【江苏专用】2023年中考数学易错题汇编——05 四边形（原卷版+解析版）

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易错点05 四边形
1． 多边形对角线、内角和、外角和
2． 平行四边形定义性质判定。
3． 菱形定义性质判定。
4． 矩形形定义性质判定。
5． 正方形定义性质判定。
6． 四边形综合应用

易错分析 01

认识多边形。多边形考察范围较广，涉及的知识点较为宽泛，在综合能力考察上要求较高，注意规则图形与不规则图形的转换方式，辅助线分割方法，化繁为简。掌握解题技巧性

如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________．

【答案】1∶2
【思路点拨】答案有误，分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【规范解答】解：，
，
∴的面积与的面积比为1∶4．
故答案为1∶4．
【考点评析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键．

【变式训练01】（2022·江苏常州·九年级专题练习）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）．

【答案】不会
【思路点拨】设扭动后对角线的交点为，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断．
【规范解答】解：设扭动后对角线的交点为，如下图：

，
根据正方形的性质得，
得出扭动后的四边形四边相等为菱形，
cm，
为等边三角形，
cm，
cm，
cm，
根据菱形的对角线的性质：(cm)，
，
不会断裂，
故答案为：不会．
【考点评析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．
【变式训练02】（2023秋）已知，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)如图1，在方格纸中画出以为一边的等腰，点C在小正方形的顶点上，且的面积为10；
(2)如图2，在方格纸中画出以为一边的平行四边形，点D、E均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为10，连接，并直接写出线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，

【思路点拨】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形面积求法得出答案；
（2）根据平行四边形的面积为10构造图形即可．
【规范解答】（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，四边形即为所求；
由图可知：．

【考点评析】此题主要考查了网格中多边形的面积，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是根据提供的面积，结合网格性质画图．
【变式训练03】（2022秋九年级期中）如图，菱形的两条对角线，相交于点O，若，，求菱形的周长．

【答案】
【思路点拨】根据菱形的性质，得到，，进而得到，再根据勾股定理得到，即可求出菱形的周长．
【规范解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
菱形的周长．
【考点评析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，多边形周长，熟练掌握菱形的性质是解题关键．


易错分析 02

多边形对角线、内角和、外角和。掌握内角和公式，外角和360°公理的由来。


（2022秋·九年级统考期中）已知，如图两个四边形相似，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】答案有误，根据相似多边形的性质及四边形的内角和即可求解．
【规范解答】解：如图：

两个四边形相似，
，
，
故选：A．
【考点评析】本题考查了相似多边形的性质，多边形的内角和，熟练掌握和运用相似多边形的性质是解决本题的关键．

【变式训练01】（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，已知，．

(1)在图中，用尺规作出的内切圆O，并标出与边，，的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
(2)连接，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)

【思路点拨】（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
【规范解答】（1）解：如图1，

即为所求．
（2）如图2，

连接，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【考点评析】此题主要考查了基本作图，三角形的内切圆的性质，四边形的内角和公式，圆周角定理，解本题的关键是作出三角形的内切圆．
【变式训练02】（2021·校考二模）下列说法：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查；（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°60′；（3）若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是35；（4）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x＋k＝0的两个根，则k的值为3；正确的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【思路点拨】根据根的判别式，全面调查和抽样调查的概念，补角的定义，多边形的内角和外角的定义判断即可．
【规范解答】解：（1）了解一批灯泡的使用寿命，采用抽样调查，故错误，不符合题意；
（2）若∠α＝20°40′，则∠α的补角为159°20′，故错误，不符合题意；
（3）∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n＝180×（n﹣2），
解得：n＝10，
这个正n边形的对角线的条数是：＝35（条），正确，符合题意；
（4）当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合题意．
∴k的值为3或4，故错误；
∴正确的个数是1，
故选：A．
【考点评析】本题考查了等腰三角形的分类问题，注意等腰三角形的边分底边和腰两种情况，同时还要注意满足三角形三边关系.
【变式训练03】（2022·江苏·九年级专题练习）【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（），点、的对应点分别为点、．

(1)【问题解决】如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
(2)【问题解决】若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②连接，求的长；
(3)【问题解决】在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)
(2)①正方形，见解析；②
(3)

【思路点拨】（1）由勾股定理得AB=2，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解；
（2）①由旋转的性质得AE'=AE，∠EAE'=α=90°，∠AE'D=∠AEB=90°，再证四边形AEFE′是矩形，即可得出结论；
②过点C作CG⊥BE于点G，证△BCG≌△ABE（AAS），得CG=BE=4，BG=AE=2，则EG=BE-BG=2，再由勾股定理求解即可；
（3）当α=0°时，E'与E重合，CE'最短=2；当E‘落在CA的延长线上时，AE'=AE=2，CE'最长=AC+AE'=2+2，即可得出答案．
【规范解答】（1）∵AE＝2，BE＝4，∠AEB＝90°，
∴，
∵四边形ABD是正方形，
∴，∠ABC＝90°，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
（2）①四边形AEFE′是正方形，理由如下：
由旋转的性质得：AE'＝AE，∠EAE'＝α＝90°，∠AE'D＝∠AEB＝90°，
∵∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AEFE′是矩形，
又∵AE'＝AE，
∴四边形AEFE′是正方形；
②过点C作CG⊥BE于点G，如图3所示：
则∠BGC＝90°＝∠AEB，
∴∠CBG+∠BCG＝∠CBG+∠ABE＝90°，
∴∠BCG＝∠ABE，
在△BCG和△ABE中，
∠BCG＝∠ABE
∠BGC＝∠AEB
BC＝AB，
∴△BCG≌△ABE（AAS），
∴CG＝BE＝4，BG＝AE＝2，
∴EG＝BE﹣BG＝4﹣2＝2，
∴．

（3）∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B′、E′，
点E′运动轨迹是以A为圆心，AE＝2为半径的半圆，
∴当α＝0°时，E'与E重合，CE'最短；
当E′落在CA的延长线上时，AE'＝AE＝2，CE'最长，
∴线段CE′长度的取值范围是．
【考点评析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形





易错分析 03

平行四边形的性质掌握及应用。理解性质和判定的区别和联系，充分应用平行四边形的性质解决问题


（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为______．

【答案】
【思路点拨】答案有误，过点作，先由和平行四边形的性质说明是的中位线并求出，再判断，最后由相似三角形的性质得结论．
【规范解答】解：过点作，交于点，
四边形是平行四边形，是对角线与的交点，
，点是的中点．
，
是的中位线．
，．
．
．
，
．
．
．
故答案为：．

【考点评析】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理及平行四边形的性质是解决本题的关键．

【变式训练01】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，是一条小河平行的两岸．

（1）的距离等于___________；
（2）现要在小河上修一座垂直于两岸的桥（点在上，点在上，桥的宽度忽略），使最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）___________．
【答案】          见解析
【思路点拨】（1）利用勾股定理求出的长即可；
（2）要使最短，则，与转化成一条线段时最短，取格点，连接，使，交于Q，交于P，由网格性质可得，由可得平行线间的距离的长，取格点、，连接，使)，与交于点，根据相似三角形的性质可得，同理可作点，连接与交于点，连接与交于点，则， 可得四边形是平行四边形，由全等三角形的性质可得，可得四边形是平行四边形，可知，同理，则距离最短，即可得解.
【规范解答】（1）=.
故答案为：
（2）如图，取格点，连接，使，交于Q，交于P，
∴，
∴，
取格点、，连接，使)，与交于点；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理：，
∴距离最短，
∴即为所求.

故答案为：取格点，连接，使，交于Q，交于P，取格点、，连接，使)，与交于点；同理作点；连接与交于点，连接与交于点，连接，即为所求．
【考点评析】本题考查网格的特征，全等三角形及相似三角形的应用，熟练掌握相关性质是解题关键．

【变式训练02】（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点．

(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)

【思路点拨】（1）由四边形是平行四边形得，.根据“两角对应相等，两个三角形相似”得.
（2）设，根据“相似三角形对应边成比例”列比例式得，则.同（1）证，根据“相似三角形对应边成比例”即可求出的值.
【规范解答】（1）四边形是平行四边形

，
，

（2）四边形是平行四边形
设
由（1）得

，

四边形是平行四边形


．

【考点评析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
【变式训练03】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，以为直径的切于点A，与交于点E．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若cm，弦CE的长为16cm，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)10

【思路点拨】（1）根据切线的性质可得，然后根据平行四边形的性质可得，从而利用平行线的性质求出，即可解答；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，从而可证，然后利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
【规范解答】（1）证明：∵与相切于点A，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
在中，，
∴，
∴的半径长为10．
【考点评析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

易错分析 04

平行四边形的判定及应用。熟练掌握判定方法的证明过程，借助辅助线解决问题。


（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在中，点D是边的中点，点F，E分别是及其延长线上的点，，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当满足____________条件时，四边形为菱形．（填写序号）
①．②，③，④．
【答案】(1)见详解
(2)③，理由见详解

【思路点拨】第2小题答案有误，（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形；
（2）由，得到，由得，即互相垂直平分，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形．
【规范解答】（1）证明：在中，D是边的中点，
∴
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）满足条件①时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
∵为中线，
∴，
即，
由（1）知，，
∴，
∴平行四边形为菱形．
故答案为：①．
【考点评析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握菱形的判定方法，且证得得到是解决问题的关键．

【变式训练01】（2019秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在中，，，圆心在内部经过、两点，并交于点，过点作的切线交于点延长交于点，作交于点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)详见解析
(2)

【思路点拨】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据切线的性质得到，得到，于是得到结论；
（2）过作于，得到是等腰直角三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论．
【规范解答】（1）证明：在中，，，
，
，
是的切线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过作于．
是等腰直角三角形，

，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【考点评析】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练02】（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）（1）如图，点，均在正方形内部，且，．
求证：四边形是平行四边形；
求正方形的边长；
（2）如图，点，，，均在正方形内部，且，，求正方形的边长．

【答案】（1）见解析；（2）（3）
【思路点拨】（1）①连接交于点，证明，则，即可得证；
②根据勾股定理以及全等三角形的性质得出，即可求解；
（2）连接交于点，过点作交的延长线于点，证明，勾股定理求得，进而即可求解．
【规范解答】（1）①证明：如图，连接交于点

∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴；
（2）连接交于点，过点作交的延长线于点，如图，

∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
同理可得三点共线，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴．
【考点评析】本题考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
【变式训练03】（2021秋·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，中，，O为边上一点，经过点A，与，两边分别交于点E，F，连接．平分，交于点D，经过点D．

(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为5，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4

【思路点拨】（1）连接，欲证明是切线，只要证明即可得解；
（2）过O作于点G．证明四边形四边形为矩形，求出，可得结论．
【规范解答】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，过O作于点G，

由垂径定理，得：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴．
【考点评析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．

易错分析 05

特殊平行四边形（矩形）判定与性质应用。求角度，求线段长，求面积等问题中有一定难度，综合能力要求较高，注意解题技巧的掌握。三角形的中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，尽管都有“一半”，但二者成立的条件和结论不一样，不要混淆。


（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图．在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=___________．

【答案】2
【思路点拨】答案有误，未考虑到辅助线。首先确定P点的位置，画出辅助圆，再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的判定与性质即可求解．
【规范解答】解：如图，当P点在与相切，且经过D点和M点的上时，的度数最大，
此时，P点即为切点，
连接，
∴，
∵正方形的边长为，M点为的中点，
∴，
过O点作于E，
∴，
延长，交于点F，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，
连接，则，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【考点评析】本题考查了最大张角问题，涉及到了正方形性质的应用、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．

【变式训练01】（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，为的直径，平分，于，交于．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)

【思路点拨】（1）连接，推出，得到，即可得到，由此得到结论为的切线；
（2）过点作于，根据垂径定理得到，证明四边形为矩形，求出，利用勾股定理求出即可．
【规范解答】（1）证明：连接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：过点作于，

则，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
则的半径为．
【考点评析】此题考查了圆的知识，证明一条直线是圆的切线，垂径定理，以及勾股定理，矩形的判定和性质定理，熟记各定理是解题的关键．
【变式训练012（（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形中，轴，，原点是对角线的中点，顶点的坐标为，反比例函数在第一象限的图象过四边形的顶点．

(1)求点的坐标和的值；
(2)将平行四边形向上平移，使点落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段扫过的面积．
(3)若、两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形是菱形，求的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)

【思路点拨】（1）利用平行于轴的直线上的点纵坐标相等得出的纵坐标，再用距离确定出点的横坐标，将的坐标代入，利用待定系数法即可求出；
（2）利用平行四边形的性质得出点点坐标为．设点向上平移个单位，根据在的图象上，列出方程，求出，那么平移过程中线段扫过的面积是的面积，根据平行四边形的面积公式列式计算；
（3）利用菱形的性质得出直线的解析式，根据点，在双曲线上求出点，的坐标，再根据两点间的距离公式求出的长．
【规范解答】（1）解：设与轴交于点，
轴，
、的纵坐标相同．
，
，
，
．
在反比例函数的图象上，
；
（2）解：在平行四边形中，原点是对角线的中点，
与关于原点对称，
．
设点向上平移个单位，则在的图象上，
，解得．
设与相交于，
则．
平移过程中线段扫过的面积是；

（3）解：四边形是菱形，
．
直线的解析式为，
直线的解析式为：，
设点的坐标为且，则点的坐标为，
、两点分别在反比例函数图象的两支上，
，
解得：，
故的坐标为：，的坐标为，
．

【考点评析】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，坐标与图形变化平移．解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是求出平移的距离，解（3）的关键是确定出直线的解析式．
【变式训练013（（2022秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考期中）如图，在矩形中，，，是边的中点，点在线段上，过作于，设．

(1)求证：．
(2)当点在线段上运动时，是否存在实数，使得以点，，为顶点的三角形也与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，的值为或

【思路点拨】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）分情况讨论 ：①当时，则得到四边形为矩形，从而求得x的值；②当时，再结合（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
【规范解答】（1）证明：∵矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解： ①若，如图1，

则，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，即．
②如图2，若，

则，
∵
∴，
∴．
∴．
∵，
∴点为的中点，
中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的的值为或．
【考点评析】本题考查动点问题，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解．

易错分析 06

特殊平行四边形（菱形）判定与性质应用。


（2021·江苏苏州·一模）如图1，已知在平行四边形中，，若点P从顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的关系图像，则a的值为（    ）

A．5 B． C． D．
【答案】B
【思路点拨】答案有误，首先判断四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC，根据图象的三角形的面积可得菱形的边长为5，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求A．
【规范解答】解：过点D作DE⊥BC，

∵平行四边形ABCD中，AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形，AD∥BC，
∴当点P在边AD上运动时，y的值不变，
∴AD=a，即菱形的边长是a，
∴a•DE＝2a，即DE=4．
当点P在DB上运动时，y逐渐减小，
∴DB=5，
∴BE=，
在Rt△DCE中，DC=a，CE=a-3，DE=4，
∴a2=42+（a-3）2，解得a=，
故选：C．
【考点评析】本题考查菱形的性质，根据图象分析得出a的值是解题关键．

【变式训练01】（2022·江苏苏州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．

(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．
【答案】(1)见解析
(2)25

【思路点拨】（1）根据矩形性质，先得出，根据平行线的性质得出∠EDO=∠FBO，利用“ASA”证明△DOE≌△BOF即可；
（2）根据EF垂直平分BD，得出BE=DE，设BE=DE=x，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，证明四边形BFDE为菱形，即可求出其周长．
【规范解答】（1）解：∵O为BD中点，
∴BO=DO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，，
∴∠EDO=∠FBO，
∵∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF（ASA）．
（2）∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，
设BE=DE=x，则
在Rt△ABE中，，
即，
解得：，
∵△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
又∵，
∴四边形BFDE为平行四边形，
∵，
∴四边形BFDE为菱形，
，
∴．
【考点评析】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，根据已知条件，利用勾股定理，求出BE的长，是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)

【思路点拨】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案；
（2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【规范解答】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图，

由（1）得，
∵，
∴，
∴的长．
【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
【变式训练03】（2022·浙江温州·统考二模）如图，在8×8的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD为格点图形（顶点在格点上），请按以下要求画出相应的格点图形．

(1)在图1中画出格点△ABP，使△ABP的面积等于四边形ABCD的面积．
(2)在图2中画出格点四边形ABQD，使四边形ABQD的面积等于四边形ABCD的面积，且格点Q不与格点C重合．
【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析．

【思路点拨】（1）先延长CD、BA交于格点E，求出四边形ABCD的面积，根据AB的长度求出AB边上的高，作图即可；
（2）连接BD，由题意知三角形BCD面积等于三角形BQD面积，即CQ∥BD，过点C作直线l∥BD，找到交点在格点的位置即可．
【规范解答】（1）解：延长CD，BA交于格点E，如图所示，

可得：四边形ABCD面积=三角形BCE面积－△ADE面积=，
∵AB=3，
∴三角形ABP中，AB边上的高为9×2÷3=6，
即P点在距离AB为6个单位长度的直线上，作图如下（答案不唯一）．

（2）解：连接BD，
∵四边形ABQD的面积等于四边形ABCD的面积，
∴三角形BCD面积等于三角形BQD面积，即CQ∥BD，
过点C作直线l∥BD，
直线l上在格点处即为Q点位置，作图如下（答案不唯一）．

【考点评析】本题考查了格点中的应用设计作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角形面积公式，难点在于利用同底等高的三角形面积相等作图．

易错分析 07

特殊平行四边形（正方形）判定与性质应用


（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【思路点拨】答案有误，延长交于，连接，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据旋转的性质得出，得出即可判断①，根据题意得出四边形是矩形，由即可判断②，进而得出，根据判断③，根据勾股定理以及等角对等边可得，得出，由四边形是正方形，得出，即可求解．
【规范解答】解：如图，延长交于，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵将绕着点顺时针旋转得，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形是矩形，
∴
∵
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，故②正确；
∴，
∴

，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵四边形是正方形，
∴，
∴，故④错误，
∴正确的是：①②③，
故选：B．
【考点评析】本题考查了矩形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．

【变式训练01】（2022秋·九年级课时练习）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．
【规范解答】如图，连接, ，

边长为的正方形内接于，即，
，，为的直径，，
，分别与相切于点和点，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，


．
故选C．
【考点评析】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋·江苏·九年级周测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是BA上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点P，与AC相切于点D，已知AB=8，⊙O的半径为r．

(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；
(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；
(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)

【思路点拨】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由AP=DP，得∠PDA=∠A，再由等角的余角相等证明∠PDO=∠POD，则AP=OP=OB=r，列方程可求出r的值；
（2）连接OC、OD，由勾股定理求出AC的长，再根据面积等式列方程即可求出r的值；
（3）设AD的垂直平分线交AD于点F，与的一个交点为点E，当EF与相切时r的值最小，可求出r的最小值；再由OB+OD