣（2x）2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2；
（3）x2﹣7x+12
＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）
＝（x﹣3）（x﹣4）；
（二）．
方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得：
（x+1）（x+1）﹣4＝（x+1）（x﹣1），
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原分式方程无解．
【考点解读】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，因式分解﹣十字相乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋•绥棱县校级期末）解下列分式方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1），
1﹣2＝x﹣1，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x﹣1≠0，
∴x＝0是原方程的根；
（2），
2x﹣1﹣3＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，3（2x﹣1）≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【考点解读】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【变式训练03】（2022•常德）方程+＝的解为 x＝4 ．
【思路点拨】方程两边同乘2x（x﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x的值，检验后得到答案．
【规范解答】解：方程两边同乘2x（x﹣2），得4x﹣8+2＝5x﹣10，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，2x（x﹣2）＝16≠0，
∴x＝4是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【考点解读】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．
易错分析 07
不等式（组）的解得问题要先确定解集，注意包含与不包含，以及对正整数，整数，非负整数等关键词理解要透彻，容易概念混乱。确定解集的方法运用数轴。
（2022秋•鄞州区期中）不等式3+x＞3x﹣5的正整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【思路点拨】答案错误，注意两点：4取不到，正整数解不包含0.再按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：3+x＞3x﹣5，
x﹣3x＞﹣5﹣3，
﹣2x＞﹣8，
x＜4，
∴该不等式的正整数解为：3，2，1，共有3个正整数解，
故选：C．
【考点解读】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
【变式训练01】（2022春•黑山县期中）解不等式：
①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，并把解集在数轴上表示出来．
②解不等式：≥﹣1，并写出其非负整数解．
【思路点拨】①按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
②按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：①2（x﹣1）＜3（x+1）﹣2，
2x﹣2＜3x+3﹣2，
2x﹣3x＜3﹣2+2，
﹣x＜3，
x＞﹣3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
②≥﹣1，
4（2x﹣1）≥3（3x+2）﹣12，
8x﹣4≥9x+6﹣12，
8x﹣9x≥6﹣12+4，
﹣x≥﹣2，
x≤2，
∴该不等式的非负整数解2，1，0．
【考点解读】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【变式训练02】（2022春•新会区期末）关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ）
A．5≤m＜8B．5＜m＜8C．5≤m≤8D．5＜m≤8
【思路点拨】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围．
【规范解答】解：3x﹣m+2＞0，
3x＞m﹣2，
，
∵不等式的最小整数解为2，
∴，
解得：5≤m＜8，
故选：A．
【考点解读】本题考查的是含参数的一元一次不等式，掌握根据不等式的最小整数解求参数的取值范围是解决此题的关键．
【变式训练03】（2022春•南宁期末）不等式4﹣3x＞2x﹣6的非负整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【规范解答】解：4﹣3x＞2x﹣6，
﹣3x﹣2x＞﹣6﹣4，
﹣5x＞﹣10，
x＜2，
∴不等式的非负整数解为：1，0，
∴不等式的非负整数解有2个，
故选：B．
【考点解读】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
易错分析 08
掌握科学记数法，精确度概念。熟练掌握概念：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
易错分析 08
方程与不等式应用于实际问题时应注意：（1）单位要统一；（2）找等量关系必须准确；（3）列方程组时要避免出现0=0的情况。在一元二次方程中容易忽略多个解
（2022•中山市三模）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书．调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，学校至多能够提供资金3750元，请写出所有购买方案供这个学校选择（两种规格的书柜都必须购买）．
【答案】甲种书柜2个，乙种书柜18个
【思路点拨】答案错误，没有考虑多解，（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金1020元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1440元列出方程组求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个．根据：购买的乙种书柜的数量≥甲种书柜数量且所需资金≤3750列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
【规范解答】解：（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解之得：，
∴甲种书柜单价为240元，乙种书柜的单价为180元．
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20﹣m）个；
由题意得：240m+180（20﹣m）≤3750．
解之得：m≤2.5
∵m取整数，
∴m可以取的值为：1，2．
即：学校的购买方案有以下两种：
方案一：甲种书柜1个，乙种书柜19个，
方案二：甲种书柜2个，乙种书柜18个．
【考点解读】本题主要考查二元一次方程组、不等式的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
【变式训练01】（2022春•遂川县期末）近几年我县的桃源梯田与红色圩场景点吸引了县内外众多游客，甲、乙两家旅行社为了让更多的游客前往旅游，分别推出了“赏桃源梯田，忆红色圩场”旅游的团体优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人80元，试说明随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
【思路点拨】设团体人数为x，根据甲、乙两个旅行社的优惠办法，分别列出式子，再进行比较即可．
【规范解答】解：设团体人数为x，
则甲旅行社的费用是80×4+80×0.5 （x﹣4）＝（40x+160）元，
乙旅行社的费用是80×x＝60x元，
令40x+160＝60x，得x＝8，
令40x+160＜60x，得x＞8，
令40x+160＞60x，得x＜8，
∴当团体人数为8时，两家旅行社的收费一样；当团体人数少于8时，乙旅行社收费更优惠；当团体人数多于8时，甲旅行社收费更优惠．
【考点解读】本题主要考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等，题目相对比较简单，根据题意得出甲、乙两个旅行社的费用是解题关键．
【变式训练02】（2022秋•长泰县期中）为响应国家节能减排的号召，各地市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的阶梯电价收费标准（每月）：
（1）小明家七月份共用电470度，求小明家七月份应交多少电费？
（2）如果某户居民某月用电a度（220≤a＜420），请用含a的代数式表示该户居民该月应交电费．
（3）小明家九月份的电费是165元，求该月用电多少度？
【思路点拨】（1）根据阶梯收费可求出小明家七月份电费；
（2）根据阶梯收费可得出结论；
（3）先判断九月份的电费在的范围，再求解即可．
【规范解答】解：（1）根据题意可知，小明家七月份的电费为：
220×0.5+（420﹣200）×0.55+（470﹣420）×0.8＝110+110+40＝260（元），
∴小明家七月份应交260元电费；
（2）根据题意可得，220×0.5+（a﹣220）×0.55＝0.55a﹣11．
∴该户居民该月应交电费（0.55a﹣11）元；
（3）当用电220度时，应交电费220×0.5＝110（元），
当用电420度时，应交电费220×0.5+（420﹣200）×0.55＝110+110＝220（元），
设小刚家八月份的用电量x千瓦时，
∵110＜165＜220，
∴220＜x＜420，
∴0.55x﹣11＝165，
解得x＝320．
∴该月用电320度．
【考点解读】本题考查解一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的解法，根据题意列式或列方程是解题关键．
【变式训练03】（2022•宁夏）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．
（1）篮球和排球的单价各是多少元？
（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？
【思路点拨】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买排球y个，则购买篮球（20﹣y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不
【规范解答】解：（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝110．
∴篮球的单价为110元，排球的单价为80元．
（2）设购买篮球y个，则购买排球（20﹣y）个，
依题意得：110y+80（20﹣y）≤1800，
解得y≤6，
即y的最大值为6，
∴最多购买6个篮球．
【考点解读】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
一、选择题
1．（2022九上·洪泽月考）方程2x2+x-4=0的解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有一个实数根
【答案】A
【规范解答】解：根据题意得△=12-4×2×（-4）=1+32=33，
所以方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【思路点拨】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
2．（2022九上·通州月考）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【规范解答】解：A、，
方程没有实数根；
B、，
方程有两个不相等的实数根；
C、，
方程有两个相等的实数根；
D、，
∴方程没有实数根．
故答案为：C．
【思路点拨】各选项中的一元二次方程都是一般形式，再分别求出各选项中方程的b2-4ac，根据b2-4ac的值的情况，可得到有两个相等的实数根的选项.
3．（2022九上·吴江月考）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】D
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得： ．
故答案为：D.
【思路点拨】由方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
4．（2021·建邺模拟）已知双曲线 与直线 交于 ， ，若 ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【规范解答】解：由题意得方程 的两根分别为 ， ，
∴ + = ， = ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴k、 异号，
∵ ，
∴ = ，
∵ ，
∴ ＞0，
∵ ，
∴ ＞0，
∴ ，
∴ ， .
故答案为：C.
【思路点拨】由题意可得方程kx2+bx-2021=0的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可确定出k、b异号，表示出y1、y2，根据y1+y2>0可得x1x2=0，据此可判断出k、b的正负.
5．（2020九上·丹徒期中）已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【规范解答】解：由题意得：此方程的根的判别式 ，
解得 ，
是一元二次方程 的一个根，
，即 ，
对于任意实数m， 均成立，
令 ，
整理得： ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为 ，
即 的最大值等于 ，
故答案为：A.
【思路点拨】由 x=m是方程的根和一元二次方程根的判别式可得m，n的范围和，根据二次函数的性质可得最大值.
二、填空题
6．（2022九上·洪泽月考）如果a是方程的一个实数根，则的值为 ．
【答案】2023
【规范解答】解：把代入得到，
则．
又∵，
把代入得，
故答案为：2023.
【思路点拨】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得a2-2a=2，待求式可变形为2(a2-2a)+2019，据此计算.
7．（2022九上·洪泽月考）商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，设该店销售额平均每月的增长率是x，由题意列出方程是 ．
【答案】
【规范解答】解：设该店销售额平均每月的增长率是x，根据题意得，
．
故答案为：．
【思路点拨】由题意可得：2月份的销售额是2(1+x)万元，3月份的销售额是2(1+x)2万元，然后根据3月份的销售额是4.5万元就可列出方程.
8．（2022九上·沭阳月考）把方程化成的形式，则的值是 ．
【答案】5
【规范解答】解：方程整理得：，
配方得：，
即，
，，
则．
故答案为：5.
【思路点拨】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可化为(x+m)2=n的形式，得到m、n的值，再根据有理数的加法法则进行计算.
9．（2021九上·海安月考）已知关于x的方程 ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 、 、 ，且 ，则q的值为 .
【答案】3
【规范解答】解：依题意，

设
方程有三个不同的实数根 、 、 ，
则 与 的图象有三个不同的交点，

，对称轴为
则 与 的图象有三个不同的交点，
则 经过 的顶点
设 ，则
即
设 是 的两根，
则
即
，


解得
.
故答案为：3.
【思路点拨】设y1=x2+2px-3p2+5，y2=±q，根据方程有三个不同的实数根可得y=-q经过y1的顶点，设x3=-p，据此可得q与p的关系，根据根与系数的关系可得x1+x2=-2p，x1x2=10-7p2，x3=-p，然后结合可得p2=2，根据判别式求出p的范围，进而可得q的值.
10．（2020九上·泰兴期末）对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于4－n，我们称n为这个函数的“二合点”，如果二次函数y＝mx2+x+1有两个相异的二合点x1，x2，且x1＜x2＜1，则m的取值范围是 ．
【答案】﹣ ＜m＜0或m＞1
【规范解答】根据题意得：
整理得:
∵有两个相异的二合点
∴
得:
① 当m>0时，根据x1＜x2＜1，由求根公式得:
解得:m>l，m