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2023年广西贵港市平南县中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年广西贵港市平南县中考数学一模试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广西贵港市平南县中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥
3．（3分）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a3•a3＝a9
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）
6．（3分）小明同学连续5次测验的成绩分别为：98，98，100，102，107（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（ ）
A．98和100 B．98和101 C．100和101 D．98和102
7．（3分）不等式﹣3x+5＞2的解集是（ ）
A．x＜1 B． C．x＞1 D．
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）在5张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字是非负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，观察图中尺规作图的痕迹，可知△ABE的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是 ．
14．（2分）因式分解2x2﹣8y2＝ ．
15．（2分）如图，直线AB，CD被直线DE所截，∠1＝100°，当∠2＝ °时，AB∥CD．
16．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为 ．
17．（2分）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°，已知测角仪DA的高度为1.5m，则旗杆BC的高度约为 m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
18．（2分）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An…，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是 ．（结果用含n代数式表示）
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6cm，tan∠CAE＝，求点E到线段AB的距离．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
23．（10分）疫情防控政策优化调整后，各地纷纷把着力点放在恢复经济发展上．某品牌节电器销售部门为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，该部门统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
30，16，14，15，26，19，16，28，28，15，32，23，17，15，15，
32，19，16，17，22，19，18，26，28，15，24，13，16，18，17．
整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表：
频数分布表
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额
13≤x＜16
16≤x＜19
19≤x＜22
22≤x＜25
25≤x＜28
28≤x＜31
31≤x＜34
频数
7
9
a
3
2
4
b
数据分析表
平均数
众数
中位数
20.3
c
d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若将月销售额不低于22万元确定为销售目标，则有多少位营业员可以获得奖励？
（3）若想让一半的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
24．（10分）“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．每年的“三月三”广西的各旅游景点都会迎来大量的游客．为了满足游客的需求，某景点礼品店准备购进A，B两种手工绣球，已知3个A种绣球和2个B种绣球进价共55元，6个A种绣球和5个B种绣球进价共130元．
（1）A种绣球和B种绣球每个进价各多少元？
（2）若该礼品店计划用至少8500元的金额购买A，B两种绣球共500个，则A种绣球最多能购进多少个？
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，且AF＝4，求BD和DE的长．
26．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，3）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2023年广西贵港市平南县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．
【解答】解：的倒数是3，
故选：A．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥
【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
故选：A．
3．（3分）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010
【解答】解：1 800 000 000＝1.8×109，
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a3•a3＝a9
【解答】解：∵（a2b3）2＝a4b6，
故A符合题意；
∵3b2+b2＝4b2，
故B不符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故C不符合题意；
∵a3•a3＝a6，
故D不符合题意，
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）
【解答】解：点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（﹣3，4），
故选：A．
6．（3分）小明同学连续5次测验的成绩分别为：98，98，100，102，107（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（ ）
A．98和100 B．98和101 C．100和101 D．98和102
【解答】解：∵这组数据中，98出现了2次，次数最多，
∴这组数据的众数为98，
这组数据的平均数＝×（98+98+100+102+107）＝101．
故选：B．
7．（3分）不等式﹣3x+5＞2的解集是（ ）
A．x＜1 B． C．x＞1 D．
【解答】解：﹣3x+5＞2，
移项得：﹣3x＞2﹣5，
合并得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1得：x＜1，
故选：A．
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OAD中，OD＝＝＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：D．
9．（3分）在5张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字是非负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在数字﹣2，﹣1，0，1，2中，非负数有：1，2，0，
∴从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是，
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
故选：D．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，观察图中尺规作图的痕迹，可知△ABE的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：由作图痕迹得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝6+9＝15．
故选：B．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝﹣，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是 a≥﹣1 ．
【解答】解：根据题意知a+1≥0，
解得a≥﹣1，
故答案为：a≥﹣1．
14．（2分）因式分解2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【解答】解：2x2﹣8y2
＝2（x2﹣4y2）
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
15．（2分）如图，直线AB，CD被直线DE所截，∠1＝100°，当∠2＝ 80 °时，AB∥CD．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝100°，
∴∠3＝100°，
∴∠2＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80．
16．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为 15πcm2 ．
【解答】解：因为圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，
所以圆锥的母线长＝＝5（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积＝•2π•3•5＝15π（cm2）．
故答案为15πcm2．
17．（2分）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°，已知测角仪DA的高度为1.5m，则旗杆BC的高度约为 10.2 m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
【解答】解：由题意得，CG＝AD＝1.5m，AE＝DF＝10m，
设BG＝xm，
在Rt△BFG中，FG＝＝ m，
则DG＝（+10）m，
在Rt△BDG中，tan30°＝＝，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解且符合题意，
∴BC＝BG+CG＝+1.5≈10.2（m）．
故答案为：10.2．
18．（2分）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An…，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是 ．（结果用含n代数式表示）
【解答】解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1＝3，y2＝；
∴P1A1＝y1＝3；
又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，
∴P1A1＝B1P2＝3，P1A1∥B1P2，
∴点B1的纵坐标是：y2+y1＝+3，即点B1的纵坐标是；
同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2＝1+＝；
点B3的纵坐标是：y4+y3＝+1＝；
…
点Bn的纵坐标是：yn+1+yn＝+＝；
故答案是：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣1×（﹣8+4）﹣3
＝﹣1×（﹣4）﹣3
＝4﹣3
＝1．
20．（6分）解方程：．
【解答】解：，
＝+1，
方程两边都乘3（x﹣1），得x＝9+3（x﹣1），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣3是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣3．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6cm，tan∠CAE＝，求点E到线段AB的距离．
【解答】解：（1）如图，AE即为所求.
（2）过点E作EF⊥AB于点F，
∵AE为∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴CE＝EF，
在Rt△ACE中，
∵AC＝6cm，tan∠CAE＝，
∴，
解得CE＝，
经检验，CE＝是原方程的解且符合题意，
∴EF＝cm，
即点E到线段AB的距离为cm．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
又∵DF＝EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵DE⊥AB，
∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD＝5，
∵AB＝CD，DF＝BE，
∴AE＝CF＝3，
∴DE＝＝4，
∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20，
即矩形BFDE的面积是20．
23．（10分）疫情防控政策优化调整后，各地纷纷把着力点放在恢复经济发展上．某品牌节电器销售部门为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，该部门统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
30，16，14，15，26，19，16，28，28，15，32，23，17，15，15，
32，19，16，17，22，19，18，26，28，15，24，13，16，18，17．
整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表：
频数分布表
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额
13≤x＜16
16≤x＜19
19≤x＜22
22≤x＜25
25≤x＜28
28≤x＜31
31≤x＜34
频数
7
9
a
3
2
4
b
数据分析表
平均数
众数
中位数
20.3
c
d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ 3 ，b＝ 2 ，c＝ 15 ，d＝ 18 ；
（2）若将月销售额不低于22万元确定为销售目标，则有多少位营业员可以获得奖励？
（3）若想让一半的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
【解答】解：（1）在19≤x＜22范围内的数据有3个，在31≤x＜34范围内的数据有2个，
15出现的次数最大，则众数为15；中位数为18；
故答案为：3，2，15，18；
（2）月销售额不低于22万元为后面三组数据，即有3+2+4+2＝11位营业员获得奖励；
故答案为：11；
（3）想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．
因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，
所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标．
24．（10分）“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．每年的“三月三”广西的各旅游景点都会迎来大量的游客．为了满足游客的需求，某景点礼品店准备购进A，B两种手工绣球，已知3个A种绣球和2个B种绣球进价共55元，6个A种绣球和5个B种绣球进价共130元．
（1）A种绣球和B种绣球每个进价各多少元？
（2）若该礼品店计划用至少8500元的金额购买A，B两种绣球共500个，则A种绣球最多能购进多少个？
【解答】解：（1）设A种绣球每个进价是x元，B种绣球每个进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种绣球每个进价是5元，B种绣球每个进价是20元；
（2）设购进m个A种绣球，则购进（500﹣m）个B种绣球，
根据题意得：5m+20（500﹣m）≥8500，
解得：m≤100，
∴m的最大值为100．
答：A种绣球最多能购进100个．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，且AF＝4，求BD和DE的长．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
又∵OD为⊙O半径，
∴直线DM是⊙O的切线；
（2）∵，
∴∠DBF＝∠DAB，
又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），
∴△DBF∽△DAB，
∴，即DB2＝DF•DA，
∵DF＝2，AF＝4，
∴DA＝DF+AF＝6
∴DB2＝DF•DA＝12
∴DB＝DE＝2
26．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，3）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，3）代入y＝ax2+bx得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，3）代入y＝kx+t得，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵A（4，0），B（1，3），
∴S△OAB＝×4×3＝6，
∴S△OAB＝2S△PAB＝6，
即S△PAB＝3，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝3，
∴PN＝2．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+4m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+4），
∴PN＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝2．
解得：m＝2或m＝3；
∴P（2，4）或（3，3）；
（3）存在最大值．理由如下：
∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵＝＝，
设直线AB交y轴于点F，则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，
∴＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4，
∴当n＝时，的最大值为．
2023年广西贵港市平南县中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥
3．（3分）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a3•a3＝a9
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）
6．（3分）小明同学连续5次测验的成绩分别为：98，98，100，102，107（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（ ）
A．98和100 B．98和101 C．100和101 D．98和102
7．（3分）不等式﹣3x+5＞2的解集是（ ）
A．x＜1 B． C．x＞1 D．
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（3分）在5张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字是非负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，观察图中尺规作图的痕迹，可知△ABE的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是 ．
14．（2分）因式分解2x2﹣8y2＝ ．
15．（2分）如图，直线AB，CD被直线DE所截，∠1＝100°，当∠2＝ °时，AB∥CD．
16．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为 ．
17．（2分）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°，已知测角仪DA的高度为1.5m，则旗杆BC的高度约为 m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
18．（2分）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An…，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是 ．（结果用含n代数式表示）
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解方程：．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6cm，tan∠CAE＝，求点E到线段AB的距离．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
23．（10分）疫情防控政策优化调整后，各地纷纷把着力点放在恢复经济发展上．某品牌节电器销售部门为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，该部门统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
30，16，14，15，26，19，16，28，28，15，32，23，17，15，15，
32，19，16，17，22，19，18，26，28，15，24，13，16，18，17．
整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表：
频数分布表
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额
13≤x＜16
16≤x＜19
19≤x＜22
22≤x＜25
25≤x＜28
28≤x＜31
31≤x＜34
频数
7
9
a
3
2
4
b
数据分析表
平均数
众数
中位数
20.3
c
d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若将月销售额不低于22万元确定为销售目标，则有多少位营业员可以获得奖励？
（3）若想让一半的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
24．（10分）“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．每年的“三月三”广西的各旅游景点都会迎来大量的游客．为了满足游客的需求，某景点礼品店准备购进A，B两种手工绣球，已知3个A种绣球和2个B种绣球进价共55元，6个A种绣球和5个B种绣球进价共130元．
（1）A种绣球和B种绣球每个进价各多少元？
（2）若该礼品店计划用至少8500元的金额购买A，B两种绣球共500个，则A种绣球最多能购进多少个？
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，且AF＝4，求BD和DE的长．
26．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，3）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2023年广西贵港市平南县中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）的倒数是（ ）
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．
【解答】解：的倒数是3，
故选：A．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥
【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
故选：A．
3．（3分）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010
【解答】解：1 800 000 000＝1.8×109，
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a3•a3＝a9
【解答】解：∵（a2b3）2＝a4b6，
故A符合题意；
∵3b2+b2＝4b2，
故B不符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故C不符合题意；
∵a3•a3＝a6，
故D不符合题意，
故选：A．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，﹣3）
【解答】解：点P（3，4）关于y轴对称点的坐标为（﹣3，4），
故选：A．
6．（3分）小明同学连续5次测验的成绩分别为：98，98，100，102，107（单位：分），则这组数据的众数和平均数分别为（ ）
A．98和100 B．98和101 C．100和101 D．98和102
【解答】解：∵这组数据中，98出现了2次，次数最多，
∴这组数据的众数为98，
这组数据的平均数＝×（98+98+100+102+107）＝101．
故选：B．
7．（3分）不等式﹣3x+5＞2的解集是（ ）
A．x＜1 B． C．x＞1 D．
【解答】解：﹣3x+5＞2，
移项得：﹣3x＞2﹣5，
合并得：﹣3x＞﹣3，
系数化为1得：x＜1，
故选：A．
8．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则CD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△OAD中，OD＝＝＝3，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：D．
9．（3分）在5张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣2，﹣1，0，1，2，从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字是非负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在数字﹣2，﹣1，0，1，2中，非负数有：1，2，0，
∴从中随机抽取一张，抽到写有非负数的卡片的概率是，
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
故选：D．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，观察图中尺规作图的痕迹，可知△ABE的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解答】解：由作图痕迹得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝6+9＝15．
故选：B．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝﹣，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是 a≥﹣1 ．
【解答】解：根据题意知a+1≥0，
解得a≥﹣1，
故答案为：a≥﹣1．
14．（2分）因式分解2x2﹣8y2＝ 2（x+2y）（x﹣2y） ．
【解答】解：2x2﹣8y2
＝2（x2﹣4y2）
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：2（x+2y）（x﹣2y）．
15．（2分）如图，直线AB，CD被直线DE所截，∠1＝100°，当∠2＝ 80 °时，AB∥CD．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝100°，
∴∠3＝100°，
∴∠2＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80．
16．（2分）若圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，则它的侧面展开图的面积为 15πcm2 ．
【解答】解：因为圆锥的底面半径为3cm，高是4cm，
所以圆锥的母线长＝＝5（cm），
所以圆锥的侧面展开图的面积＝•2π•3•5＝15π（cm2）．
故答案为15πcm2．
17．（2分）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°，已知测角仪DA的高度为1.5m，则旗杆BC的高度约为 10.2 m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
【解答】解：由题意得，CG＝AD＝1.5m，AE＝DF＝10m，
设BG＝xm，
在Rt△BFG中，FG＝＝ m，
则DG＝（+10）m，
在Rt△BDG中，tan30°＝＝，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解且符合题意，
∴BC＝BG+CG＝+1.5≈10.2（m）．
故答案为：10.2．
18．（2分）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An…，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是 ．（结果用含n代数式表示）
【解答】解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1＝3，y2＝；
∴P1A1＝y1＝3；
又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，
∴P1A1＝B1P2＝3，P1A1∥B1P2，
∴点B1的纵坐标是：y2+y1＝+3，即点B1的纵坐标是；
同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2＝1+＝；
点B3的纵坐标是：y4+y3＝+1＝；
…
点Bn的纵坐标是：yn+1+yn＝+＝；
故答案是：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝﹣1×（﹣8+4）﹣3
＝﹣1×（﹣4）﹣3
＝4﹣3
＝1．
20．（6分）解方程：．
【解答】解：，
＝+1，
方程两边都乘3（x﹣1），得x＝9+3（x﹣1），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣3是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣3．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AC＝6cm，tan∠CAE＝，求点E到线段AB的距离．
【解答】解：（1）如图，AE即为所求.
（2）过点E作EF⊥AB于点F，
∵AE为∠BAC的平分线，∠C＝90°，
∴CE＝EF，
在Rt△ACE中，
∵AC＝6cm，tan∠CAE＝，
∴，
解得CE＝，
经检验，CE＝是原方程的解且符合题意，
∴EF＝cm，
即点E到线段AB的距离为cm．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，求四边形BFDE的面积．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，
又∵DF＝EB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵DE⊥AB，
∵AF平分∠DAB，DC∥AB，
∴∠DAF＝∠FAB，∠DFA＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD＝5，
∵AB＝CD，DF＝BE，
∴AE＝CF＝3，
∴DE＝＝4，
∴矩形BFDE的面积是：DF•DE＝5×4＝20，
即矩形BFDE的面积是20．
23．（10分）疫情防控政策优化调整后，各地纷纷把着力点放在恢复经济发展上．某品牌节电器销售部门为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，该部门统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：
30，16，14，15，26，19，16，28，28，15，32，23，17，15，15，
32，19，16，17，22，19，18，26，28，15，24，13，16，18，17．
整理上面的数据，得到下面两个不完整的统计表：
频数分布表
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额
13≤x＜16
16≤x＜19
19≤x＜22
22≤x＜25
25≤x＜28
28≤x＜31
31≤x＜34
频数
7
9
a
3
2
4
b
数据分析表
平均数
众数
中位数
20.3
c
d
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝ 3 ，b＝ 2 ，c＝ 15 ，d＝ 18 ；
（2）若将月销售额不低于22万元确定为销售目标，则有多少位营业员可以获得奖励？
（3）若想让一半的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
【解答】解：（1）在19≤x＜22范围内的数据有3个，在31≤x＜34范围内的数据有2个，
15出现的次数最大，则众数为15；中位数为18；
故答案为：3，2，15，18；
（2）月销售额不低于22万元为后面三组数据，即有3+2+4+2＝11位营业员获得奖励；
故答案为：11；
（3）想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．
因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，
所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标．
24．（10分）“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．每年的“三月三”广西的各旅游景点都会迎来大量的游客．为了满足游客的需求，某景点礼品店准备购进A，B两种手工绣球，已知3个A种绣球和2个B种绣球进价共55元，6个A种绣球和5个B种绣球进价共130元．
（1）A种绣球和B种绣球每个进价各多少元？
（2）若该礼品店计划用至少8500元的金额购买A，B两种绣球共500个，则A种绣球最多能购进多少个？
【解答】解：（1）设A种绣球每个进价是x元，B种绣球每个进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种绣球每个进价是5元，B种绣球每个进价是20元；
（2）设购进m个A种绣球，则购进（500﹣m）个B种绣球，
根据题意得：5m+20（500﹣m）≥8500，
解得：m≤100，
∴m的最大值为100．
答：A种绣球最多能购进100个．
25．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF＝2，且AF＝4，求BD和DE的长．
【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
又∵OD为⊙O半径，
∴直线DM是⊙O的切线；
（2）∵，
∴∠DBF＝∠DAB，
又∵∠BDF＝∠ADB（公共角），
∴△DBF∽△DAB，
∴，即DB2＝DF•DA，
∵DF＝2，AF＝4，
∴DA＝DF+AF＝6
∴DB2＝DF•DA＝12
∴DB＝DE＝2
26．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，3）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CPB，△BCO的面积分别为S1，S2，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，3）代入y＝ax2+bx得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，3）代入y＝kx+t得，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
∵A（4，0），B（1，3），
∴S△OAB＝×4×3＝6，
∴S△OAB＝2S△PAB＝6，
即S△PAB＝3，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝3，
∴PN＝2．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+4m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+4），
∴PN＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝2．
解得：m＝2或m＝3；
∴P（2，4）或（3，3）；
（3）存在最大值．理由如下：
∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵＝＝，
设直线AB交y轴于点F，则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，
∴＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．
∵1＜n＜4，
∴当n＝时，的最大值为．
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