第9章 三角形专题训练：规律探究、归纳推理问题(含答案)

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专题：规律探究、归纳推理问题　　　　　　　　　　　　　　　　1．观察下列关于自然数的等式：22－9×12＝－5①，52－9×22＝－11②，82－9×32＝－17③，……根据上述规律，解决下列问题：(1)完成第四个等式：112－9×__________2＝________；(2)根据上面的规律，写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．         2．发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个数为n，写出它们的平方和，并说明它们的平方和是5的倍数．     延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．           3．已知△ABC中，∠A＝30°.(1)如图①，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________°；(2)如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于点O1、O2，则∠BO2C＝________°；(3)如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于点O1、O2…On－1(内部有n－1个点)，求∠BOn－1C(用含n的代数式表示)；(4)如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于点O1、O2…On－1.若∠BOn－1C＝60°，求n的值．                              参考答案与解析1．解：(1)4　－23(2)猜想：(3n－1)2－9n2＝－6n＋1.验证：(3n－1)2－9n2＝9n2－6n＋1－9n2＝－6n＋1.2．解：验证　(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3，即(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍．(2)由题知五个连续整数的中间一个数为n，则其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10.∵5n2＋10＝5(n2＋2)，又∵n是整数，∴n2＋2是整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数．延伸　设三个连续整数的中间一个数为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1，它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2.∵n是整数，∴n2是整数，∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.3．解：(1)105　(2)80(3)∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＋∠ACB＝150°.∵点On－1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，∴∠On－1BC＋∠On－1CB＝(∠ABC＋∠ACB)＝·150°，∴∠BOn－1C＝180°－·150°.(4)由(3)得180°－×150°＝60°，解得n＝5.