第十二章 证明 【过关测试基础】（原卷+解析）-七年级数学下册单元复习过过过（苏科版）

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第十二章 证明（简单）一．选择题（共8小题）1．下列命题正确的是（　　）A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部 B．三角形中至少有一个内角不小于60° C．直角三角形仅有一条高 D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半【分析】根据三角形的中线、高、角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的斜边上的中线的性质一一判断即可．【解答】解：A、钝角三角形的高在三角形的外部．故错误；B、根据内角和定理，可知三角形中至少有一个内角不小于60°．故正确；C、直角三角形有3条高，其中2条在它的直角边上．故错误；D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故错误．故选：B．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．下面a、b的取值，能够说明命题“若a＜b，则|a|＜|b|”是假命题的是（　　）A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣5，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝5【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．【解答】解：当a＝﹣5，b＝﹣3时，a＜b，而|a|＞|b|，所以能够说明命题“若a＜b，则|a|＜|b|”是假命题的是a＝﹣5，b＝﹣3，故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（　　）A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝一1 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝0【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可．【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而a2＜b2，∴“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故选：A．【点评】本题考查的命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．4．下列命题中，假命题的是（　　）A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．面积相等的两个三角形全等 D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．下列命题中，假命题是（　　）A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形的外角和等于360° C．同位角相等 D．三角形的任意两边之差小于第三边【分析】根据三角形的内角和对A进行判断；根据多边形的外角为360度对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据三角形三边的关系对D进行判断．【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，所以A选项为真命题；B、三角形的外角和等于360°，所以B选项为真命题；C、两直线平行，同位角相等，所以C选项为假命题；D、三角形的任意两边之差小于第三边，所以D选项为真命题．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”与其逆命题的真假性为（　　）A．原命题与其逆命题都是真命题 B．原命题与其逆命题都是假命题 C．原命题是假命题，其逆命题是真命题 D．原命题是真命题，其逆命题是假命题【分析】写出其逆命题，进而判断即可．【解答】解：命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题，而命题“若a＝b，则|a|＝|b|”是真命题；故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，考查原命题、逆命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．7．给出下列5个命题：①两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③平行于同一条直线的两条直线平行；④两直线平行，同旁内角相等．其中真命题的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据全等三角形的判定定理、补角的定义、平行公理、平行线的性质判断即可．【解答】解：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，①是真命题；互补的两个角中是一个为锐角，另一个为钝角或两个角都是直角，②是假命题；平行于同一条直线的两条直线平行，③是真命题；两直线平行，同旁内角相等，④是假命题，故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．下列命题中正确的是（　　）A．数轴上的点与实数一一对应 B．无理数是带根号的数 C．无限小数都是无理数 D．零是最小的实数【分析】根据实数与数轴、无理数的概念判断即可．【解答】解：A、数轴上的点与实数一一对应，本选项说法正确，符合题意；B、无理数是无限不循环小数，故本选项说法错误，不符合题意；C、无限不循环小数都是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；D、没有最小的实数，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握实数与数轴、无理数的概念是解题的关键．二．填空题（共7小题）9．命题“若ac＜bc，则a＜b”是　假　命题．（填“真”或“假”）【分析】根据不等式的性质3、假命题的概念解答即可．【解答】解：当ac＜bc，c＜0时，a＞b，∴命题“若ac＜bc，则a＜b”是假命题，故答案为：假．【点评】本题考查的是命题的真假判断、不等式的性质，掌握假命题的概念、不等式的基本性质3是解题的关键．10．命题“如果|a|＝|b|，那么a3＝b3”，是 　假　（选填“真”或“假”）命题．【分析】根据绝对值的性质、有理数的乘方法则计算，判断即可．【解答】解：当a＝﹣2，b＝2时，a3＝﹣8，b3＝8，此时|a|＝|b|，但a3≠b3”，故命题“如果|a|＝|b|，那么a3＝b3”，是假命题，故答案为：假．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．11．“等角的补角相等”的条件是　两个角分别是某两个相等角的补角　，结论是　这两个角相等　．【分析】把命题写成“如果…那么…的形式”，则如果后面为条件，那么后面为结论．【解答】解：等角的补角相等的条件是两个角分别是某两个相等角的补角，结论为这两个角相等．故答案为两个角分别是某两个相等角的补角，这两个角相等．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．12．“同位角相等”的逆命题是　相等的角是同位角　．【分析】“同位角相等”的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．【解答】解：“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．故答案为：相等的角是同位角．【点评】本题考查了逆命题，关键找出题设和结论部分，然后交换题设和结论即为逆命题．13．命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是　两条直线平行于同一条直线　，结论是　这两条直线平行　．【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是“题设”，“那么”后面的内容是“结论”．【解答】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行．【点评】解决本题的关键是理解命题的题设和结论的定义．题设是命题的条件部分，结论是由条件得到的结论．14．用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，若小亮取a＝3，则b＝　﹣4（答案不唯一）　．【分析】举出一个反例：a＝3，b＝﹣4，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可．【解答】解：当a＝3，b＝﹣4时，满足a＞b，但是a2＜b2，∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．故答案为：﹣4（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．15．要通过“举反例”的方法说明命题“因为3＜5，所以3m＜5m”是错误的，可以举的m值为 　﹣2（答案不唯一）．　．（写出一个即可）【分析】根据不等式的性质分别举出m的值即可．【解答】解：当m＜0时满足3＜5，且3m＞5m，如m＝﹣2时，3×（﹣2）＜5×（﹣2）是错误的，故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．三．解答题（共7小题）16．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．（1）这三个命题中，真命题的个数为 　3　；（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）如图，已知 　①∠1＝∠2，②∠C＝∠D　，求证：　③∠A＝∠F　证明：　∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠2（等量代换），∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），∵∠C＝∠D（已知），∴∠4＝∠C（等量代换），∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．　【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；（2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论．【解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，故答案为3（2）如图所示：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠2（等量代换），∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），∵∠C＝∠D（已知），∴∠4＝∠C（等量代换），∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．证明步骤同上．故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．17．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B+∠F＝180°．（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．【解答】（1）证明：∵∠B+∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B+∠F＝180°；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．18．给出：①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF，从中选择两个填在下面的文字“且”之后，再将剩余的一个作为结论填在“则”后面，构成一个命题．判断命题是否正确，并说明理由．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且　BE平分∠ABC，CD⊥AB　，则　∠CFE＝∠CEF　．【分析】根据题意写出已知和求证，根据角平分线的定义、直角三角形的性质证明即可．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且BE平分∠ABC，CD⊥AB，则∠CFE＝∠CEF，证明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEF＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABE+∠BFD＝90°，∴∠CEF＝∠BFD，∵∠CFE＝∠BFD，∴∠CFE＝∠CEF．故答案为：BE平分∠ABC，CD⊥AB；∠CFE＝∠CEF．【点评】本题考查的是命题和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．19．已知，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．（1）如图1，AB∥EF，BC∥ED，∠1与∠2的关系是 　∠1＝∠2　．证明：（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 　∠1+∠2＝180°　．证明：（3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是 　如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补　．【分析】（1）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2＝∠3，则∠1＝∠2；（2）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，所以∠1+∠2＝180°；（3）由（1）和（2）的结论进行回答．【解答】解：（1）∠1＝∠2．证明如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵BE∥DF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）∠1+∠2＝180°．证明如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵BE∥DF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．20．如图，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2＝90°，④DE平分∠BDC．（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．【分析】（1）根据命题的概念写出一个命题；（2）根据角平分线的定义、平行线的判定定理证明结论．【解答】解：（1）如果BE平分∠ABD，∠1+∠2＝90°，DE平分∠BDC，那么AB∥CD；（2）这个命题是真命题，理由如下：∵BE平分∠ABD，∴∠1∠ABD，∵DE平分∠BDC，∴∠2∠BDC，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定、角平分线的定义，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键．21．下面的判断是否正确，为什么？（1）对于所有的自然数n，n2的末位数都不是2．（2）当n＝0，1，2，3，4，5时，n2+n的值是偶数吗？你能否得到结论：对于所有的自然数n，n2+n的值都是偶数．【分析】（1）根据0到9的数的平方的末位数只能为0，1，4，5，6，9进行判断；（2）由于为n2+n＝n（n+1），则可根据任意两个连续自然数的积为偶数进行判断．【解答】解：（1）正确．因为对于0到9的数的平方的末位数只能为0，1，4，5，6，9，所以对于所有的自然数n，n2的末位数都不是2． （2）正确．因为n2+n＝n（n+1），即n2+n的值为任意两个连续自然数的积，所以n2+n的值都是偶数．【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．22．如图所示：（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．【分析】（1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案；（2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥BC（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴∠2＝∠3，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BFG＝∠FDC＝90°（两直线平行，同位角相等）∴FG⊥AB（垂直定义）； （2）解：是真命题．理由：∵FG⊥AB（已知），∴∠BFG＝90°＝∠FDC，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确掌握相关判定与性质是解题关键．