湖南省长沙市2023届九年级学业水平模拟考试（4）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市2023届九年级学业水平模拟考试（4）数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试题（4）

注意事项:
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请匆折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.的平方根是（　 　）
A. B. C. D. ±9
2.4月24日是中国航天日，1970年的这一天我国自行设计制造的第一颗人造地球卫星微信“东方红”一号发射升空，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距离地球最近点439000米，将439000用科学记数法应表示为( )．
A.4.39×105 B.4.39×10-5 C.0.439×105 D.43.9×104
3.为推动世界冰雪运动的发展，我国将于 2022 年举办北京冬奥会.在此之前进行了冬奥会会标的征集活动， 以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
4.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
6.如图是由6个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　 ）
A． B． C． D．
7.如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
8.有7名大学生去同一家大型公司面试，公司只录取3人，每个人仅知道自己的面试成绩（每个人的面试成绩都不相同），要想让他们知道是否被录取，公司只需要公布他们面试成绩的（ ）
A平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
9.关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有两不等实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤且a≠﹣2 B．a≤ C．a＜且a≠﹣2 D．a＜
10.一辆快车和一辆慢车将一批防疫物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（　　）
第3题
第5题
第7题
第10题
第16题
A．h B．h C．h D．h
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.两组数据：3，a，2b，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为__________．
12.要用一块扇形的铁皮做一个高为6cm的圆锥形烟筒帽（接缝忽略不计），扇形铁皮的面积为80πcm2，，那么这个扇形铁片的弧长为 　 　cm．
13.理想人士的幸福生活就是“劈柴，喂马，周游世界”.将劈、柴、喂、马4个字书写在四张材质、大小完全相同的卡片上，在暗箱内摇匀后先后随机抽取两张，则两张卡片上的汉字恰为“喂”，“马”二字的概率是 .
14.抛物线y=x2 向右平移8个单位，再向上平移9个单位后，所得抛物线的表达式是_____．
15.已知关于x，y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是　 　．
16.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2022D2022A2023，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2022D2022A2023的面积为S2023，则S2023＝　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分6分)计算：

18.(本小题满分6分)先化简÷（﹣），再求值，其中x＝﹣2．
19.(本小题满分6分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．

20.(本小题满分8分)2021年5月22日13点07分，袁隆平在湖南长沙逝世。为继承袁隆平院士梦想，某大学农学院积极进行杂交水稻实验。如图，为该学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．

（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 　 　株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．

21.(本小题满分8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，BC，使得AE＝CF，连接BE，DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE＝　 　°时，四边形BFDE是菱形．

22.(本小题满分9分)为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
23.(本小题满分9分)图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

24.(本小题满分10分)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　 　，其内切圆的半径长为 　 　；
（2）①如图1，P是边长为a的正△ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝　 　；（结果用含a的式子表示）

②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为h1，h2，h3，h4，h5，参照①的探索过程，试用含a的式子表示h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈，tan54°≈）
（3）①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　 　；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由

25.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；
（3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．

2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试题（4）答案

1. C2.A3.B4.B5.C6.C7.B8.B9.C10.B
11.6 12.80π 13.14.y=（x-8）2+9 15.a＞1 16.24042．
17.解：（1）原式==；
18.解：原式＝÷＝•＝，当x＝﹣2时，原式＝＝．
19.（1）解：如图，图形如图所示．

（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，
∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，
∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，
∵BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，
∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，
∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
20.解：（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：80÷16%＝500（株）；
（2）苗高为14cm的秧苗的株数有500×20%＝100（株），
苗高为17cm的秧苗的株数有500﹣40﹣100﹣80﹣160＝120（株），
补全统计图如下：


（3）90000×＝64800（株），
答：估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数有64800株．
21.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠1＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形，
理由如下：∵∠1＝30°，∠2＝20°，
∴∠ABD＝∠1﹣∠2＝10°，∴∠DBE＝20°，
∴∠DBE＝∠EDB＝20°，∴BE＝DE，∴平行四边形BFDE是菱形，
22.解：（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：，解得：，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：，∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
23.解：(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,过点M作MI⊥FG,垂足为I，过点P作PK⊥DE,垂足为K,
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8(cm)，
在Rt△BMH中，
cos∠BMH＝＝＝0.4,
∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP,
∴∠BMH+∠ABC＝180°,
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
(2)∴∠ABC＝180°﹣∠BMH＝180°﹣66.4°＝113.6°．
∵∠BMN＝68.6°,∠BMH＝66.4°,
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°,
∵MN＝28cm，
∴cos45°＝＝,
∴MI≈19.74cm，∵KI＝50cm,
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.74﹣25.3＝4.96≈5.0(cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．

24.解：（1）如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝5，设斜边上高为h，由等面积法可知：
AC•BC＝h•AB，＝．
设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：
S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．即3×4÷2＝AC•r+BC•r+AB•r，
即＝6，∴r＝＝＝1．
（2）①：由已知中图可知，△ABC的面积为＝，
由等面积法，易知a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝，解得：h1+h2+h3＝．
②：类比①中方法可知（h1+h2+h3+h4+h5）＝S五边形ABCDE，
设点O为正五边形ABCDE的中心，连接OA，OB，如图2．
易知S五边形ABCDE＝5S△OAB，
过O作OQ⊥AB于点Q，∠EAB＝＝108°，
故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ•tan54°＝，
故（h1+h2+h3+h4+h5）＝5××，从而得到：
h1+h2+h3+h4+h5＝tan54°≈．
（3）①：若以BC作为△OCB和△ACB的底，则△OCB和△ACB等高，
∴S△OCB＝S△ACB．
∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB的面积．
∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°，
又OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵BC∥OA，∴∠OBC＝∠AOB＝60°，
∴△OCB为等边三角形．∴∠COB＝60°，
∴S扇形OCB＝＝．故阴影部分面积为．
②如图3，连接DF，过点E作EG∥DF交AF的延长线于点G，则点G即为所求．
连接DG，
∵S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DEF，∵EG∥DF，∴S△DEF＝S△DGF，
∴S六边形ABCDEF＝S五边形ABCDF+S△DGF＝S五边形ABCDG．

25.解：（1）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，
得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），
∴B（3，0），
设直线BD解析式为y＝kx+e，
∵B（3，0），D（1，﹣4），
∴，解得：，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，
过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，
设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，
得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，
∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，故P1（4，5），
过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，
∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，
∴四边形OBGC是正方形，
设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝，∴E（，0），
在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，
∵四边形OBGC是正方形，
∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，
∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，
即∠OCE＝∠GCF，
∴△OCE≌△GCF（ASA），∴FG＝OE＝，
∴BF＝BG﹣FG＝3﹣＝，∴F（3，﹣），
设直线CF解析式为y＝k1x+e1，
∵C（0，﹣3），F（3，﹣），
∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P2（，﹣），
综上所述，符合条件的P点坐标为：P1（4，5），P2（，﹣）；
（3）设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
设M（t，t﹣3），则N（t，t2﹣2t﹣3），
∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|，
①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，
∵MQ∥x轴，
∴Q（﹣t，t﹣3），∴|t2﹣3t|＝|t﹣（﹣t）|，
∴t2﹣3t＝±t，解得：t＝0（舍）或t＝或t＝，
∴M2（，），Q2（﹣，）；M1（，﹣），Q1（﹣，﹣）；
②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，
∵NQ∥x轴，
∴Q（，t2﹣2t﹣3），
∴NQ＝|t﹣|＝|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，
解得：t＝0（舍）或t＝5或t＝2，
∴M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；
③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，
过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，
∴H（t，），∴Q（，），
∴QH＝|t﹣|＝|t2+5t|，∵MQ＝NQ，
∴MN＝2QH，
∴|t2﹣3t|＝2×|t2+5t|，解得：t＝7或1，
∴M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）；
综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：
M1（，），Q1（﹣，）；M2（，﹣），Q2（﹣，﹣）；M3（5，2），Q3（﹣5，12）；M4（2，﹣1），Q4（0，﹣3）；M5（7，4），Q5（﹣7，18）；M6（1，﹣2），Q6（0，﹣3）．