2023年安徽省合肥市第四十五中学中考数学一模试卷(含答案)
展开安徽省合肥四十五2023年中中考数学一模试卷(解析版)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.抛物线y=3x2﹣5的顶点坐标是( )
A.(0,﹣5) B.(0,0) C.(0,5) D.(3,﹣5)
2.下列各选项的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图所示,该几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.已知,下列结论正确的是( )
A.ab=6 B.2a=3b C.a= D.3a=2b
5.在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)( )
A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m
6.如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点E,CE=DE,则下列说法错误的是( )
A.= B.OE=BE C.CA=DA D.AB⊥CD
7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A的坐标为(0,3),tan∠ABO=,则菱形ABCD的周长为( )
A.6 B. C. D.
8.△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,可以得到△A'B'O,则点A′的坐标是( )
A.(1,2) B.(1,2)或(﹣1,﹣2)
C.(2,1)或(﹣2,﹣1) D.(﹣2,﹣1)
9.如图,图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上如图2所示,此时液面距离杯口的距离h=( )
A.cm B.2cm C.cm D.3cm
10.平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与双曲线y=(k>2)相交于A,B两点,其中点A在第一象限.设M(m,2)为双曲线y=(k>2)上一点,直线AM,BM分别交y轴于C,D两点,则OC﹣OD的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)若二次函数y=mx2+x+2的图象与x轴只有一个交点,则m的值为 .
12.(5分)如图,在平面直角坐标系中,C,B两点分别在反比例函数y=(x>0),y=(x>0)的图象上,直线BC交y轴于点A,且BC∥x轴,若BC=2AB,则k的值为= .
13.(5分)如图,在△ABC中,∠B=70°,⊙O截三边所得的弦长DE=FG=HI,则∠AOC= 度.
14.(5分)正方形纸片ABCD中,E,F分别是AB、CB上的点,且AE=CF,CE交AF于M.若E为AB中点,则= ;若∠CMF=60°,则= .
三、(本大题共9小题,总计90分)
15.(8分)计算:6tan230°﹣sin60°+2tan45°.
16.(8分)已知直线a和直线外的两点A、B,经过A、B作一圆,使它的圆心在直线a上.
17.(8分)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上:
(1)则∠ABC= °,BC= ;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,若相似,请说明理由.
18.(8分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点A(1,8)、B(n,﹣2),与x轴交于点D,与y轴交于点C.
(1)求m、n的值;
(2)观察函数图象,直接写出不等式的解集;
(3)连接AO,BO,求△AOB的面积.
19.(10分)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,AE=2,CD=8.
(1)求⊙O的半径长;
(2)连接BC,作OF⊥BC于点F,求OF的长.
20.(10分)为进一步加强疫情防控工作,避免在测温过程中出现人员聚集现象,某学校决定安装红外线体温检测仪,该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温(如图1),其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节(如图2),已知探测最大角(∠OBC)为58.0°,探测最小角(∠OAC)为26.6°.
(1)若该设备的安装高度OC为1.6米时,求测温区域的宽度AB.
(2)该校要求测温区域的宽度AB为2.53米,请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.
(结果精确到0.01米,参考数据:sin58.0°≈0.85,cos58.0°≈0.53,tan58.0°≈1.60,sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50)
21.(12分)一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只,它们除颜色外,其他都相同,小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球,记下颜色,再把它放回不断重复实验,将多次实验结果画出如下频率统计图.
(1)当摸球次数很大时,摸到白球的频率将会接近 (精确到0.01),从箱子中摸一次球,摸到红球的概率是 ;
(2)从该箱子里随机摸出一个球,不放回,再摸出一个球.用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率.
22.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A,点B,与y轴相交于点C,AO=BO=2,C(0,﹣4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为CO上一点(不与C,O重合),过点P作CO的垂线,与抛物线相交于点E,点F(点E在点F的左侧),设PF=m,PC=d,求d与m的函数解析式.
23.(14分)如图,正方形ABCD中,点E在边AD上(不与端点A,D重合),点A关于直线BE的对称点为点F,连接CF,设∠ABE=α.
(1)求∠AFC的大小;
(2)过点C作CG⊥AF,垂足为G,连接DG.
①求证:DG∥CF;
②连接OD,若OD⊥DG,求sinα的值.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.抛物线y=3x2﹣5的顶点坐标是( )
A.(0,﹣5) B.(0,0) C.(0,5) D.(3,﹣5)
【分析】由二次函数解析式求解.
【解答】解:∵抛物线解析式为y=3x2﹣5,
∴顶点坐标为(0,﹣5),
故选:A.
【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标.
2.下列各选项的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
【解答】解:选项A、B、C的图案都不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形,
选项D的图案能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合,所以是中心对称图形,
故选:D.
【点评】本题考查的是中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.
3.如图所示,该几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据俯视图的定义,从上面看该几何体,所得到的图形进行判断即可.
【解答】解:从上面看该几何体,所看到的图形是长方形,两条虚线在实线的外边.
故选:A.
【点评】本题考查简单几何体的三视图,理解视图的意义,掌握俯视图的画法是正确判断的前提.
4.已知,下列结论正确的是( )
A.ab=6 B.2a=3b C.a= D.3a=2b
【分析】根据,可得7a=4a+2b,所以3a=2b,即可得出答案.
【解答】解:∵,
∴7a=4a+2b,
∴3a=2b.
故选:D.
【点评】本题考查了比例的性质,关键是熟练掌握比例的性质.
5.在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)( )
A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m
【分析】设下部高为x m,根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比列方程可解得答案.
【解答】解:设下部的高度为xm,则上部高度是(2﹣x)m,
∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,
∴=,
解得x=﹣1或x=﹣﹣1(舍去),
经检验,x=﹣1是原方程的解,
∴x=﹣1≈1.24,
故选:B.
【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用,解题的关键是读懂题意,列出分式方程解决问题.
6.如图,⊙O的直径AB与弦CD交于点E,CE=DE,则下列说法错误的是( )
A.= B.OE=BE C.CA=DA D.AB⊥CD
【分析】先利用垂径定理的推论可得AB⊥CD,=,=,从而可得AC=AD,再连接OC,BC,然后利用等腰三角形的三线合一性质,即可解答.
【解答】解:∵AB是⊙O的直径,CE=DE,
∴AB⊥CD,=,=,
∴AC=AD,
故A、C、D不符合题意;
连接OC,BC,
∵OC≠CB,AB⊥CD
∴OE≠BE,
故B符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,熟练掌握垂径定理的推论是解题的关键.
7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A的坐标为(0,3),tan∠ABO=,则菱形ABCD的周长为( )
A.6 B. C. D.
【分析】根据点A的坐标为(0,3),可以得到AO=3,根据tan∠ABO=,可以求出BO,根据勾股定理可以求出AB,最后由菱形的性质可以求出菱形的周长.
【解答】解:∵点A的坐标为(0,3),
∴AO=3,
∵tan∠ABO=,
∴=,
∴=,
∴BO=,
∵△AOB是直角三角形,
∴AB====2,
∵菱形的四条边相等,
∴菱形ABCD的周长为2×4=8.
故选:C.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理和菱形的性质,熟练掌握锐角三角函数的定义、勾股定理和菱形的性质是解题的关键.
8.△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),C(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,可以得到△A'B'O,则点A′的坐标是( )
A.(1,2) B.(1,2)或(﹣1,﹣2)
C.(2,1)或(﹣2,﹣1) D.(﹣2,﹣1)
【分析】根据位似变换的性质计算,得到答案.
【解答】解:以原点O为位似中心,把△ABO缩小为原来的,得到△A'B'O,点A的坐标为(2,4),
则点A'的坐标为(2×,4×)或[2×(﹣),4×(﹣)],即(1,2)或(﹣1,﹣2),
故选:B.
【点评】本题考查的是位似变换的性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.
9.如图,图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后,放在水平的桌面上如图2所示,此时液面距离杯口的距离h=( )
A.cm B.2cm C.cm D.3cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似,根据相似三角形的判定和性质即可得出结果.
【解答】解:如图:过O作ON⊥CD于N,交AB于M,
∵CD∥AB,
∴OM⊥AB,
∵OC=OD,
∴CN=CD=3cm,
∴ON===4(cm),
∵CD∥AB,
∴△CDO∽ABO,
∴=,
∴=,
∴OM=cm,
∴h=4﹣=(cm),
故选:A.
【点评】本题考查了相似三角形的应用,勾股定理,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
10.平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与双曲线y=(k>2)相交于A,B两点,其中点A在第一象限.设M(m,2)为双曲线y=(k>2)上一点,直线AM,BM分别交y轴于C,D两点,则OC﹣OD的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】解法一:设A(a,2a),M(m,2),则B(﹣a,﹣2a),分别计算直线AM和BM的解析式,令x=0可得OC和OD的长,相减可得结论;
解法二:作辅助线,构建相似三角形,先根据两个函数的解析式计算交点A和B的坐标,根据M(m,2)为双曲线y=(k>2)上一点,将点M的坐标代入反比例函数的解析式可得M的坐标,证明△EMD∽△FDB和△CPA∽△CEM,列比例式分别计算OC和OD的长,可得结论;
解法三,取特殊值k=8,可得结论.
【解答】解:解法一:设A(a,2a),M(m,2),则B(﹣a,﹣2a),
设直线BM的解析式为:y=nx+b,
则,解得:,
∴直线BM的解析式为:y=x+,
∴OD=,
同理得:直线AM的解析式为:y=x+,
∴OC=,
∵a•2a=2m,
∴m=a2,
∴OC﹣OD=﹣=4;
解法二:由题意得:,
解得:,,
∵点A在第一象限,
∴A(,),B(﹣,﹣),
∵M(m,2)为双曲线y=(k>2)上一点,
∴2m=k,
∴m=,
∴M(,2),
如图,过点A作AP⊥y轴于P,过点M作ME⊥y轴于E,过点B作BF⊥y轴于F,
∴∠MED=∠BFD=90°,
∵∠EDM=∠BDF,
∴△EMD∽△FBD,
∴,即==,
∴OD==﹣2,
∵∠CPA=∠CEM=90°,∠ACP=∠ECM,
∴△CPA∽△CEM,
∴,即==,
∴OC===+2,
∴OC﹣OD=+2﹣(﹣2)=4.
解法三:取k=8,如图,则M(4,2),A(2,4),B(﹣2,﹣4),
得AM的解析式为:y=﹣x+6,BM的解析式为:y=x﹣2,
∴OC=6,OD=2,
∴OC﹣OD=6﹣2=4.
故选:B.
【点评】本题考查反比例函数的综合问题,解题关键是构造相似三角形求解.
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)若二次函数y=mx2+x+2的图象与x轴只有一个交点,则m的值为 .
【分析】根据题意可以得到关于m的方程,从而可以求得m的值,注意二次项系数不为零.
【解答】解:∵二次函数y=mx2+x+2的图象与x轴只有一个交点,
∴1﹣8m=0且m≠0,
解得m=,
故答案为:.
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系如下:
Δ=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
Δ=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;
Δ=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;
Δ=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
12.(5分)如图,在平面直角坐标系中,C,B两点分别在反比例函数y=(x>0),y=(x>0)的图象上,直线BC交y轴于点A,且BC∥x轴,若BC=2AB,则k的值为= 3 .
【分析】作BM⊥x轴于M,CN⊥x轴于N,利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S矩形AONC=9,S矩形AOMB=k,由BC=2AB,即可得到S矩形AOMB=3,即可求出k=3.
【解答】解:作BM⊥x轴于M,CN⊥x轴于N,
∴S矩形AONC=9,S矩形AOMB=k,
∵BC=2AB,
∴AC=3AB,
∴S矩形AOMB=3,
∴k=3,
故答案为:3.
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
13.(5分)如图,在△ABC中,∠B=70°,⊙O截三边所得的弦长DE=FG=HI,则∠AOC= 125 度.
【分析】过点O作OM⊥DE于M,OK⊥FG于K,OP⊥HI于P,求出OM=OP=OK,求出点O是△ABC的角平分线的交点,根据三角形内角和定理求出∠BAC+∠BCA的度数,再根据角平分线定义得出∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠ACB)=55°,再根据三角形内角和定理求出答案即可.
【解答】解:过点O作OM⊥DE于M,OK⊥FG于K,OP⊥HI于P,如图,
∵DE=FG=HI,
∴OM=OK=OP,
∴OA平分∠BAC,OC平分∠ACB,
∴∠OAC=BAC,∠OCA=BCA,
∵∠B=70°,
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=110°,
∴∠OAC+∠OCA
=(∠BAC+∠ACB)
=×110°
=55°,
∴∠AOC=180°﹣(∠OAC+∠OCA)
=180°﹣55°
=125°,
故答案为:125.
【点评】本题考查了角平分线定义和性质,三角形内角和定理和垂径定理等知识点,能熟记到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键.
14.(5分)正方形纸片ABCD中,E,F分别是AB、CB上的点,且AE=CF,CE交AF于M.若E为AB中点,则= 2 ;若∠CMF=60°,则= 2 .
【分析】(1)连接BD,根据相似三角形计算即可;
(2)把60°的角放到直角三角形中,所以过C作CN⊥AM所在直线,利用角平分线的性质求解即可.
【解答】解:(1)连接BD,如图1,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD,且AB=CD,
∴∠MEB=∠MCD,∠MBE=∠MDC,
∴△MCD∽△MEB,
∴,
∵E为AB中点,
∴;
(2)过点C作CN⊥AF,交AF的延长线于点N,如图2,
在Rt△CMN中,∠CMF=60°,
∵sin60°=,cos60°=,
∴,,
即CM=2MN,
∵AE=CF,BA=BC,
∴BA﹣AE=BC﹣CF,
即BE=BF,
∴Rt△ABF≌Rt△CBE(SAS),
∴∠FAB=∠ECB,
∵∠AME=∠CMF,AE=CF,
∴△AME∽△CMF(AAS),
∴EM=FM,
∵∠AFB=∠CFN,∠B=∠N=90°
∴∠FAB=∠FCN,
∴∠MCF=∠NCF,
∴,
∵,
∴,
∵=,
MF=EM,
∴
=
=2+2×
=2+2×
=2+.
故答案为:2;2+.
【点评】本题考查的是正方形的综合题,解题的关键是从题中找到作出正确的辅助线CN.
三、(本大题共9小题,总计90分)
15.(8分)计算:6tan230°﹣sin60°+2tan45°.
【分析】tan30°=,sin60°=,tan45°=1,代入后运算即可.
【解答】解:原式=6×﹣×+2×1=2﹣+2=.
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值.
16.(8分)已知直线a和直线外的两点A、B,经过A、B作一圆,使它的圆心在直线a上.
【分析】连接AB,作出AB的垂直平分线交直线a于O点,以O为圆心,OA为半径作圆.
【解答】解:作图如右:
【点评】本题主要考查确定圆的条件的知识点,本题要求有较强的作图能力,对同学来说需要熟练掌握.
17.(8分)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上:
(1)则∠ABC= 135 °,BC= 2 ;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,若相似,请说明理由.
【分析】(1)利用图象法以及勾股定理解决问题即可.
(2)结论:△ABC∽△DEF.根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可.
【解答】解:(1)观察图象可知,∠ABC=135°,BC==2.
(2)结论:△ABC∽△DEF.
理由:∵AB=2,BC=2,DE=,EF=2,
∴==,
∵∠ABC=∠DEF,
∴△ABC∽△DEF.
【点评】本题考查系数是局限性的判定,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
18.(8分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于点A(1,8)、B(n,﹣2),与x轴交于点D,与y轴交于点C.
(1)求m、n的值;
(2)观察函数图象,直接写出不等式的解集;
(3)连接AO,BO,求△AOB的面积.
【分析】(1)把A,B坐标分别代入反比例函数解析式,即可求出m,n的值;
(2)观察函数图象,结合(1)可得不等式的解集;
(3)待定系数法可求出直线AB解析式,从而可得C的坐标,即可得到△AOB的面积.
【解答】解:(1)把A(1,8)代入y=得:
8=,
∴m=8,
∴y=,
把B(n,﹣2)代入y=得:
﹣2=,
解得n=﹣4,
∴m=8,n=﹣4;
(2)由(1)知,A(1,8),B(﹣4,﹣2),
观察函数图象可得,当一次函数图象在反比例函数图象下方时,x<﹣4或0<x<1,
∴不等式的解集为x<﹣4或0<x<1;
(3)如图:
将A(1,8)、B(﹣4,﹣2)代入y=kx+b得:
,
解得,
∴y=2x+6,
将x=0代入y=2x+6得:y=6,
∴C(0,6),即OC=6,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×6×1+×6×4=15,
∴△AOB的面积为15.
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用,解题的关键是掌握待定系数法,能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用.
19.(10分)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,AE=2,CD=8.
(1)求⊙O的半径长;
(2)连接BC,作OF⊥BC于点F,求OF的长.
【分析】(1)连接OD,如图,设⊙O的半径长为r,先根据垂径定理得到DE=CE=4,再利用勾股定理得到(r﹣2)2+42=r2,然后解方程即可;
(2)先利用勾股定理计算出BC=4,再根据垂径定理得到BF=CF=2,然后利用勾股定理可计算出OF的长.
【解答】解:(1)连接OD,如图,设⊙O的半径长为r,
∵AB⊥CD,
∴∠OED=90°,DE=CE=CD=×8=4,
在Rt△ODE中,∵OE=r﹣3,OD=r,DE=4,
∴(r﹣2)2+42=r2,
解得r=5,
即⊙O的半径长为5;
(2)在Rt△BCE中,∵CE=4,BE=AB﹣AE=8,
∴BC==4,
∵OF⊥BC,
∴BF=CF=BC=2,∠OFB=90°,
在Rt△OBF中,OF===,
即OF的长为.
【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理.
20.(10分)为进一步加强疫情防控工作,避免在测温过程中出现人员聚集现象,某学校决定安装红外线体温检测仪,该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温(如图1),其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节(如图2),已知探测最大角(∠OBC)为58.0°,探测最小角(∠OAC)为26.6°.
(1)若该设备的安装高度OC为1.6米时,求测温区域的宽度AB.
(2)该校要求测温区域的宽度AB为2.53米,请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.
(结果精确到0.01米,参考数据:sin58.0°≈0.85,cos58.0°≈0.53,tan58.0°≈1.60,sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50)
【分析】(1)根据题意可得OC⊥AC,∠OBC=58.0°,∠OAC=26.6°,OC=1.6米,利用锐角三角函数列式计算即可;
(2)根据直角三角形锐角三角函数列式计算即可.
【解答】解:(1)根据题意可知:
OC⊥AC,∠OBC=58.0°,∠OAC=26.6°,OC=1.6米,
在Rt△OBC中,BC==≈=1.00(米),
在Rt△OAC中,AC==≈=3.20(米),
∴AB=AC﹣BC=3.2﹣1=2.20(米).
答:测温区域的宽度AB为2.2米;
(2)根据题意可知:
AC=AB+BC=2.53+BC,
在Rt△OBC中,BC=≈,
∴OC=1.60BC,
在Rt△OAC中,OC=AC•tan∠OAC≈(2.53+BC)×0.50,
∴1.60BC=(2.53+BC)×0.50,
解得BC=1.15米,
∴OC=1.60BC=1.84(米).
答:该设备的安装高度OC约为1.84米.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程.
21.(12分)一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只,它们除颜色外,其他都相同,小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球,记下颜色,再把它放回不断重复实验,将多次实验结果画出如下频率统计图.
(1)当摸球次数很大时,摸到白球的频率将会接近 0.75 (精确到0.01),从箱子中摸一次球,摸到红球的概率是 ;
(2)从该箱子里随机摸出一个球,不放回,再摸出一个球.用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率.
【分析】(1)当试验次数达到1500次时,摸到白球的频率接近于0.75,据此可得答案;
(2)用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数,再列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解可得答案.
【解答】解:(1)由折线统计图知,当摸球次数很大时,摸到白球的频率将会接近0.75,
从箱子中摸一次球,摸到红球的概率为1﹣0.75=0.25=,
故答案为:0.75、;
(2)由(1)知,袋中白球的个数约为4×0.75=3,红球的个数为4﹣3=1,
列表如下:
白
白
白
红
白
(白,白)
(白,白)
(红,白)
白
(白,白)
(白,白)
(红,白)
白
(白,白)
(白,白)
(红,白)
红
(白,红)
(白,红)
(白,红)
由表知,共有12种等可能结果,其中摸到一个红球一个白球的有6种结果,
∴摸到一个红球一个白球的概率为=.
【点评】本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.也考查了列表法与树状图法.
22.(12分)如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A,点B,与y轴相交于点C,AO=BO=2,C(0,﹣4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为CO上一点(不与C,O重合),过点P作CO的垂线,与抛物线相交于点E,点F(点E在点F的左侧),设PF=m,PC=d,求d与m的函数解析式.
【分析】(1)由AO=BO=2,可得出点A,B的坐标,将A,B,C代入抛物线的解析式,解之即可;
(2)由点F在抛物线上,可得点F的坐标,进而可得出点P的坐标,由线段的和差可得结论.
【解答】解:(1)∵OA=OB=2,
∴A(﹣2,0),B(2,0),
将A(﹣2,0),B(2,0),C(0,﹣4)代入抛物线y=ax2+bx+c,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4;
(2)∵点F的横坐标为m,且点F在抛物线y=x2﹣4上,
∴F(m,m2﹣4),
∴P(0,m2﹣4),
∵C(0,﹣4),
∴PC=m2﹣4﹣(﹣4)=m2(0<m<2),
∴d与m的函数解析式d=m2(0<m<2).
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点,待定系数法求函数解析式,关键是求出函数解析式.
23.(14分)如图,正方形ABCD中,点E在边AD上(不与端点A,D重合),点A关于直线BE的对称点为点F,连接CF,设∠ABE=α.
(1)求∠AFC的大小;
(2)过点C作CG⊥AF,垂足为G,连接DG.
①求证:DG∥CF;
②连接OD,若OD⊥DG,求sinα的值.
【分析】(1)由轴对称的性质可得AB=BF,BE⊥AF,可求∠CBF=90°﹣2α,由等腰三角形的性质可求解;
(2)①通过证明点A,点D,点G,点C四点共圆,可得∠AGD=∠ACD=45°,由等腰三角形的性质可得∠AFB=90°﹣α,可得∠CFG=45°=∠DGA,可证DG∥CF;
②先证明△ODG和△CFG均为等腰直角三角形,可得:DO=DG,FG=CG,再证明△DAO≌△DCG(SAS),可得AO=CG,再由对称可得AO=OF,进而推出AF=2DF,利用勾股定理可得AD=DF,再利用三角函数定义即可求得答案.
【解答】(1)解:如图1,连接BF,
∵点A关于直线BE的对称点为点F,
∴AB=BF,BE⊥AF,
∴∠ABE=∠EBF=α,
∴∠BFA=90°﹣α,∠CBF=90°﹣2α,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,
∴BF=BC,
∴∠BFC===45°+α,
∴∠AFC=∠BFA+∠BFC=90°﹣α+45°+α=135°;
(2)①证明:如图2,连接AC,BF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACD=45°,∠ADC=90°,
∵CG⊥AF,
∴∠CGA=∠ADC=90°,
∴点A,点D,点G,点C四点共圆,
∴∠AGD=∠ACD=45°,
由(1)知∠AFC=135°,
∴∠CFG=45°=∠DGA,
∴DG∥CF;
②解:如图3,连接BF,DF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠BAD=∠ADC=90°,
由①知:∠AGD=∠CFG=45°,
∵OD⊥DG,CG⊥FG,
∴∠ODG=∠CGF=90°,
∴△ODG和△CFG均为等腰直角三角形,
∴DO=DG,FG=CG,
∵∠ADO+∠OAC=∠CDG+∠OAC=90°,
∴∠ADO=∠CDG,
∵DA=DC,
∴△DAO≌△DCG(SAS),
∴AO=CG,
∵点A关于直线BE的对称点为点F,
∴AO=OF,
∴AO=OF=FG,
∴DF⊥OG,DF=OF=AF,
∴∠AFD=90°,AF=2DF,
在Rt△ADF中,AD===DF,
∵∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°,
∴∠DAF=∠ABE=α,
∴sinα=sin∠DAF===.
【点评】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,轴对称的性质,三角形内角和定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理,三角函数定义,圆的有关知识,等腰直角三角形的判定和性质等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.
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