2022-2023学年湖南省衡阳市高一上学期期末数学试题含解析

  2022年衡阳市高一年级期末质量监测

数学卷

注意事项：

1．本试卷共四道大题，满分150分．

2．测试时量：120分钟，请同学们科学、合理地安排好答题时间．

3．本卷为试题卷，答案必须答在答题卡的指定位置，答在试题卷上无效．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.

【详解】∵，∴，∴，

可知，故A、B、C错误；，故D正确.

故选：D.

2. 函数的零点所在区间为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合函数的单调性与零点存在定理即可得答案.

【详解】在定义域上单调递增，

，，

而，，

由，根据零点存在定理，可知零点，

故选：C.

3. 的值为（）

A. 10 B.  C. 1 D. 不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】令，两边取常用对数，结合对数的运算性质即可得解.

【详解】令，两边取常用对数，得，解得，

故选：A.

4. 如图为函数的大致图象，其解析式可能为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象的特征及选项中的解析式，利用排除法进行选择.

【详解】∵，∴.

由图知，排除A；

由图知，进而排除C；

对于D中解析式，显然，与图不符，排除D，

所以函数的解析式可能为B.

故选：B.

5. 已知θ为第三象限角，且，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】已知条件式切化弦，结合诱导公式可得，又θ为第三象限角，，可解得，，化简所求式子即可得出答案.

【详解】，即，

又，θ为第三象限角，，

∴，，

∴，

故选：C.

6. ，，的大小关系为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由得，结合函数的单调性及中间值0和1求得结果.

【详解】∵，∴，

∴，，，

∴.

故选：B.

7. 若，则的最小值为（）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】由题可知，利用基本不等式即可求解.

【详解】由题可知：，

，当且仅当时等号成立，

故选：C.

8. “”是“函数在区间上单调递增”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.

【详解】令，，

若在上单调递增，因为是上的增函数，

则需使是上的增函数且，则且，解得.

因为，故是的必要不充分条件，

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若，则下列不等式恒成立的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A、B、C，利用特殊值判断D.

【详解】解：因为，所以，故A错误；

因为，所以，故B正确，

因为，所以，又，∴，故C正确；

对于D：令，，，，满足，但是，故D错误.

故选：BC

10. 能正确表示图中阴影部分的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据集合运算，结合图形分析可得.

【详解】因为阴影部分在B中不在A中，根据集合的运算分析可知ACD正确.

故选：ACD

11. 函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（）

A. θ的值可为

B. 若，则k为奇数

C. 若，则

D. 若，则的最大值要大于

【答案】BCD

【解析】

【分析】由图象确定函数的周期求得，再由零点求得，从而得函数解析式，然后由结合正弦函数性质、辅助角公式，判断各选项．

【详解】选项A，，，是的零点，由图象得，得，（以下只要取即可），A错；

选项B，，则，，，故k为奇数，B对；

选项C，由，可得，即对称轴为，，为其对称轴，C对；

选项D，当，时，，

设

，

易知的最大值是，

所以的最大值为，大于，D对．

故选：BCD．

12. 奇函数满足，则下列选项正确的是（）

A. 的一个周期为2 B.

C. 为偶函数 D. 为奇函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】由得的对称轴为，结合的奇函数性质对选项逐一辨析即可.

【详解】，的对称轴为，

，∴，A正确；

，故，，

关于时称，故，B错误；

，偶函数，C正确；

，为奇函数，D正确，

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数与互为反函数，则___________．

【答案】0

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数互反函数求解即可.

【详解】与互为反函数，

，故，

∴.

故答案为：

14. 命题p：，的否定为___________；使命题p成立的一个x的值为___________．

【答案】    ①. ，    ②.

【解析】

【分析】由特称命题的否定为全称命题得第一空的答案；验证时，命题p成立，即得第二空答案.

【详解】解：因为命题p：，，

所以命题p：，；

当时，成立，

所以命题p成立的一个x的值为1.

故答案为：，，1.

15. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为___________．

【答案】5

【解析】

【分析】用三角函数表示直角三角形的两条直角边，得小正方形的边长为，由解出，即可求大正方形与小正方形的面积之比.

【详解】如图所示，

设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为，

由，两边同时平方得，，

所以，

则图中的大正方形与小正方形的面积之比为.

故答案为：5

16. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为___________．

【答案】

【解析】

【分析】令，则可得，结合的图象，即可得答案.

【详解】解：令，

则有，

∴，

如图，当或，，满足题意．

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知函数．

（1）若，求a；

（2）用定义法证明：函数在区间上单调递减．

【答案】（1）或

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接解方程可得；

（2）根据定取值、作差、定号、下结论的步骤证明即可.

【小问1详解】

由，得

故，解得或

【小问2详解】

证：任取

则

∵，∴，

故，即

故在区间上单调递减

18. 已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求在区间上的最值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可；

（2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可.

【小问1详解】

因，

令，，

解得，，

所以的单调递减区间为.

【小问2详解】

令，由知，

所以要求在区间上的最值，即求在上的最值，

当时，，当时，，

所以.

19. 如图为传统节日玩具之一走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力造成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图像便不断走动，因剪细图像为古代武将骑马的图画，在转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯，现打算做一个体积为96000的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料的厚薄粗细)．

（1）若底面大矩形的周长为160cm，当底面边长为多少时，底面面积最大？

（2）若灯笼高为40cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面边长为多少时，框架用料最少？

【答案】（1）当长、宽皆为20cm时，底面矩形面积最大

（2）当长为60cm、宽为40cm时，用料最少

【解析】

【分析】(1) 设大矩形的长为x，宽为y，则有，借助基本不等式计算面积的最大值；

(2)易得底面面积，借助基本不等式计算底面周长最小值.

【小问1详解】

设大矩形的长为x，宽为y

依题有：，即，则

当且仅当时，底面矩形面积最大

【小问2详解】

依题有，

框架用料最少等价于底面用料为最小即可，

，当，即取等

故当长为60cm、宽为40cm时，用料最少

20. 已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）求的值

【答案】（1）；

（2）

【解析】

【分析】(1)由题意可得，结合余弦函数的图象求解即可；

(2)由题意可得，将所求式子重新结合，即可得答案.

【小问1详解】

解：由题知：，

∴，

所以，

∴，

其定义域为.

【小问2详解】

解：因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，，…，，

所以.

21. m，n为函数的两个零点，且．

（1）若，求不等式的解集；

（2）比较a，b，1的大小关系．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）由韦达定理联立消去得，从而求得的值，得到的解集；

（2）解法一：根据零点的分布列出满足的不等式组求解即可；

解法二：根据不等式及韦达定理得，求解即可.

【小问1详解】

由换底公式得，

依题意得，两式相乘得

代入，得

由，得，而

故不等式解集为

【小问2详解】

解法一：因，故，

化简得，

故或，

即或.

解法二：∵，∴

即，故，即

故或，

即或.

22. 二次函数为偶函数，，且恒成立．

（1）求的解析式；

（2），记函数在上的最大值为，求的最小值．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】(1) 设，由，恒成立，列出不等式组，求解即可；

(2)分，，和，求出的解析式，即可得的最小值.

【小问1详解】

解：依题设，

由，得，

，得恒成立，

∴，

得，

所以，又，

所以，

∴；

【小问2详解】

解：由题意可得：，，

若，则，则在[0,1]上单调递增，

所以；

若，当，即时，在[0,1]上单调递增，

当，只须比较与的大小，

由，得：，此时，

时，，此时，

综上，，

时，，

时，，

时，，

综上可知：的最小值为．