第七章 平面图形的认识（二） 【过关测试提优】（原卷+解析）-七年级数学下册单元复习过过过（苏科版）

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平面图形的认识（二）（提优）
一．选择题（共8小题）
1．若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　）
A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．
【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，
若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，
若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，
若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，
因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，
故选：C．

【点评】考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键．
2．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AA'，

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．
3．如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　）

A．70° B．65° C．50° D．25°
【分析】由平行可求得∠DEF，又由折叠的性质可得∠DEF＝∠D′EF，结合平角可求得∠AED′．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
又由折叠的性质可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（　　）

A．35°或20° B．20°或27.5°
C．35°或25°或32.5° D．35°或20°或27.5°
【分析】分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．
【解答】解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD=12∠BPA，
∠BDP＝∠ADP＝90°．
当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，
∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）
＝55°，
∴∠B＝90°﹣55°
＝35°；
当AP＝PC时，∠PAC＝∠C＝70°，
则∠APC＝40°．
∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）
＝70°，
∴∠B＝90°﹣70°
＝20°；
当PC＝AC时，∠APC＝∠PAC，
则∠APC＝55°．
∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）
＝62.5°，
∴∠B＝90°﹣62.5°
＝27.5°．
故选：D．

【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握折叠、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及分类讨论的思想方法是解决本题的关键．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（　　）

A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
【分析】分三种情形：①当AE＝AF时，②当AF＝EF时，③当AE＝EF时，分别求解即可．
【解答】解：①当AE＝AF时，则∠AFE＝∠AEF=12（180°﹣∠A），
∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴12（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝40°．
②当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，
同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝50°．
③当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意．
综上所述，∠A＝40°或50°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　）

A．220° B．240° C．260° D．280°
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【解答】解：连接BD，

∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
7．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC的度数为（　　）

A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠EBC+∠ECB＝90°，再根据三等分线求出∠DBC+∠DCB即可解决问题．
【解答】解：在△BEC中，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，
∴∠DBC=12∠EBC，∠DCB=12∠ECB，
∴∠DBC+∠DCB=12×90°＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．

A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
二．填空题（共8小题）
9．两根木棒分别长3cm、7cm，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形．如果第三根木棒的长为偶数（单位：cm），那么所构成的三角形周长为 　16或18　cm．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定其值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三根木棒的长大于4cm而小于10cm．
又第三根木棒的长是偶数，则应为6cm，8cm．
∴所构成的三角形周长为16cm或18cm，
故答案为：16或18．
【点评】本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键
10．如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝　40°　．

【分析】根据图形折叠的性质，得∠D′EF＝∠DEF=12∠DED'，∠EFC＝∠EFC′．欲求∠BFC′，需求∠EFC、∠EFB．根据长方形的性质，得AD∥BC，那么∠DEF＝∠BFE，∠EFC＝180°﹣∠DEF．欲求∠EFC、∠EFB，需求∠DEF，从而解决此题．
【解答】解：由题意得：∠D′EF＝∠DEF=12∠DED'，∠EFC＝∠EFC′．
∵∠AED'＝40°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．
∴∠DEF=12∠DED'=70°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．
∴∠EFC′＝110°．
∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查平行线的性质、图形折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、图形折叠的性质是解决本题的关键．
11．如图，直线m与∠AOB的一边射线OB相交，∠3＝120°，向上平移直线m得到直线n，与∠AOB的另一边射线OA相交，则∠2﹣∠1＝　60°　．

【分析】作OC∥m，如图，利用平移的性质得到m∥n，则判断OC∥n，根据平行线的性质得∠1＝∠OBC＝30°，∠2+∠AOC＝180°，从而得到∠2+∠3的度数．
【解答】解：作OC∥m，如图，
∵直线m向上平移直线m得到直线n，
∴m∥n，
∴OC∥n，
∴∠1＝∠BOC，∠2+∠AOC＝180°，∠AOC＝∠3﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，
∴∠2﹣∠1＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60°．

【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．
12．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝　35　°．

【分析】根据折叠的性质得到∠EDA′＝∠EDA，∠DEA′＝∠DEA，由角平分线及平角定义可得∠BDA′+2∠EDA＝180°，∠CEA′+2∠DEA＝180°，再根据已知条件得到∠EDA+∠DEA＝145°，由三角形内角和定理即可得到结果．
【解答】解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠EDA′＝∠EDA，∠DEA′＝∠DEA，
∵∠BDA′+2∠EDA＝180°，∠CEA′+2∠DEA＝180°，
∴∠BDA′+2∠EDA+∠CEA′+2∠DEA＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠EDA+∠DEA＝145°，
∴∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了图形的折叠变化及三角形内角和定理，理解折叠是一种轴对称变化，运用轴对称的性质及三角形内角和定理是解决问题的关键．
13．将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝　75　°．

【分析】由三角形内角和定理可求解∠ABC的度数，利用三角形外角的性质可求解∠BDF的度数，进而可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，
∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，
故答案为75．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，求解∠BDF的度数是解题的关键．
14．如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 　55　度．

【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A＝∠D，∠AED+∠AFD＝250°，即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，
延长B'E，C'F，交于点D，
由折叠可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝110°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣110°＝250°，
∴四边形AEDF中，∠A=12（360°﹣250°）＝55°，
故答案为：55．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算．
15．如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是　α+β　．

【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可．
【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，
∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β
故填α+β．

【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件，同时考查了四边形内角和定理．垂直和直角总是联系在一起．
16．如图，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE＝2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP＝∠DCA，则∠CBP：∠ABP的值为 　2或4　．

【分析】分两种情况进行解答，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系．
【解答】解：如图，①当∠ABP1＝∠DCA时，即∠1＝∠2，
∵∠D＝120°，
∴∠1+∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵∠BAD＝3∠CAD，∠ABE＝2∠CBE，AD∥BC，
∴3∠3+3∠EBC＝180°，
∴∠3+∠EBC＝60°，
∴∠EBC＝∠1＝∠2＝∠P1BE，
∴∠CBP1：∠ABP1的值为2，
②当∠ABP2＝∠DCA时，∴∠CBP2：∠ABP2的值为4，
故答案为：2或4．

【点评】考查三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键．
三．解答题（共9小题）
17．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形的边数是多少？
【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝360×3+180，
解得：n＝9．
则这个多边形的边数是9．
【点评】考查了多边形内角与外角，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，AE平分∠DAC．
（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度数．
（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，请探求∠BAE的度数与∠ADC、∠C度数之间的关系（用含m、n的代数式表示）．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝64°，根据三角形外角的性质得到∠BAD＝26°，根据角平分线的定义得到∠DAE＝19°，于是得到结论；
（2）方法同（1）．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，∠C＝26°，
∴∠BAC＝64°，
∵∠ADC＝116°，
∴∠BAD＝26°，
∴∠DAC＝64°﹣26°＝38°，
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAE＝19°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝26°+19°＝45°；
（2）∵∠B＝90°，∠C＝n°，
∴∠BAC＝90°﹣n°，
∵∠ADC＝m°，
∴∠BAD＝m°﹣90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝（90°﹣n°）﹣（m°﹣90°），
∵AE是∠DAC的角平分线，
∴∠DAE=12∠DAC=12（180°﹣n°﹣m°），
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝m°﹣90°+12（180°﹣n°﹣m°）=12m°-12n°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
19．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；
（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．

【分析】（1）由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠EBC＝40°，由平行线的性质即可求解；
（2）由外角的性质和角平分线的性质可得∠A+2∠ABD＝65°，再由∠A﹣∠ABD＝20°，即可求出∠A的度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∠BDC＝60°，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣40°＝20°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBC＝2∠ABD＝40°，
∵DE∥BC，
∴∠BED+∠EBC＝180°，
∠BED＝180°﹣40°＝140°；
（2）∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∵∠EDC＝∠EDB+∠BDC＝∠EDB+∠A+∠ABD，
∴∠EDC＝∠A+2∠ABD，
∵∠EDC＝65°，
∴∠A+2∠ABD＝65°，
∵∠A﹣∠ABD＝20°，
∴∠A＝35°．
【点评】本题考查了平行线的性质，外角的性质，角平分线的性质，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．
20．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，
（1）若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度数．

【分析】（1）根据折叠的性质得到∠D＝∠A，根据平行线的性质得到∠1＝∠A，∠2＝∠D，所等量代换得到∠1＝∠2．
（2）根据三角形的内角和定理得到∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°，根据折叠的性质得到∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，所根据四边形的内角和等于360°得到∠AED+∠AFD＝260°，于是得到结论．
【解答】解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵∠D是由∠A翻折得到，
∴∠D＝∠A，
∵DE∥AC，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠D，
∴∠1＝∠2．
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°，
∵△DEF是△AEF由翻折得到，
∵∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，
∴∠AED+∠AFD＝260°，
∵∠1+∠2+∠AED+∠AFD＝360°，
∴∠1+∠2＝100°．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，四边形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21．已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E、P分别是线段AB、BC上的动点．（E、P不与点B重合）

（1）如图1，若DE∥BC，则
①∠EDB的度数是 　40　°．
②当∠EDF＝∠DEF时，∠EPB＝　40　°；当∠DEF＝∠EFD时，∠EPB＝　70　°．
（2）如图2，若DE⊥AB，当△DEF中有两个相等的角时，求出∠EPB的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理求解∠ABC的度数，结合角平分线的定义可得∠ABD，∠CBD的度数，
（1）①由平行线的性质可求解；
②当∠EDF＝∠DEF时，利用平行线的性质可求解；当∠DEF＝∠EFD时，利用三角形的内角和定理可求得∠DEF的度数，进而可求解；
（2）由垂直的定义及三角形的内角和定理可求解∠EDF的度数，再分三种情况：当∠DEF＝∠EDF＝50°时，当∠DEF＝∠DFE时，当∠EDF＝∠DFE时，计算可求解．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC＝40°，
（1）①∵ED∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD＝40°，
故答案为40；
②当∠EDF＝∠DEF时，∠DEF＝∠EDB＝40°，
∵ED∥BC，
∴∠EPB＝∠DEF＝40°；
当∠DEF＝∠EFD时，
∵∠EDF＝40°，
∴∠DEF=180°-40°2=70°，
∵ED∥BC，
∴∠EPB＝∠DEF＝70°；
故答案为40；70；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠EDF＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
当∠DEF＝∠EDF＝50°时，
∴∠DFE＝180°﹣2×50°＝80°，
∴∠BFP＝∠DFE＝80°，
∵∠BFP+∠EPB+∠DBC＝180°，
∴∠EPB＝180°﹣40°﹣80°＝60°；
当∠DEF＝∠DFE时，
∴∠DFE=180°-50°2=65°，
∴∠BFP＝∠DFE＝65°，
∵∠BFP+∠EPB+∠DBC＝180°，
∴∠EPB＝180°﹣40°﹣65°＝75°；
当∠EDF＝∠DFE时，
∴∠DFE＝50°，
∴∠BFP＝∠DFE＝50°，
∵∠BFP+∠EPB+∠DBC＝180°，
∴∠EPB＝180°﹣40°﹣50°＝90°．
综上，∠EPB的度数为60°或75°或90°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用等腰三角形的性质求解角度时分类讨论时解题的关键．
22．已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，PF交AB于点G．
（1）如图1，直接写出∠P、∠PEB与∠PFD之间的数量关系：　∠P+∠PEB＝∠PFD　；
（2）如图2，EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，且交于点Q，试说明∠P＝2∠Q；
（3）如图3，若∠BEQ=13∠PEB，∠DFQ=13∠PFD，（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠P与∠Q的数量关系；
（4）在（3）的条件下，若∠CFP＝72°，当点E在A、B之间运动时，是否存在PE∥FQ？若存在，请求出∠Q的度数；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由补角性质得∠P+∠PEB＝∠PGB，再根据平行线的性质可得结论；
（2）根据三角形外角性质及平行线性质可得∠QEB+∠Q＝∠KFD，再由平分线的定义可得结论；
（3）根据（1）（2）的结论可得答案；
（4）根据角的关系得∠DFQ，∠PFQ的度数，最后根据平行线的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵∠P+∠PEB+∠PGE＝180°，∠PGE+∠BGB＝180°，
∴∠P+∠PEB＝∠PGB，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD，
∴∠P+∠PEB＝∠PFD．
故答案为：∠P+∠PEB＝∠PFD．
（2）∵在三角形EQK中，∠QEB+∠Q＝∠QKB，AB∥CD，
∴∠QKB＝∠KFD，
∴∠QEB+∠Q＝∠KFD，
∵EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，
∴2∠QEB＝∠PEB，2∠KFD＝∠PFD，
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
∴∠P+2∠QEB＝2∠KFD，即：∠P＝2∠KFD﹣2∠QEB＝2∠Q，
（3）∠P＝3∠Q，理由如下：
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
由（2）知，∠Q+∠QEB＝∠QFD，
∵∠BEQ=13∠PEB，∠DFQ=13∠PFD，
∴∠P＝3∠Q，
（4）∵∠CFP＝72°，
∴∠PFD＝108°，
∴∠DFQ=13∠PFD＝36°，∠PFQ＝108°﹣36°＝72°，
∵PE∥FQ，
∴∠EPF＝∠PFQ＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD＝108°，
∴∠PEB＝∠PGB﹣∠EPF＝108°﹣72°＝36°，
∵∠BEQ=13∠PEB＝12°，
∴∠Q＝∠QKB﹣∠BEQ＝∠QFD﹣∠BEQ＝36°﹣12°＝24°，
∴存在PE∥FQ，∠Q＝24°．
【点评】此题考查的是平行线的判定与性质，能够在解答过程中找准同位角、内错角是解决此题关键．
23．【探究】
（1）如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　35　°；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝　12α+12β-90°　；（用α、β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．

【挑战】
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
【分析】利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．
【解答】解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE=12∠CBE，∠FAB=12∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣130°＝110°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB=12∠CBE-12∠DAB
=12(∠CBE-∠DAB)=12(180°-∠ABC-∠DAB)
=12×(180°-110°)=35°．
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB=12(180°-∠ABC-∠DAB)，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB=12(180°-360°+∠D+∠DCB)=12∠D+12∠DCB-90°=12α+12β-90°．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM=12∠DAB，∠NBE=12∠CBE．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F=12∠DAB-∠NBE=12∠DAB-12∠CBE
=12(∠DAB-∠CBE)=12(180°-α-β)
＝90°-12α-12β．

【点评】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．
24．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度数；
（2）如图1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度数；
（3）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．求证：BF∥OD；
（4）若∠F＝∠ABC＝40°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【分析】（1）利用三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角性质解题；
（2）将（1）中特殊角改为n°，按步骤解题；
（3）由角平分线的定义和平行线的判定定理证明；
（4）数形结合，分类讨论．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝50°，
∴∠BAC+∠BCA＝130°，
∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，
∴∠OBD＝25°，∠OAC+∠OCA＝65°，
∴∠AOC＝115°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝115°，
∵∠ODC是△OBD的一个外角，
∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝115°﹣25°＝90°．
（2）解：∵∠ABC＝n°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣n°，
∵△ABC的三个内角的平分线交于点O，
∴∠OBD=12n°，∠OAC+∠OCA＝90°-12n°，
∴∠AOC＝180°﹣（90°-12n°）＝90°+12n°，
∵∠ODC＝∠AOC，
∴∠ODC＝90°+12n°，
∵∠ODC是△OBD的一个外角，
∴∠BOD＝∠ODC﹣∠OBD＝90°+12n°-12n°＝90°．
（3）证明：由（2）得，∠BOD＝90°，
∵BO平分∠ABC，BF平分∠ABE，
∴∠ABF=12∠ABE，∠ABO=12∠ABC，
∴∠FBO=12∠ABE+12∠ABC＝90°，
由（2）得，∠BOD＝90°，
∴∠FBO＝∠BOD，
∴BF∥OD．
（4）∵∠F＝∠ABC＝40°，∠FBO＝∠BOD＝90°，
∴∠OBD＝∠OB'D'＝20°，∠FOB＝50°，
∴∠ODB＝∠OD'B'＝70°，∠DOC＝180°50°﹣90°＝40°，、
如图（1），∵D'B'∥FC，
∴∠OD'B'＝∠D'OC＝70°，
∴∠DOD'＝∠D'OC﹣∠DOC＝70°﹣40°＝30°，即α＝30°，
如图（2），∵D'B'∥FC，
∴∠OD'B'＝∠D'OF＝70°，
∴α＝∠FOD'+∠FOB+∠DOB＝70°+50°+90°＝210°，
∴旋转角α为30°或210°时，B'D'所在直线与FC平行．


【点评】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义、三角形外角性质和平行线的性质，要求学生学会由特殊到一般的探究思路和分类讨论的思想解题．
25．如图①，∠MON＝80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．

（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）若∠MON＝n，请直接写出∠ACB＝　90°+12n　；∠E＝　12n　．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠CAB+∠CBA的度数，再根据三角形内角和是180°即可求解；
（2）根据AD是∠MAB的平分线，AC平分∠OAB．可知∠CAD＝90°，∠CAE＝90°，再根据三角形内角和是180°即可求解
（3）仿照（1）（2）中的计算方法即可得到∠ACB＝90°+12n，∠E=12n．
【解答】解：（1）∠ACB的大小不变．
在△AOB中，由∠AOB＝80°，得∠OAB+∠OBA＝100°，
因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB=12∠OAB，∠CBA=12∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA=12（∠OAB+∠OBA）=12×100°＝50°，
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣50°＝130°；

（2）∠E的大小不变．
证明：因为AC、AD分别平分∠OAB和∠BAM，
所以∠CAB=12∠OAB，∠DAB=12∠BAM，
所以∠CAB+∠DAB=12（∠OAB+∠BAM）=12×180°＝90°，
即∠CAD＝90°，
所以∠CAE＝90°，
又由（1）可知∠ACB＝130°，
所以∠ACE＝50°，
在△AEC中，由∠CAE＝90°，∠ACE＝50°，得
∠E＝180°﹣90°﹣50°＝40°；

（3）∠ACB＝90°+12n，∠E=12n．
理由：因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB=12∠OAB，∠CBA=12∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA=12（∠OAB+∠OBA），
所以∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°-12（∠OAB+∠OBA）＝180°-12（180°﹣∠AOB）＝90°+12∠AOB＝90°+12n；
因为BC、AD分别平分∠OBA和∠BAM，
所以∠ABE=12∠OBA，∠DAB=12∠BAM，
因为∠BAM是△ABO的外角，
所以∠O＝∠BAM﹣∠ABO，
∵∠DAB是△ABE的外角，
∴∠E＝∠DAB﹣∠ABE=12∠BAM-12∠OBA=12（∠BAM﹣∠ABO）=12∠O=12n．
故答案为：90°+12n，12n．

【点评】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．