2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高一上期期末考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高一上期期末考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市蓉城高中联盟高一上期期末考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由自然数集的概念化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：C．2．已知命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次不等式恒成立，得，解不等式即可.【详解】由题意“，”为真命题，∴，解得，故选：B．3．若m是方程的根，则下列选项正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将m是方程的根转化为m为函数的零点，得到函数单调递增，且，，再根据零点存在性定理即可求解．【详解】设，∵m是方程的根，∴m为函数的零点，∵函数，在上都为单调递增函数，∴在上连续且单调递增，又∵，，∴函数的零点一定在区间内，∴．故选：B．4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数的定义域为，所以，要使函数有意义，则，解得或，所以，的定义域为.故选：A．5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的单调性，结合中间量比较大小即可.【详解】解：∵，，，∴.故选：D．6．设命题p：﹐命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】p是q的充分不必要条件得到两者间的真子集关系,再列不等式组求解.【详解】p：，∴，∴，q：，p是q是充分不必要条件，则是的真子集，则，解得，故选：A．7．设，函数，则使的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，将条件转化为，即，解指数不等式可得原不等式的解集.【详解】因为，函数单调递增，由可得，即，所以，即，又，所以，故选：D．8．已知函数的定义域为（为整数），值域为，则满足条件的整数对，共有（    ）对．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先利用该函数的值域，求出函数取最大值与最小值时对应的的值，然后利用函数图像来确定即可.【详解】由题意，作出函数的图像如下：令，可以解得或，令，可以解得，∴当时，；时，；时，；时，；时，，所以满足条件的整数对可以是：，共5对，故选：C． 二、多选题9．下列命题错误的是（    ）A．若，且，则，，B．若，且，则，，C．函数的最小值为10D．若，则【答案】BC【分析】根据对数的运算性质，逐项进行检验即可求解.【详解】对于选项A，当时，成立，A正确；对于选项B，由对数的运算性质可知，，有，而，B错误；对于选项C，函数的最小值不存在，C错误；对于选项D，∵，则，∴，D正确．故选：BC．10．下列函数是奇函数且在上是增函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】结合奇函数解析式特征及增函数特征分析即可.【详解】对于选项A，，则为奇函数，由幂函数的性质知，为增函数，故A正确；对于选项B，对称轴为，其为非奇非偶函数，B错误；对于选项C，，不符合奇函数特征，C错误；对于选项D，∵的定义域为R，且，∴为奇函数，单调递增，单调递增，故单调递增，D正确．故选：AD．11．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数m不可能是（    ）A．  B．  C．1 D．0【答案】ABC【分析】作出的图象，由题意可得函数与函数有两个交点，然后结合图象可得答案.【详解】作出函数图象如下：函数有两个零点，即方程有两个实数根，即，即函数与函数有两个交点，由函数图像可得或，故选：ABC．12．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先画出的图象，再令，将嵌套型方程的根转化为两简单方程与的总根，再转化为分别与与交点的横坐标，再数形结合求解．【详解】画出的图象，如图，令，要使的方程有5个不同的实根，所以由图象可知关于的方程必须有2个不等实根，，所以关于的两个简单方程与总共有5个不同实根，即如图分别与与一共有5个交点，交点的横坐标即为根，所以，或或，①当时，代入方程，得，，，；②当时，代入方程，得，，，；③当，时，令，则，即，解得，综上，．故选：AC． 三、填空题13．已知函数（且）恒过定点P，则点P的坐标为___________.【答案】【分析】指数函数必然满足，取指数为0即可求得定点.【详解】由知，当时，，即过定点.故答案为：14．函数的单调递减区间是________．【答案】（也正确）【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法，“同增异减”求得函数的递减区间．【详解】由，则，解得，又函数的开口向下，对称轴是y轴，且在上递减，根据复合函数单调性“同增异减”可知的单调递减区间是．故答案为：（也正确）．15．已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．【答案】【分析】由题意得方程在区间内有解，函数的图象与的图象在区间内有交点，结合图象即可得解.【详解】解：由题意得方程在区间内有解，即在区间内有解，即函数的图象与的图象在区间内有交点，如图，作出函数与在区间上的图象，把点带入，得，解得，所以.故答案为：．16．函数，若对于任意，，当时，都有，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】首先将不等式变形，并构造函数，讨论的正负，结合函数在区间的单调性，求实数的取值范围.【详解】∵对于任意，当时，都有，∴，令，则在上单调递增，又∵，当时，满足题目条件，此时；当时，，时，，当时，等号成立，根据对勾函数单调性可知，有，∴，综上可知，.故答案为：． 四、解答题17．化简求值（需要写出计算过程）．(1)；(2)．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则，化简求值；（2）根据对数运算法则，化简求值.【详解】（1）原式；（2）原式．18．已知集合，不等式的解集为集合B．(1)当时，求﹔(2)设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解；（2）由p是q的充分不必要条件，得到求解.【详解】（1）解：∵，即，B：，∴，，∴；（2）∵p是q的充分不必要条件，∴，∵，，∴，∴，∴a的取值范围是．19．科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．【答案】(1)选，(2)至少需4秒 【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【详解】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，由题意可得：，解得：，所以该模型的解析式为：，（2）由（1）知：，由题意知：，也即，则有，∴，∴，∴至少需要4秒．20．已知函数的定义域为，，且满足以下条件：①对任意，有；②对任意m，，有；③．(1)求证：在上是增函数；(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合定义法证明函数单调性即可；（2）利用函数单调性解不等式.【详解】（1）任取，且，，因为，，所以，所以，所以在上是增函数；（2）因为在上单调递增，因为，所以，所以，所以a的取值范围为．21．已知是定义R在上的奇函数．(1)求的解析式；(2)已知，且，若对于任意，存在，使得成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据函数在R上是奇函数可得，求得b，验证后可得答案；（2）即，故令，判断其单调性，求得其最值，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合存在，使成立，解不等式可得答案.【详解】（1）∵函数在R上是奇函数，∴，∴，则，满足，即为奇函数，∴；（2）由题意，∴，令，函数在上单调递减，函数在上单调递增，故函数在上单调递减；而函数图象的对称轴为直线，函数在上单调递减，故在上单调递减，∴对上，∴，又∵存在，使成立，∴当时，，∴，又∵，∴；当时，，∴，∴，又∵，∴，综上，a的范围为．22．设函数．(1)判断函数的奇偶性；(2)证明函数在上是增函数；(3)若是否存在常数，，使函数在上的值域为，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)偶函数，理由见解析(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析 【分析】(1)利用偶函数的定义判断即可；(2)证明内层函数的单调性，再根据复合函数的单调性判断求解； (3)将问题转化为是方程的两个根，根据二次函数图象的性质证明求解.【详解】（1）由题意，∵，∴函数是偶函数；（2）令，设，且，，∵，∴，∴，，∴，∴在上单调递增，又∵在上单增，∴在上是增函数；（3）由第（2）问可得在上是增函数，∴，∴，即是方程的两根，∴，当时，令，则，若方程有两个大于零的不等实数根，即方程存在两个大于1的不等实根，∵，，方程是有一个大于0和一个小于0的实根，∴方程不存在两个大于1的不等实根，∴不存在常数m，n满足条件．