2023年陕西省咸阳市秦都区马庄街道办事处中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省咸阳市秦都区马庄街道办事处中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是九章算术中“堑堵”的立体图形，它的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月，记者从国家知识产权局获悉，年我国共授权发明专利件，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，，，，分别交、于点、，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，将直线向右平移个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数为常数，当时，函数的最大值为，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式：______．

10.  已知某正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发，可以引的对角线的条数是        条

11.  据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：与交于点，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是        ．
 

12.  如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点，若点在该反比例函数的图象上，则的面积为        ．

13.  如图，点为正方形的边的中点，连接，点、分别为、上的点，连接，，取、的中点、，连接，已知正方形的边长为，若，则的长为        ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式：，并写出不等式的最大整数解．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，在中，点为边上的中点，请用尺规作图法在边上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图，已知为等腰三角形，，，点为底边上一点，连接，，若，求的长．

19.  本小题分
如图，悦悦将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长条，如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的倍．
求：原正方形纸片的边长；
第二次剪下的长方形纸条的面积．

20.  本小题分
国际数学家大会，是由国际数学联盟主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会李颖和汪洋两人想通过玩游戏的方式，了解关于国际数学家大会的一些常识，他们给一个不透明的袋子里装了四个分别标有、、、的小球，这些小球除所标字母不同外其他都相同，汪洋先从四个小球中随机摸出一个，李颖再从剩下的三个小球中随机摸出一个，然后两人按照如图示各自搜索并回答自己所摸小球上字母对应的问题．

汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为        ；
请用列表法或画树状图的方法求游戏结束后，两人恰好回答完、两个问题的概率．

21.  本小题分
石鼓阁，是宝鸡市地标性建筑，位于石鼓山顶，仿秦建筑风格，外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华民族历史文化中的崇高地位刘亮想测量石鼓阁的高度，但因石鼓阁的底部处无法到达，于是他在点处，眼睛位于点处，用测角仪测得石鼓阁顶端的仰角为，从处沿方向走米，到达点处，眼睛位于点处时，测得石鼓阁顶端的仰角为已知点、、在一条直线上，，，，米，求石鼓阁的高度参考数据：，，

22.  本小题分
随着电子技术的飞速发展，“提笔忘字”现象越来越严重但是我们始终应该明白：科技发展的再快，我们都不应该放下手中的笔，牢牢握住中华文明的精髓，将中国的文字文化传承下去，不忘初心为此，某中学共选取了组常用但笔画略显复杂的汉字，举办了“汉字听写大赛”，为了解九年级学生的汉字听写情况，现从参赛的学生中随机抽取了名九年级学生的比赛成绩写对的组数，并绘制了如下尚不完整的统计图根据统计图中的信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
本次所抽取学生成绩的中位数是        ，请计算本次所抽取学生成绩的平均数；
若该校九年级共有名学生参加了此次听写大赛，请估计将组汉字全部写对的学生有多少名？

23.  本小题分
年月日，“二十世纪初中国古文献四大发现展”开幕式在国家典籍博物馆举行，本次展览是迄今为止展品规模最大、等级最高的一次古代文献展为了透过古文献近距离感受源远流长、博大精深的中华优秀传统文化，某校组织学生从学校出发前往国家典籍博物馆参观，返回途中遇到车辆故障，修好车后按原速度继续行驶，直至到达学校学生距学校的距离与行驶时间之间的关系如图所示，根据图中信息解答下列问题：
求段所对应的函数表达式；
出发多久后，学生距学校的距离为？

24.  本小题分
如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作的切线，连接交于点，．
求证：；
若，，求的直径的长．

25.  本小题分
如图，已知抛物线、为常数，且与轴交于、两点，且，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点，轴交所在直线于点．
求抛物线的函数表达式和点的坐标；
若点为轴上一点，请问是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

26.  本小题分
【问题提出】
如图，为的一条弦，圆心到弦的距离为，若的半径为，则上的点到弦的距离最大值为        ；
【问题探究】
如图，在中，，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】
“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地根据规划要求，米，且农业实践基地部分四边形的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选：．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数进行解答即可．
本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个“堑堵”的主视图如下：

故选：．
找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据垂直的定义得出，进而利用平行线的性质解答即可．
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
 

5.【答案】 

【解析】解：将直线向右平移个单位长度后得到，
经过原点，
，解得，
故选：．
根据平移规律得到平移后的直线为，然后把代入解得即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握变换规律是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
有一组邻边相等的矩形是正方形，
对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故选：．
根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
的长．
故选：．
连接，利用圆内接四边形的性质求出，再求出圆心角，利用弧长公式求解．
本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是求出圆心角，记住弧长公式．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
将，代入得，
解得或，
当时，，函数最大值为，不符合题意，
当时，时，随增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
当，时，，
解得或，
当时，，不符合题意，
当时，时，随增大而减小，时，函数取最大值，符合题意，
或，
故选：．
由二次函数解析式可得抛物线开口向下及抛物线顶点坐标，分类讨论，时取最大值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
首先提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是．
故答案为：．
利用多边形的外角和是，多边形的每个外角都是，即可求出这个多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可求答案．
本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，边形从一个顶点出发可引出条对角线．
 

11.【答案】 

【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
点在反比例函数的图象上，
，
，反比例函数的图象经过边的中点，
，，
．
故答案为：．
利用反比例函数的几何意义得到，根据的中点，即可得出．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，

四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
是的中点，
，
由勾股定理得：，
，
、的中点、，
是的中位线，
．
故答案为：．
过点作于点，易得≌，所以，再结合点、分别是线段、的中点，根据中位线定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先算开方和零次幂，再算除法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则和运算顺序、二次根式的性质、零次幂的意义是解决本题的关键．
 

15.【答案】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：．
原不等式的解集为，
不等式的最大整数解为． 

【解析】根据解一元一次不等式的方法，求出该不等式的解集，然后写出相应的最大整数解即可．
本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：


．
当时，原式． 

【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作交于点，则根据平行线的判定方法可得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
 

18.【答案】解：，，
，

，
，
，
，
，
在中，，
，
的长为． 

【解析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设原正方形纸片的边长为，
根据题意得：，
解得：．
答：原正方形纸片的边长为．
，

答：第二次剪下的长方形纸条的面积为． 

【解析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是要注意：第一次剪完后，剩下的这边为，难度一般．
设原正方形纸片的边长为，根据长方形的周长公式结合第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的倍即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据第一次的剪法找出剩余部分的长度，再根据长方形面积公式即可得出结论．
 

20.【答案】 

【解析】解：汪洋随机摸出的一个小球是小球的概率为，
故答案为：；
根据题意列表如下：

由上可得，一共有种可能性，其中两人恰好回答完、两个问题的有种结果，
所以两人恰好回答完、两个问题的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格．
 

21.【答案】解：延长交于点，

由题意得：四边形和四边形都是矩形，
米，米，
设的长为米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
米．
石鼓阁的高度约为米． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：四边形和四边形都是矩形，从而可得米，米，设的长为米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，从而求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：对组人数为：，
补全条形统计图如图所示：

本次所抽取学生成绩的中位数是；
，
即本次所抽取学生成绩的平均数为．
故答案为：；
 名，
估计将组汉字全部写对的学生有名．
用分别减去其他组的人数，可得写对组人数，即可补全图形；
根据中位数和平均数的定义求解即可；
总人数乘以样本中全部写对所占比例即可．
本题考查了扇形统计图以及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

23.【答案】解：，
 ，
，
点的坐标为，
设段所对应的函数表达式为为常数，
将点和代入，
得，
解得，
段所对应的函数表达式为；
在到达博物馆之前，距离学校，
，
 ；
在博物馆返回学校途中，距离学校，
则，
解得得，
出发或时，学生距学校的距离为． 

【解析】先根据路程时间速度求出从博物馆返回学校时的速度，再根据路程速度时间，可得点的横坐标，再待定系数求解析式即可；
分两种情况，在到达博物馆之前，距离学校，在博物馆返回学校途中，距离学校，分别求解即可．
本题考查了一次函数的性质，理解题意并根据题意求出每段相应的速度是解题的关键．
 

24.【答案】证明：为的切线，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：设，则，．
在中，．
在中，，
，
解得，舍去，
，
，
即的半径为，
的直径的长为． 

【解析】先根据切线的性质得到，由于，则根据等角的余角相等得到，从而得到，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论；
设，则，利用勾股定理，先在中得到再在中得到，然后解方程求出，从而得到圆的直径．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
 

25.【答案】解：，，
，
抛物线经过、两点，
    解得，
抛物线的函数表达式为，
令，得，
点的坐标为；
存在，
、，
，，
设所在直线的函数表达式为，
，解得，
所在直线的函数表达式为，
设，则，
当为菱形的对角线时，如图所示．

，四边形是菱形，
，
菱形为正方形，
，
，解得或舍去．
，
当为菱形的对角线时，点的坐标为；
当为菱形的一条边时，如图所示．过点作轴于点，

，四边形是菱形，
，，
，，
，解得，
当为菱形的一条边时，点的坐标为．
综上可知，存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 

【解析】由可得，利用待定系数法求函数解析式，令，即可得点坐标；
分两种情况：当为菱形的对角线时，当为菱形的一条边时，根据菱形的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

26.【答案】 

【解析】解：圆心到弦的距离为，若的半径为，
上的点到弦的距离最大值为，
故答案为：；
作的外接圆，连接、、，过点作于点，如图．

，
，
．
设，则，
由，得，即，
，
，
即面积的最小值为；
过点作于点，于点，则．

又，
≌．
 米，，，
、为等腰直角三角形，且米，
平方米，
在上截取，连接，如图．
，，，
≌，
，
要使四边形的面积最小，只需的面积最小，
，
，
，
，
由同理可得
，
，
平方米，
即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米．
根据圆的性质直接可得答案；
作的外接圆，连接、、，过点作于点，设，则，根据垂线段最短可得的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；
过点作于点，于点，则在上截取，连接利用证明≌，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由同理求出面积的最小值即可．
本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键．