初中数学苏科版九年级上册2.1 圆学案设计

专题2.7  圆的确定（知识讲解）

【学习目标】

1．知识目标：了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.

2．能力目标：会过不在同一直线上的三点作圆.

【要点梳理】

确定圆的条件

（1）经过一个已知点能作无数个圆；

（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；

(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.

(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.

外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.

要点诠释：

（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.

（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.

【典型例题】

1．已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作： ⊙O使它经过点A、B、C.

【思路点拨】作圆的关键是找圆心得位置及半径的大小，经过两点的圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线上，进而可以作出经过不在同一直线上的三点的圆.

【解析】

作法：

1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；

2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；

3、以O为圆心，OB为半径作圆.

   所以⊙O就是所求作的圆.

【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置.

【变式】给定下列图形可以确定一个圆的是（　　）

　 A．已知圆心 B． 已知半径

　 C．已知直径 D． 不在同一直线上的三个点

【答案】D.

提示：A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小，故错误；

B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误；

D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确，

故选D．

2．如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是           .

【思路点拨】求出符合条件的OP的最大值与最小值.

【答案】3≤OP≤5.

【解析】OP最长边应是半径长，为5；

根据垂线段最短，可得到当OP⊥AB时，OP最短．

∵直径为10，弦AB=8

∴∠OPA=90°，OA=5，由圆的对称性得AP=4，

由勾股定理的OP=，∴OP最短为3.

∴OP的长的取值范围是3≤OP≤5.

【总结升华】关键是知道OP何时最长与最短.

3．对于一个三角形，设其三个内角度数分别为，和，若x，y，z满足，我们定义这个三角形为美好三角形.

(1)△ABC中，若，，则△ABC       (填”是”或”不是”)美好三角形;

 (2)如图，锐角△ABC是⊙O的内接三角形，，，⊙O直径为，求证：△ABC为美好三角形;

(3)已知△ABC为美好三角形，，求的度数.

【答案】（1）不是；（2）见解析；（3）∠C＝78°或72°

【解析】

（1）利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案；
（3）利用美好三角形的定义进而分别得出∠C的度数．

解：∵△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，

∴∠C＝60°

∵402+602≠802，

∴△ABC不是美好三角形；

故答案为：不是；

（2）证明：连接OA、OC，

∵AC＝2，OA＝OC＝，

∴△OAC是直角三角形，即∠AOC＝90°，

∴∠B＝45°，

∵∠C＝60°，

∴∠A＝75°，

∵即三个内角满足关系：452+602＝5625＝752，

∴△ABC是美好三角形；

（3）解：设∠C＝x°，则∠B＝（150﹣x）°，

若∠C为最大角，则x2＝（150﹣x）2+302，

解得x＝78，

若∠B最大角，则（150﹣x）2＝x2+302，

解得x＝72，

综上可知，∠C＝78°或72°

【点拨】本题考查圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理及其推论、三角形的外接圆与外心和解直角三角形.

举一反三：

【变式】已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是___        ____．

【答案】 OP最大为半径，最小为O到AB的距离．所以5≤OP≤13.