2021年湖北省鄂州市中考数学真题

鄂州市2021年初中毕业生学业考试

数学试题

学校：_______________    考生姓名：_______________   准考证号：

注意事项：

1．本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。

4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

6．考生不准使用计算器。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）

1．实数6的相反数等于

A．                B．6                    C．                  D．

2．下列运算正确的是

A．          B．          C．          D．

3．“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是

A．             B．               C．               D．

4．下列四个几何体中，主视图是三角形的是

A．         B．              C．             D．

5．已知锐角，如图，按下列步骤作图：

①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．

②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为

A．               B．                 C．                 D．

6．已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于

A．               B．                   C．                 D．

7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是

A．              B．                C．               D．

8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是

图1                    图2

A．1米                B．米          C．2米                 D．米

9．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：

①；

②；

③；

④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5．

上述结论中正确结论的个数为

A．1个                B．2个                 C．3个                 D．4个

10．如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是

A．3                  B．                C．                D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）

11．计算：_____________．

12．“最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动．6名志愿者参加劳动的时间（单位：小时）分别为：3，2，2，3，1，2．这组数据的中位数是_____________．

13．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．

14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________．

15．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________．

16．如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为_____________．

三、解答题（本大题共8小题，17～21题每题8分，22～23题每题10分，24题12分，共计72分）

17．（本题满分8分）

先化简，再求值：，其中．

18．（本题满分8分）

为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“南献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分均为不小于60的整数）﹐并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（）．合格（）、良好（）、优秀（），制作了如下统计图（部分信息未给出）：

所抽取成绩的条形统计图                 所抽取成绩的扇形统计图

根据图中提供的信息解决下列问题：

（1）（3分）胡老师共抽取了____________名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为____________﹐请补全条形统计图．

（2）（5分）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．

19．（本题满分8分）

如图，在中，点、分别在边、上，且．

（1）（4分）探究四边形的形状，并说明理由；

（2）（4分）连接，分别交、于点、，连接交于点．若，，求的长．

20．（本题满分8分）

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行km到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行12km到达地．

（1）（4分）求地与信号发射塔之问的距离；

（2）（4分）求地与信号发射塔之问的距离．（计算结果保留根号）

21．（本题满分8分）

为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本（元）与种植面积（亩）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．

（1）（3分）求与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）（5分）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？

（每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本＋每亩种植补贴）

22．（本题满分10分）

如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．

（1）（4分）求证：；

（2）（6分）连接，若，，求线段的长．

23．（本题满分10分）

数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．

猜想发现

由；；；；；

猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．

猜想证明

∵

∴①当且仅当，即时，，∴；

②当，即时，，∴．

综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．

猜想运用（3分）

对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？

变式探究（3分）

对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？

拓展应用（4分）

疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

24．（本题满分12分）

如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．

（1）（3分）请直接写出点、点、点的坐标；

（2）（3分）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；

（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．

①（3分）若点在内部（不包括边），求的取值范围；

②（3分）在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

备用图1                  备用图2

鄂州市2021年初中毕业生学业考试数学试卷

参考答案及评分标准

评卷说明：

1．本卷满分1：20分。

2．解答题按步骤给分。

3．解答题仅提供一种解题方法，考生解题方法与参考答案不同的，只要合理、正确均给满分。

一、选择题（每小题3分，共30分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．3    12．2    13．    14．    15．8    16．

三、解答题（17～21题每题8分，22～23题每题10分，24题12分，共计72分）

17．解：原式

当时，原式

18．解：

（1）40，，（补全条形图略）

（2）            

．

19．解：

（1）四边形为平行四边形．

理由如下：

∵四边形为平行四边形

∴

∵

∴

∵四边形为平行四边形

∴

∴

∴

∵

∴四边形为平行四边形

（2）设，∵

∴，

∵四边形为平行四边形

∴，，

∵

∴

∴

∵

∴

20．解：

（1）依题意知：，，

过点作于点，

∵，

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

（2）∵，

∴

过点作于

∵，

∴

∵

∴，

∵

∴

∴

21．解：

（1）设与之间的函数关系式，依题意得：

解得：

∴与之间的函数关系式为．

（2）设老张明年种植该作物的总利润为元，依题意得：

∵

∴当时，随的增大而增大

由题意知：

当时，最大，最大值为268800元

即种植面积为210亩时总利润最大，最大利润268800元

22．（1）证明：

∵

∴

又∵经过半径的外端点

∴切于点

∴

（2）解：连接，∵为的直径

∴

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

即

∵

∴，

又∵，

∴

∴

设，则

∴

∴（舍去），

即线段的长为．

23．解：

猜想运用：

∵

∴

∴

∴当时，

此时

只取

即时，函数的最小值为2．

变式探究：

∵

∴，

∴

∴当时，

此时

∴，（舍去）

即时，函数的最小值为5．

拓展应用：

设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：

即

∵，

∴

即

整理得：

即

∴当时

此时，

即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．

24．解：

（1），，

（2）过点作于

∵

∴

∴

∵点

∴，

∴

∵点

∴

∴

即的长为1．

（3）①

∴其顶点的坐标为

∴点是直线上一点

∵，

∴当时，

又∵点在直线上

∴当点在内部（不含边）时，的取值范围是．

②存在点使最大．

其坐标为．