2022-2023学年山东省东营市东营区胜利一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省东营市东营区胜利一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省东营市东营区胜利一中九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若与互为倒数，则的相反数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  直线，，的位置如图所示，如果，，那么等于(    )A.
B.
C.
D. 4.  如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )A.
B.
C.
D.
 5.  若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 6.  某中学随机抽取了该校名学生，他们的年龄如表所示：这名学生年龄的众数和中位数分别是(    ) 年龄单位：岁人数 A. 岁、岁 B. 岁，岁 C. 岁，岁 D. 岁，岁7.  下列命题中是真命题的是(    )A. 确定性事件发生的概率为
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 正多边形都是轴对称图形
D. 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等8.  如图，为的直径，点在上，若，，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如图，正方形内接于，其边长为，则的内接正三角形的边长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点，，为的中点，连接，，，下列结论：
；；≌；若，则，其中结论正确的有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共8小题，共28.0分）11.  年山东省内各市在人均方面，人均总值最高的是东营，为万元，万元用科学记数法表示是        元12.  因式分解：        ．13.  在一次数学测验中，随机抽取了份试卷，其成绩如：，，，，则这组数据的标准差为        ．14.  如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于        ．
15.  如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为______ ．
 16.  若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______．17.  如图，长方形中，，，，点为射线上的一个动点，若与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为______．
 18.  如图，分别过反比例函数图象上的点，，，作轴的垂线，垂足分别为，，，，连接，，，，，再以，为一组邻边画一个平行四边形，以，为一组邻边画一个平行四边形，依此类推，则点的纵坐标是        结果用含代数式表示
三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：．
先化简分式：，然后在，，中选一个合适的代入求值．20.  本小题分
某市为提高学生参与体育活动的积极性，年月围绕“你喜欢的体育运动项目只写一篇”这一问题，对初一新生进行随机抽样调查根据调查结果绘制成的统计图不完整．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：
求出本次抽样调查的样本容量是多少？
根据条形统计图中的数据，求扇形条形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数对应扇形的圆心角度数．
请将条形统计图补充完整．
若该市年约有初一新生人，请估计全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有多少人？21.  本小题分
如图，，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线，与的延长线交于点连接并延长与的延长线交于点．

求证：是半的切线；
若，，求线段的长．22.  本小题分
如图，禁渔期间，我渔政船在处发现正北方向处有一艘可疑船只，测得，两处距离为海里，可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，经历小时刚好在处将可疑船只拦截求该可疑船只航行的平均速度结果保留根号．
23.  本小题分
列方程组及不等式解应用题
春节期间，共商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品件和乙商品件共需元；购进甲商品件和乙商品件共需元．
求用、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
商场决定以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．24.  本小题分
如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴．
求抛物线的函数表达式；
若点的坐标为，是抛物线对称轴上一点，是平面内一点，是否存在以点，，，为顶点的矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由；
点为抛物线对称轴上的个动点，是平面直角坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．
 25.  本小题分
问题发现：如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，．
线段，之间的数量关系为        ；
的度数为        ．
拓展探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，，求的值及的度数．
解决问题：如图，在和中，，，与相交于点，点在上，，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据倒数的定义得：，
解得．
根据相反数的定义，
的相反数，
故选：．
根据倒数的定义得出的值，根据相反数的定义得出答案．
本题主要考查了倒数和相反数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，平方差公式，整式的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 3.【答案】 【解析】解：如图，

，
，
，
．
故选：．
先利用平行线的判定方法由得到，则根据平行线的性质得，然后利用邻补角的定义求．
本题考查了平行线的判定与性质：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
 4.【答案】 【解析】解：把代入，得
，解得．
当时，，
所以关于的不等式的解集为，
用数轴表示为：．
故选：．
先把代入，得出，再观察函数图象得到当时，直线都在直线的上方，即不等式的解集为，然后用数轴表示解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
故选：．
利用比例的性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：这名学生年龄中岁出现的次数最多，故众数是岁；
把这名学生年龄从小到大排列，排在最中间的数是岁，故中位数为岁．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题主要考查了众数，中位数的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
 7.【答案】 【解析】解：确定性事件发生的概率为或，故A错误；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，故B错误；
正多边形都是轴对称图形，故C正确；
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，
故选：．
根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理进行判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键．
直接利用等腰三角形的性质得出的度数，再利用圆周角定理得出的度数，再利用弧长公式求出答案．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
的长为：
故选：．  9.【答案】 【解析】解；连接、、，作于，
四边形是正方形，
，，
是直径，，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，
，，
，，
．
故选：．
连接、、，作于，先求出圆的半径，在中利用度角的性质即可解决问题．
本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
 10.【答案】 【解析】解：四边形为正方形，，
，，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，故正确；
为等腰直角三角形，为的中点，
，，
在和中，，
≌，
，
，故正确；
为等腰直角三角形，为的中点，
，，
在和中，，
≌，故正确；
，
，
为等腰直角三角形，为的中点，
，，
，
在和中，，
≌，
，，，
为等腰直角三角形，
过点作垂直于于点，如图所示：
设，则，，，
则，，
，故正确；
故选：．
根据题意可知，则，即可求解；
由证明≌，得到，从而；
同证明≌即可；
若，则，可以证明≌，则且，则，为等腰直角三角形，过点作垂直于于点，设，则，，，则，．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：万，
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 12.【答案】 【解析】解：原式

．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解提取公因式和公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：这组数据的平均数为，
这组数据的标准差为，
故答案为：．
先求出这组数据的平均数，再依据标准差的计算公式求解即可．
本题主要考查标准差，样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
 14.【答案】 【解析】解：延长交轴于点．
，，
则．
故答案是：．
延长交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义求出的面积与的面积，然后相减即可得解．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点，本题作辅助线把的面积转化为两个三角形的面积的差是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，取中点，连接，，

四边形是矩形，
，，，
点是中点，点是的中点，
，，
，
点是的斜边的中点，
，
根据三角形三边关系可得：，
当点，点，点共线时，最大值为．
故答案为：．
取中点，连接，，根据矩形的性质可求，的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点，点，点共线时，有最大值，即．
本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点，点，点共线时，有最大值是本题的关键．
 16.【答案】且 【解析】解：关于的方程有解，
，
，
去分母得：，
即，
根据题意得：且，
解得：且．
故答案是：且．
首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于的不等式，从而求得的范围．
本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
由对称可得，，，再根据得到且点，点，点共线，即可在中根据勾股定理可求的长．
【解答】
解：与关于直线对称，
，，，
为直角三角形，
，
，
，，
，
点，点，点共线，
在中，，
，
．
故答案为：．  18.【答案】 【解析】解：点，在反比例函数的图象上，
，；
；
又四边形是平行四边形，
，，
点的纵坐标是：，即点的纵坐标是；
同理求得，点的纵坐标是：；
点的纵坐标是：；

点的纵坐标是：；
故答案是：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点、的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点的纵坐标是、的纵坐标是、的纵坐标是，据此可以推知点的纵坐标是：．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点的纵坐标．
 19.【答案】解：原式

；
原式

，
由题意得：和，
当时，原式． 【解析】根据二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂、绝对值的性质计算；
根据分式的混合运算法则把化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则、实数的混合运算法则是解题的关键．
 20.【答案】解：调查的总人数是：人；
，
答：扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应扇形的圆心角为；
踢足球人数所占的百分比是：，
打篮球的人数是人，
补图如下：

根据题意得：人．
答：全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有人． 【解析】用健身操的人数除以其占总人数的百分比即可得；
乘以样本中足球所占的比例即可得；
先求得足球人数所占比例，再根据百分比之和为得出篮球的百分比，总人数乘以其所占百分比求得人数即可补全图形；
总人数乘以样本中足球的百分比即可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 21.【答案】证明：连接，

，经过圆心，
，
，
在和中，
，
≌，

是半的切线，
．
，
即
是的切线．

解：，

，
是半的切线，，
，，
，
． 【解析】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
连接，可以证得≌，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：，即，即可证得；
依据切线的性质定理可知，然后通过解直角三角函数，求得的值，再减去圆的半径即可．
 22.【答案】解：过点作，垂足为点，设海里，则海里，
，
，
，
，
在中，则，
则，
解得，，
即海里，
在中，，
解得：海里，
则海里时，
则该可疑船只的航行速度约为海里时． 【解析】先过点作，垂足为点，设海里，得出海里，在中，根据，求出，再根据求出，在中，根据，求出，从而得出答案．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
 23.【答案】解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元；
设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
由已知得：，
解得：．
设卖完甲、乙两种商品商场的利润为，
则，
当时，取最大值，最大利润为元．
故该商场获利最大的进货方案为甲商品购进件、乙商品购件，最大利润为元． 【解析】设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据“购进甲商品件和乙商品件共需元；购进甲商品件和乙商品件共需元”可列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出两种商品的单价；
设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据“甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍”可列出关于的一元一次不等式，解不等式可得出的取值范围，再设卖完甲、乙两种商品商场的利润为，根据“总利润甲商品单个利润数量乙商品单个利润数量”即可得出关于的一次函数关系上，根据一次函数的性质结合的取值范围即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：根据数量关系列出关于、的二元一次方程组；根据数量关系找出关于的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程方程组、不等式或函数关系式是关键．
 24.【答案】解：由题意得，点、的坐标分别为、，
则设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

存在，理由：
设点，点，
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点的坐标为或；
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
或，
解得：或，
即点或；
综上，点的坐标为：或或或；

存在，理由：
设点，点，
当是对角线时，
由得：，
解得，
即点的坐标为或；
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：或或；
综上，点的坐标为：或或或或 【解析】用待定系数法即可求解；
当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当为对角线时，同理可解；
当是对角线时，由，即可求解；当为对角线时，由中点坐标公式和，列出方程组，即可求解．
此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用特殊四边形的性质，并结合方程思想解决问题．
 25.【答案】   【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；

由知，≌，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为：；

结论：，．
理由：和均为等腰直角三角形，
，，
，，
在和中，
，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；

，，
∽，
，
，
，
∽；
，
，，
，
，
∽，
．
先判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
由知，≌，得出，进而求出，即可求出答案；
利用两边成比例且夹角相等证明∽，得，，从而得出结论；
根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质得到，求得，进而判断出∽即可求出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，掌握两三角形相似的判定是解本题的关键．