人教版初中数学八年级上册培优课件 5 动态问题中的全等三角形

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动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动． 全等三角形的证明中，有的相关三角形是动态的，那么这样的三角形还会全等吗？我们来探究一下，掌握其中的解题规律.
【课前热身】如图,要得到△ABC≌△ADC,除公共边AC外,还需要增加两个条件,你能找出多少种不同的方法?
例1.已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.
解：AC＝CE，理由如下：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B＝∠D＝90°在△ABC和△CDE中
归纳：例题中，虽然动点引起了相关线段大小、角度大小、图形位置的变化，但对应边相等、对应角相等的条件并没有改变，因而相应的三角形仍然全等.
1.已知，如图1，EF分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB＝CD，AF＝CE，（1）试判断线段BF与DE之间的数量关系；
1.已知，如图2，EF分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB＝CD，AF＝CE，连接BD交AC于点G.（2）求证：GB＝GD，GE＝GF；
（3）当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由.
2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）求证：△DFE是等腰直角三角形；（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由；（4）求△CDE面积的最大值．
（1）求证：△ADF≌△CEF；．
（2）求证：△DFE是等腰直角三角形；
（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由；
（4）求△CDE面积的最大值．
例2.如图1，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，⑴求证：△AFC≌△DEB．⑵如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由.
（1）如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，⑴求证：△AFC≌△DEB．
证明：∵DE∥AF∴∠A＝∠D∵AB＝CD∴AB＋BC＝CD＋BC即AC＝BD
在△AFC和△DEB中AC=BD∠A=∠DDE＝AF∴△AFC≌△DEB
⑵如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由.
解：成立，理由如下：∵DE∥AF，∴∠A＝∠D，∵AB＝CD，∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD.
在△AFC和△DEB中，AC=BD∠A=∠DDE＝AF∴△AFC≌△DEB.
例3．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合时，（2）中的猜想是否仍然成立？并说明理由.
如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，则∠θ的度数是_________.
解：由题意得△BAC≌△BAE≌△DAC∴∠EBA＝∠ABC,∠ACB＝∠ACD根据三角形内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝180°－150°＝30°∴∠θ＝∠EBC＋∠DCB＝2(∠ABC＋∠ACB)＝2×30°＝60°.
如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF= ∠DAB，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
例4.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，（1）若点P在△ABC内部，求证：BQ＝CP；
证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP
在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP
如图1，一等腰直角三角尺GEF（∠EGF=90°，∠GEF=∠GFE=45°，GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想FN，BM相等吗?并说明理由．
平移、翻折、旋转全等三角形中的一个，所得三角形与另一个三角形仍然全等.
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．