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2023年高考数学(理)第一次模拟试卷(全国乙卷)(Word版附解析)
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这是一份2023年高考数学(理)第一次模拟试卷(全国乙卷)(Word版附解析),共17页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年高考数学第一次模拟试卷(全国乙卷理科)一、单选题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合,.若.则实数( )A. B.3 C. D.4【答案】B【详解】因为集合,,且,所以.故选:B2.若复数满足,则( )A. B. C. D.5【答案】B【详解】因为,所以.所以.故选:B.3.已知向量,的夹角为,,,则向量在向量方向上的投影为( )A.4 B. C. D.【答案】D【详解】向量在向量方向上的投影为,,,则向量在向量方向上的投影为,故选:D.4.分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为,则( )A.55 B.58 C.60 D.62【答案】A【详解】已知表示第n行中的黑圈个数,设表示第n行中的白圈个数,则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈,一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈,∴,又∵;;;;;,故选:A.5.椭圆的左、右顶点分别为,点在上,且直线斜率取值范围是,那么直线斜率取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【详解】设,则,,,于是,故.∵ ∴.故选:B.6.执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:当时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,,,当时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,,,当时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,,,当时,不满足进行循环的条件,故输出结果为:,故选:C.7.河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型,经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型,冠部为“方斗”形,上扬下覆,取上承“甘露”、下纳“地气”之意.冠部以及冠部下方均可视为正四棱台.已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为,高为2,体积为,则该“方斗”的侧面积为( )A.24 B.12 C. D.【答案】D【详解】由题意可知,记正四棱台为,其底面为正方形,侧面为四个等腰梯形,把该四棱台补成正四棱锥如图,设是底面上与的交点,是底面上与的交点则是正四棱锥的高,为正四棱台的高,设,,则上、下底面的面积分别为、,由题意,所以,在中,,所以为PA的中点,在中,,所以,所以,又,解得,,所以,所以侧棱长是,由勾股定理可得侧面的高为,所以侧面积为.故选:D8.已知函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【详解】解:,因为,所以因为函数在区间上单调递增,所以函数在上单调递增,且,即.因为,所以,函数在上单调递增等价于或,所以,解不等式得或,所以,的取值范围是.故选:D9.若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,是边长为3的正三角形,SC为球O的直径,三棱锥的体积为,则三棱锥的外接球的体积为( )A. B. C. D.【答案】D【详解】如图,设的中心为,连接,的延长线交球面于点D,连SD,显然CD是外接圆的直径,则,而平面ABC,则平面ABC,因正边长为3,则,,又,而,解得,在中,球O的直径,球O的半径,所以三棱锥的外接球的体积为.故选:D10.已知数列的前n项和为,且,记事件为“从数列的前项中任取两项,两项均为负数”,为事件发生的概率,现有如下说法:①;②;③.则正确说法的个数为( ).A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【详解】依题意,当时,,解得;当时,,,两式相减可得,化简得,故,,故,则,故①正确;,,可知,要证,即证,即证,这显然成立,故②正确;,故,则,要证,即证,即证,这显然错误,故③错误.故选:C.11.如图,为双曲线的左右焦点,过的直线交双曲线于两点,且,为线段的中点,若对于线段上的任意点,都有成立,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.【答案】D【详解】取中点,连接,,,,则,恒成立,,又,,设,由得:,根据双曲线定义可知:,,,即,,,,又,,,则离心率.故选:D.12.已知函数,,的定义域均为,为的导函数.若为偶函数,且,.则以下四个命题:①;②的图象关于直线对称;③;④中一定成立的是( )A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④【答案】D【详解】对②:由,可得,则(与为常数),令,则,所以,则,故的图象关于直线对称,②正确;对①:∵为偶函数,则,∴,则为奇函数,故,即,则是以4为周期的周期函数,由,令,则,可得,故,①正确;由,令,则,即,令,则,即,故,则,对③:由,即,则,由于无法得出的值,③错误;对④:,④正确.故选:D.二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知随机事件A、互相独立,且,,则_______.【答案】0.42##【详解】因为,所以,所以.故答案为:0.4214.若直线截取圆所得弦长为2,则______.【答案】0或4【详解】圆的圆心坐标为,半径为,圆心到直线的距离为,由弦长公式可得,解得0或4,故答案为:0或415.定义在上的函数有零点,且值域,则的取值范围是__________.【答案】【详解】,当时,,因为函数有零点,所以,解得,当时,,因为值域,所以,解得,综上,.故答案为:.16.关于x的不等式在上恒成立,则a的取值范围是______.【答案】【详解】,即,设,恒成立,故单调递增.原不等式转化为,即,即在上恒成立.设,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;故,即,解得.故答案为:.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中第17—21题为必做题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答.)(一)必做题(共60分,每题12分.)17.a,b,c分别为内角A,B,C的对边.已知.(1)求C;(2)若c是a,b的等比中项,且的周长为6,求外接圆的半径.【答案】(1);(2).【详解】(1)根据正弦定理,由,因为,所以,于是由,因为,所以;(2)因为c是a,b的等比中项,所以,因为的周长为6,所以,由余弦定理可知:,或舍去,所以外接圆的半径为.18.如图①,在等腰直角三角形中,分别是上的点,且满足.将沿折起,得到如图②所示的四棱锥.(1)设平面平面,证明:⊥平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)平面平面,平面.平面,平面平面,.由图①,得,.平面,平面;(2)由题意,得.又,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则,.设平面的一个法向量为.则,令,得,故.设与平面所成角为.直线与平面所成角的正弦值为.19.为调查某地区植被覆盖面积x(单位:公顷)和野生动物数量y的关系,某研究小组将该地区等面积划分为200个区块,从中随机抽取20个区块,得到样本数据,部分数据如下:x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…经计算得:.(1)利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程;(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程,并把这两条拟合直线画在同一坐标系下,横坐标x,纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致,(ⅰ)比较前者与后者的斜率大小,并证明;(ⅱ)求这两条直线的公共点坐标.附:y关于x的回归方程中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.【答案】(1)(2)(ⅰ)前者斜率小于后者,证明见解析;(ⅱ)【详解】(1)解:,,故回归方程为;(2)解:(ⅰ)设前者和后者的斜率分别为,x关于y的线性回归方程为,则,为与的相关系数,又,故,即,下证:,若,则,即恒成立,代入表格中的一组数据得:,矛盾,故,即前者斜率小于后者;(ⅱ)注意到,两直线都过,且,故公共点仅有.20.已知椭圆的离心率为,点在短轴上,且.(1)求的方程;(2)若直线与交于两点,求(点为坐标原点)面积的最大值.【答案】(1);(2) .【详解】(1)解:因为椭圆的离心率为,所以,即,因为点在短轴上,且,所以,,解得,因为,所以,,所以,的方程为;(2)解:设联立方程得,所以,即,所以,所以,,因为原点到直线的距离为,所以,,当且仅当,即时等号成立,所以,(点为坐标原点)面积的最大值为.21.已知各项均为正数的数列的前n项和为,且为等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)已知,是否存在,使得恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在,或;【详解】(1)由题设且,当时,,可得;当时,,则;由,故,所以是首项、公差均为1的等差数列,故.(2)由(1)知:,要使,即恒成立,令且,则,若,即,则,在上,递增,上,递减,所以在有最大值,又,对于,当时,,当时,,综上,,故存在或使恒成立.(二)选考题(共10分,请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.)22.[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)已知点,若直线与曲线交于A,两点,求的值.【答案】(1)C:,直线l:(2)【详解】(1)曲线C的参数方程为(为参数,),所以,所以即曲线C的普通方程为.直线l的极坐标方程为,则,转换为直角坐标方程为.(2)直线l过点,直线l的参数方程为(t为参数)令点A,B对应的参数分别为,,由代入,得,则,,即t1、t2为负,故.23.[选修4-5:不等式选讲]已知正实数,,满足,(1)证明:;(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)证明:因为,,为正实数且满足,所以,当且仅当,即,,时取等号,所以.(2)解:由柯西不等式可知,当且仅当,,时等号成立,所以的最小值为.
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