2021年四川省凉山州中考数学试卷

这是一份2021年四川省凉山州中考数学试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1．（4分）|﹣2021|＝（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（4分）下列数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功．请将5亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．5×107 B．5×108 C．5×109 D．5×1010
4．（4分）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
6．（4分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
7．（4分）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（　　）
A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，85
8．（4分）下列命题中，假命题是（　　）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
C．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心
9．（4分）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
10．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（　　）

A． B．2 C． D．
11．（4分）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）

A．abc＞0 B．函数的最大值为a﹣b+c
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　
14．（4分）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为　 　．
15．（4分）菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于　 　．
16．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为　 　．

17．（4分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第n个图形需要 　 　根火柴棍．

三、解答题（共5小题，共32分）
18．（5分）解不等式：﹣x＜3﹣．
19．（5分）已知x﹣y＝2，＝1，求x2y﹣xy2的值．
20．（7分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为　 　人，m＝　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21．（7分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是　 　．
24．（5分）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　 　．

五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M•N）＝logaM+logaN．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①log232＝　 　，②log327＝　 　，③log71＝　 　；
（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．
26．（10分）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。
1．（4分）|﹣2021|＝（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据绝对值解答即可．
【解答】解：﹣2021的绝对值是2021，
故选：A．
2．（4分）下列数轴表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断．
【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；
B选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；
C选项，没有原点，故该选项错误；
D选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；
故选：D．
3．（4分）“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功．请将5亿这个数用科学记数法表示为（　　）
A．5×107 B．5×108 C．5×109 D．5×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5亿＝500000000＝5×108．
故选：B．
4．（4分）下面四个交通标志图是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
5．（4分）的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【分析】求出＝9，求出9的平方根即可．
【解答】解：∵＝9，
∴的平方根是±3，
故选：D．
6．（4分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．
【解答】解：∵A（2，1）平移后得到点A′的坐标为（﹣2，﹣3），
∴向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，
∴B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（﹣2﹣4，3﹣4），
即（﹣6，﹣1）．
故选：C．
7．（4分）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（　　）
A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，85
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：90出现的次数最多，众数为90．
这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列，第25和第26个数分别是80、90，所以中位数为（80+90）÷2＝85．
故选：D．
8．（4分）下列命题中，假命题是（　　）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
C．若AB＝BC，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对A进行判断；根据等腰三角形的性质对B进行判断；根据线段的中点定义对C进行判断；根据三角形外心的定义对D进行判断。
【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以A选项不符合题意；
B、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，所以B选项不符合题意；
C、若A、B、C在同一直线上，且AB＝BC，则点B是线段AC的中点，所以C选项符合题意；
D、三角形三条边的垂直中分线的交点叫做这个三角形的外心，所以D选项不符合题意。
故选：C．
9．（4分）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因为△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．

10．（4分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】在Rt△BCE中，由BE2＝CE2+BC2,得到（8﹣x）2＝x2+62，即可求解。
【解答】解：设CE＝x，则AE＝8﹣x＝EB，
在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2,
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得x＝，
故选：D．
11．（4分）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．

根据题意，得
AB＝10cm，CD＝6cm．
∵CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）

A．abc＞0 B．函数的最大值为a﹣b+c
C．当﹣3≤x≤1时，y≥0 D．4a﹣2b+c＜0
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称性得到b＝2a＜0，根据抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A进行判断；利用二次函数的最值问题可对B进行判断;利用抛物线与x轴的交点与图像可对C进行判断；利用x＝﹣2，y＞0可对D进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以A不符合题意；
当x＝﹣1时，函数的最大值为：a•(﹣1)2+b•(﹣1)+c＝a﹣b+c，故B不符合题意；
由图可知，抛物线与x轴的另一交点为（﹣3,0），所以﹣3≤x≤1时，y≥0,故C不符合题意；
当x＝﹣2时，y＞0,
所以，a•(﹣2)2+b•(﹣2)+c＞0,
即4a﹣2b+c＞0,故D符合题意，
故选：D．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3且x≠0　
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得x≥﹣3且x≠0．
故答案为x≥﹣3且x≠0．
14．（4分）已知是方程ax+y＝2的解，则a的值为　﹣1　．
【分析】把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把代入到方程中得：a+3＝2，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（4分）菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于　　．
【分析】由题意得，菱形的面积＝×AC•BD＝×10×24＝120，设菱形的高为h，则菱形的面积＝BC•h＝13h＝120，即可求解。
【解答】解：由题意得，菱形的面积＝×AC•BD＝×10×24＝120，

则AO＝5，BO＝12，
则AB＝＝13，
设菱形的高为h，
则菱形的面积＝BC•h＝13h＝120，
解得h＝，
故答案为．
16．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为　　．

【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC＝S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′求出其值即可．
【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝．
故答案为：。
17．（4分）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；…照这样拼图，则第n个图形需要 　(2n+1)　根火柴棍．

【分析】根据数值的变化找出变化规律,即可得出结论．
【解答】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根火柴棒，
观察发现规律：第一个图形需要火柴棍：3＝1×2+1，
第二个图形需要火柴棍：5＝2×2+1；
第三个图形需要火柴棍：7＝3×2+1，…，
∴第n个图形需要火柴棍：2n+1．
故答案为：(2n+1)．
三、解答题（共5小题，共32分）
18．（5分）解不等式：﹣x＜3﹣．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得．
【解答】解：去分母，得：4（1﹣x）﹣12x＜36﹣3（x+2），
去括号，得：4﹣4x﹣12x＜36﹣3x﹣6，
移项、合并，得：﹣13x＜26，
系数化为1得，x＞﹣2．
19．（5分）已知x﹣y＝2，＝1，求x2y﹣xy2的值．
【分析】将＝1变形后得到y﹣x＝xy,再将多项式因式分解后整体代入可得结论．
【解答】解：∵＝1，
∴y﹣x＝xy．
∵x﹣y＝2,
∴y﹣x＝xy＝﹣2．
∴原式＝xy(x﹣y)＝﹣2×2＝﹣4．
20．（7分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为　40　人，m＝　30　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值；
（2）利用“三等奖”人数为12补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解。
【解答】解：（1）获奖总人数为8÷20%＝40（人），
m%＝×100%＝30%，
即m＝30；
故答案为40；30；
（2）“三等奖”人数为40﹣4﹣8﹣16＝12（人），
条形统计图补充为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率＝＝。
21．（7分）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．

【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝x米，用x表示出AG、DG，根据tan∠ADG＝列出方程，解方程得到答案．
【解答】解:(1)过点D作DH⊥CE于点H,

由题意知CD＝2米,
∵斜坡CF的坡比为i＝1：3,
∴,
设DH＝x(米),CH＝3x(米),
∵DH2+CH2＝DC2,
∴,
∴x＝2,
∴DH＝2(米),CH＝6(米),
答:王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
(2)过点D作DG⊥AB于点G,
∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°,
∴四边形DHBG为矩形,
∴DH＝BG＝2米,DG＝BH＝(x+6)米,
∵∠ACB＝45°,
∴BC＝AB＝x(米),
∴AG＝(x﹣2)米,
∵∠ADG＝30°,
∴,
∴,
∴x＝6+4,
∴AB＝(6+4)(米)．
答:大树AB的高度是(6+4)米．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于E，若DE＝BE．
（1）求证：DA＝DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．

【分析】（1）作DG⊥BD，交BC的延长线于点G，然后即可得得到四边形DEBG的形状，再根据题目中的条件，可以证明△ADE和△CDG全等，然后即可得到结论成立；
（2）根据正方形的性质、勾股定理和三角形相似，可以得到EF的长，然后根据DE的长，即可得到DF的长．
【解答】（1）证明：作DG⊥BD，交BC的延长线于点G，如右图所示，
∵DE⊥AB，∠B＝90°，DG⊥BC，
∴∠DEB＝∠B＝∠BGD＝90°，
∴四边形DEBG是矩形，
又∵DE＝BE，
∴四边形DEBG是正方形，
∴DG＝BE，∠EDG＝90°，
∴DG＝DE，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴DA＝DC；
（2）∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠DEA＝90°，
∴AE＝3，DE＝＝＝3，
由（1）知，△ADE≌△CDG，四边形DEBG是正方形，
∴DG＝DE＝3，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝3，
∴BC＝BG﹣CG＝3﹣3，AE＝AE+BE＝3+3，
∵FG⊥AB，BC⊥AB，
∴FE∥CB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
即，
解得EF＝6﹣3，
∴DF＝DE﹣EF＝3﹣（6﹣3）＝3﹣6+3＝6﹣6，
即DF的长是6﹣6．

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是　m＞﹣3且m≠﹣2　．
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以(x﹣1)得，2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
解得x＝m+3．
∵x为正数，
∴m+3＞0，解得m＞﹣3．
∵x≠1，
∴m+3≠1，即m≠﹣2．
∴m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．
故答案为：m＞﹣3且m≠﹣2．
24．（5分）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　3　．

【分析】连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4,∠BCH＝ACB＝60°＝30°,根据直角三角形的性质得到BH＝AB＝4,CH＝BC＝×4＝2，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝＝，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论。
【解答】解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝CB＝4,∠BCH＝ACB＝60°＝30°,
∴BH＝AB＝4,CH＝BC＝×4＝2，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ＝＝，
∵点P是AB边上一动点，
∴当点P运动到H点时，CP最小，
即CP的最小值为2，
∴PQ的最小值为＝3,
故答案为：3．

五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．
又∵m+n＝logaM+logaN，
∴loga（M•N）＝logaM+logaN．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①log232＝　5　，②log327＝　3　，③log71＝　0　；
（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．
【分析】（1）直接根据定义计算即可；
（2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：loga（M•N）＝logaM+logaN和loga＝logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log5（125×6÷30），计算可得结论．
【解答】解：（1）log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；
故答案为：5，3，0；
（2）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，
又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，
∴loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）原式＝log5（125×6÷30）
＝log525
＝5．
26．（10分）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

【分析】（1）设N（a,b),则A(a,b+),M(a,b+)，由反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，得k＝a•(b+)＝ab,b＝,根据S△AOB＝12得a(b+)＝12,可得a＝4,故k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),设直线MN解析式为y＝mx+n,用待定系数法即可得到答案．
【解答】解：（1）设N（a,b),则OB＝a,BN＝b,
∵AN＝,
∴AB＝b+,
∴A(a,b+),
∵M为OA中点，
∴M(a,b+)，
而反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，
∴k＝a•(b+)＝ab,
解得：b＝,
∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°，
∴OB•AB＝12,即a(b+)＝12,
将b＝代入得：,
解得a＝4,
∴N(4,),M(2，3),
∴k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),
设直线MN解析式为y＝mx+n,
∴,解得,
∴直线MN解析式为y＝﹣x+．
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形性质以及等量代换可得出∠AEC+∠OEA＝90°，即OE⊥BC，从而得出BC是⊙O的切线；
（2）根据△ACE∽△AED和勾股定理可求出AE，DE，根据角平分线的性质可得出三角形BDE的BD边上的高EM，再根据相似三角形和勾股定理求出BD即可．
【解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．

28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据勾股定理求出OA、OC，得出点A、C的坐标，进而得出点B的坐标，运用待定系数法即可求出答案；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，t+3)，根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC＝﹣(t+)2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；
（3）如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方.①当点Q在x轴上方时，根据P与Q纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点Q在x轴下方时，根据P与Q纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即OA2+(3OA)2＝()2，
解得：OA＝1，
∴OC＝3，
∴A(1，0)，C(0，3)，
∵OB＝OC＝3，
∴B(﹣3，0)，
设抛物线解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，将C(0，3)代入，
得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x+3)(x﹣1)＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将B(﹣3，0)，C(0，3)代入，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P(t，﹣t2﹣2t+3)，则K(t，t+3)，
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•(t+3)+PK•(0﹣t)＝PK＝(﹣t2﹣3t)，
S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝(﹣t2﹣3t)+6＝﹣(t+)2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣﹣时，四边形PBAC的面积最大，此时点P的坐标为(﹣，)；
（3）存在.如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．
①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，
∴﹣x2﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣(舍去)，
∴Q1(﹣，)，
②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)，
综上所述，Q点的坐标为Q1(﹣，)，Q2(﹣，﹣)，Q3(，﹣)．


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