苏科版九年级上册1.1 一元二次方程导学案

专题1.1  认识一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

1．了解一元二次方程的概念；

2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；

3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．

【要点梳理】

1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

【典型例题】

类型一、关于一元二次方程的判定

1．判定下列方程是不是一元二次方程:
　　(1)； 　(2)．
【思路点拨】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.

【答案】（1）是；（2）不是.

【解析】(1)整理原方程，得
　　 　　　，
　　 　　　所以 ．
　　 　　　其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．
　　　　(2)整理原方程，得
　　 　　　，
　　 　　　所以 ．
　　 　　　其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．
【总结升华】不满足（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

举一反三：

 【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．

  ①；②；③ ；④ ；

⑤ ；⑥ ；⑦ ．

【答案】②③⑥.

【解析】①不是方程；④ 不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．
 

类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定
2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：
　　(1)-3x2-4x+2=0；    (2)．
【答案与解析】

(1)两边都乘-1，就得到方程
　　　 3x2+4x-2=0．
　　　 各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．
　　(2)两边同乘-12，得到整数系数方程
　　　 6x2-20x+9=0．
　　　各项的系数分别是：．
【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．

值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，

(2)题中不能写为．

举一反三：

 【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：

  （1）；      （2）．

【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.

      （2）化为二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是-a-2.

类型三、一元二次方程的解（根）

3. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是(   )

        A．-3，2      B．3，-2      C．2，-3      D．2，3

【答案】A；

【解析】∵  x＝2是方程x2+px+q＝0的根，

∴  22+2p+q＝0，即2p+q＝-4     ①

        同理，12+p+q＝0，即p+q＝-1     ②

        联立①，②得  解之得：

【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x的值，得到两个关于p、q的方程，解方程组可求p、q的值．

类型四、一元二次方程的解（根）

4．如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．

(1)若，求的度数：

(2)设．

①请用含的代数式表示与的长；

②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．

【答案】（1）；（2）①，；②是，理由见解析

【解析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；（2）①根据线段的和差即可得到结论；②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．

解：（1）∵，

，

又，，，

，是等边三角形．

．

（2）①∵

（3），

（4）

又，

．

②∵，

∴线段的长是方程的一个根．

若与的长同时是方程的根，则，

即，，

，，

∴当时，与的长同时是方程的根．

【总结升华】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．