2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团九年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 从装有个红球和个黑球的袋子里摸出个球是红球的概率是
B. 某彩票的中奖机会是，买张一定会中奖
C. 为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
D. “若是实数，则”是必然事件

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在运算速度上，已连续多次取得世界第一的神威太湖之光超级计算机，其峰值性能为亿亿次秒，这个数据用科学记数法可以表示为亿次秒．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某篮球运动员在连续场比赛中的得分单位：分依次为，，，，，，，则这组数据的众数与中位数分别是(    )

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

7.  如图，直线，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，，分别与相切于，两点，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知点，是双曲线上的两点，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

12.  因式分解______．

13.  如图，在中，，，，点为的中点，则线段的长为______．

14.  二次方程有两实根，，则        ．

15.  为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞条，若其中有标记的鱼有条，则估计池塘里有鱼        条

16.  如图，点，点是直线上的动点，以为边，作等边，连接，则线段的最小值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，与射线，分别交于点，，再分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，画射线，过点作，交于点．
射线是的        ；
证明：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为：篮球，：足球，：乒乓球，：羽毛球，：跳绳为了解学生的报名情况，现随机抽取九年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上图文信息回答下列问题：
此次调查共抽取了多少名学生？
请将此条形统计图补充完整；
在此扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角的大小为        ；
学生小明和小强各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩选择相同项目的概率．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
如图，是的弦，过点作，交于，．
求证：是的切线；
已知，，点是优弧上的一点，求的长．

23.  本小题分
已知，如图，线段，点是线段上一动点，分别以、为边，在同侧作正方形和正方形．
当时，        ；
记，，，求的最小值；
如图，连接，点为中点，连接，若，求的长；
如图，连接，点为中点，连接，点，分别为正方形和正方形的中心，连接，交于点，设，，试确定与之间的函数关系式．
 

24.  本小题分
已知抛物线：，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得抛物线．
抛物线的解析式为：        ；
如图，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行若的面积为，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值，属于基础题．
根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】
解：，
故选B．  

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：．
俯视图是从上面看到的图形，据此判断即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：、从装有个红球和个黑球的袋子里摸出个球是红球的概率是，故A符合题意；
B、某彩票的中奖机会是，买张不一定会中奖，故B不符合题意；
C、为了解我国中学生课外阅读情况，应采取抽样调查方式，故C不符合题意；
D、“若是实数，则”是随机事件，故D不符合题意；
故选：．
根据概率的意义，绝对值的非负性，全面调查与抽样调查，随机事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，绝对值的非负性，全面调查与抽样调查，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：和不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则等知识点，能熟记掌握完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：亿亿次秒亿次秒．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

6.【答案】 

【解析】解：将数据按从小到大排列为、、、、、、，
则这组数据的众数为分、中位数为分，
故选：．

根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大从大到小的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两个数的平均数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质，可以得到的度数，再根据平角为，即可求得的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，

直线、分别与相切于点、，
，，
，
，
是上一点，
．
故选A．
连接、，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和为，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数．
本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

由网格可得，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
则．
故选B．
此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
连接，由网格求出，，的长，利用勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，即可求出．
 

10.【答案】 

【解析】解：点、是反比例函数图象上的两点，
点、点在第一象限，随的增大而减小，
，
．
故选：．
首先根据，得到反比例函数图象过第一、三象限；接下来结合已知两点的横坐标，判断两点所在的象限即可得到答案．
本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是明确反比例系数与函数图象所处象限的关系．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式有意义的条件．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
分式有意义的条件为：分母，列出不等式计算即可．
【解答】
解：根据分式有意义的条件得：，
，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式．
先提取，然后用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
点为的中点，
，
故答案为：．
根据勾股定理求得斜边，再根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两实根，，
这里，，．
．
故答案为：．
利用一元二次方程根与系数的关系，直接得结论．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系“，”是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：捕捞条，其中有标记的鱼有条，
在样本中有标记的所占比例为，
池塘里鱼的总数为条．
故答案为：．
捕捞条，其中有标记的鱼有条，即在样本中有标记的所占比例为，而在整体中有标记的共有条，根据所占比例即可解答．
本题主要考查了通过样本去估计总体，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
 

16.【答案】 

【解析】解：设直线与轴交于点，以为边，在轴右侧作等边，连接并延长交轴于点，如图所示：
在等边中，，，，
在等边中，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
点坐标为，，
，
，
，
，
，
当时，线段取得最小值，此时，
故答案为：．
设直线与轴交于点，以为边，在轴右侧作等边，连接并延长交轴于点，根据等边三角形的性质易证≌，可知，根据含角的直角三角形的性质可得，求出的长，当时，线段取得最小值，此时，即可求出的最小值．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，找出点的运动轨迹是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】平分线 

【解析】解：由尺规作图过程可知，射线是的平分线．
故答案为：平分线．
证明：是的平分线，
，
，
，
，
．
由尺规作图过程可知，射线是的平分线，即可得答案．
根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，即可得．
本题考查作图基本作图、平行线的性质，熟练掌握角平分线的作图方法以及平行线的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：

，
当时，
原式


． 

【解析】先根据完全平方公式，单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：名，
所以此次调查共抽取了名学生；
项目的人数为：名，
条形统计图补充为：

在此扇形统计图中，项目所对应的扇形圆心角为：；
故答案为：；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中相同项目的结果数为，
所以他俩选择相同项目的概率．
用项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出项目的人数，然后补全条形统计图；
用乘以项目人数所占的百分比得到项目所对应的扇形圆心角的大小；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出相同项目的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
即，
，，
为线段的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形的面积矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，即，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，，
，
；
，
弧的度数，
的长． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据三角形的内角和得到，于是得到结论；
根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，弧长的计算，圆周角定理，熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，
，
；
故答案为：；
设正方形边长为，则正方形边长为，
，，
，
，当时，的最小值为；
如图，连接，，延长，交于点，

正方形和正方形中，，
，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
∽，
，
，
，点，分别为正方形和正方形的中心，
，
，
，
，
，
，
在中，点为中点，
，
点在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
点在，所在直线的交点上，
是等腰直角三角形，
，
点到的距离为，
．
与之间的函数关系式为．
根据正方形的面积公式即可解决问题；
设正方形边长为，则正方形边长为，根据二次函数的最值即可解决问题；
连接，，延长，交于点，根据正方形的性质证明，得，然后利用勾股定理即可解决问题；
证明∽，得，根据正方形的性质，得，点到的距离为，然后利用三角形的面积公式即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，三角形的面积，勾股定理，解决本题的关键是综合运用所学知识．
 

24.【答案】 

【解析】解：抛物线：，
其顶点坐标为，
将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得抛物线，
抛物线的顶点坐标为，
的解析式为，
故答案为：；
如图，设直线交轴于，过作交轴于，

，
，
，
，
，
抛物线与轴正半轴交于点，的解析式为，
当时，，解得或，
，
直线经过点，
，解得，
直线，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，
设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
，
设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
联立抛物线得，
解得或，
存在，点的坐标是；
如图，过点作轴交于，

设的解析式是，
，
，
，
，
由得，
，
直线抛物线有唯一公共点，
，
，
，
同理可得：直线的解析式是，
，
，
，
，，
的解析式是，
当时，，
，
，
，
．
利用二次函数平移的规律求出平移后的二次函数的顶点坐标即可求解；
设直线交轴于，求出点的坐标，过作交轴于，利用勾股定理求出，由待定系数法求出的解析式，根据平行线的性质求出的解析式，联立抛物线即可求解；
设点坐标，设直线的函数解析式，将点坐标代入，与联立，根据题意可得从而表示出的解析式，同样得出的解析式，从而得出点坐标，进而求得的长，根据三角形面积可得，的关系式．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数及其图象性质，一次函数及其图象性质，一元二次方程与二次函数之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握函数的相关知识．