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期中测试卷 -七年级数学下册单元复习过过过（苏科版）（原卷+解析）
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这是一份期中测试卷 -七年级数学下册单元复习过过过（苏科版）（原卷+解析），文件包含期中测试卷-2021-2022学年七年级数学下册单元复习过过过苏科版解析版docx、期中测试卷-2021-2022学年七年级数学下册单元复习过过过苏科版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
期中试卷
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）将原图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．
【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，
将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，
其它三项皆改变了方向，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a3﹣a＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
【解答】解：A、a3和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
B、a2•a3＝a5，故原题计算错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原题计算错误；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故原题计算正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
3．（2分）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）计算结果等于（ ）
A．1 B．316﹣216 C．332+232 D．332﹣232
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（3﹣2）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（32﹣22）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（34﹣24）×（34+24）×（38+28）
＝（38﹣28）×（38+28）
＝316﹣216．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
4．（2分）如图，平面内两直线a和b被第三条直线l所截，在下列条件中，能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠4＝∠8 D．∠4+∠7＝180°
【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析判断即可得解．
【解答】解：A．∠1＝∠2，不能判断a∥b，故A不符合题意；
B．∠3＝∠5，不能判断a∥b，故B不符合题意；
C．由∠4＝∠8，由同位角相等，两直线平行，可判断a∥b，故C符合题意；
D．∠4+∠7＝180°，不能判断a∥b，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5．（2分）小芳有两根长度为4cm和8cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm
【分析】设第三根木条的长度我xcm，利用三角形的三边关系可得8﹣4＜x＜8+4，再解不等式，进而可得答案．
【解答】解：设第三根木条的长度我xcm，由题意得：
8﹣4＜x＜8+4，
解得：4＜x＜12，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
6．（2分）下列变形是因式分解的是（ ）
A．7a（a﹣3）＝7a2﹣21a
B．a2b﹣5ab+9b＝ab（a﹣5）+9b
C．3a2﹣3b+6＝3（a2﹣b+2）
D．﹣x2+y2＝y2﹣x2
【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故A不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B不符合题意；
C、3a2﹣3b+6＝3（a2﹣b+2），故C符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
7．（2分）已知a＝2﹣2，b＝（π﹣2）0，c＝（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂及乘方运算法则计算出a、b、c的值，再比较大小即可得．
【解答】解：∵a＝2﹣2=14，b＝（π﹣2）0＝1，c＝（﹣1）3＝﹣1，
∴c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）及a0＝1（a≠0）．
8．（2分）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由平角等于180°可求出∠3的度数，由直尺的上下两边平行可求出∠4的度数，再结合∠1＝45°﹣∠4，即可求出∠1的度数．
【解答】解：如图，给各角标上序号．
∵∠2+90°+∠3＝180°，∠2＝60°，
∴∠3＝30°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠4＝∠3＝30°，
∴∠1＝45°﹣∠4＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，内错角相等”找出∠4＝∠3是解题的关键．
9．（2分）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（ ）
A．π B．1.5π C．2π D．2.5π
【分析】圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．
【解答】解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是(5-2)×180π360=1.5π
故选：B．
【点评】解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
10．（2分）有5根木条，长度分别是3cm、3cm、4cm、4cm、7cm，每根木条距两端1cm处各穿有一小孔，可用针插入小孔将2根木条连接起来，如果要从中取3根木条并用针将它们首尾相连构成三角形，那么可以连成形状、大小互不相同的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出线段的长度，能组成10种情况，根据三角形三边关系定理符合条件的只有一种．
【解答】解：3cm﹣1cm﹣1cm＝1cm，4cm﹣1cm﹣1cm＝2cm，7cm﹣1cm﹣1cm＝5cm，
共有（1cm，1cm，2cm），（1cm，1cm，2cm），（1cm，1cm，5cm），（1cm，2cm，2cm），（1cm，2cm，5cm），（1cm，2cm，5cm），（1cm，2m，2cm），（1cm，2cm，5cm），（1cm，2cm，5cm），（2cm，2cm，5cm），
只有1cm，2cm，2cm和1cm，2cm，2cm能组成三角形，符合三角形三边关系定理，有2个，
但是可以连成形状、大小互不相同的三角形的个数是1个，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．（2分）若2x＝3，2y＝5，则23x﹣2y＝ 2725 ．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，
∴23x﹣2y＝23x÷22y＝（2x）3÷（2y）2＝33÷52=2725．
故答案为：2725．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
12．（2分）（1）为响应习近平总书记“坚决打嬴关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为 7×10﹣9 m；
（2）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 1.48×10﹣10 ；
（3）已知1nm＝10﹣9m，将0.00305nm用科学记数法表示为 3.05×10﹣12 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：（1）7nm＝7×10﹣9m．
故答案为：7×10﹣9；
（2）0.000000000148＝1.48×10﹣10．
故答案为：1.48×10﹣10；
（3）0.00305nm＝0.00305×10﹣9m＝3.05×10﹣12m．
故答案为：3.05×10﹣12．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（2分）已知10m＝2，10n＝3，则103m﹣2n＝ 89 ．
【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算可求结论．
【解答】解：103m﹣2n＝103m÷102n＝（10m）3÷（10n）2＝23÷32=89．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方．利用上述法则的逆运算和整体代入的方法可使运算简便．
14．（2分）已知实数a，b满足ab﹣3＝0，a+b＝4，则a﹣b＝ ±2 ．
【分析】先由ab﹣3＝0解得ab＝3；再通过（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab得出（a﹣b）2，再分析结果即可．
【解答】解：∵ab﹣3＝0；
∴ab＝3；
∵a+b＝4；
∴（a+b）2＝16；
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
即（a﹣b）2＝16﹣4×3＝4；
∴a﹣b＝2或﹣2．
【点评】本题的解题关键在于要弄明白两个完全平方公式之间的转化关系，并且要注意最终结果有两个，不要遗漏．
15．（2分）一个正多边形的内角和等于1440°，则此多边形是 10 边形，它的每一个外角是 36° ．
【分析】先设该多边形是n边形，根据多边形内角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是360°，利用360除以边数可得外角度数．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝1440°，
解得n＝10．
外角：360÷10＝36，
故答案为：10；36°．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，关键是根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和都是360°进行解答．
16．（2分）如图所示，△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为△DEF，找出图中存在的平行且相等的三条线段是 AD∥CF，AD＝CF＝BE ．
【分析】找准对应点，根据平移的性质可得出平行且相等的线段
【解答】解：如题图可知，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，
所以AD∥CF，AD＝CF＝BE．
故答案为：AD∥CF，AD＝CF＝BE．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是能够找准对应点，难度不大．
17．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折，得△GEF，若EG∥AD，FG∥DC，则∠D＝ 95 °．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝80°，∠FNB＝70°，再利用翻折变换的性质得出∠GEF＝∠BEF＝50°，∠GFE＝∠EFB＝35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．
【解答】解：∵EG∥AD，FG∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BEG＝100°，∠GFB＝70°，
∵将△BEF沿EF翻折，得△GEF，
∴∠GEF＝∠BEF＝50°，∠GFE＝∠EFB＝35°，
∴∠B＝∠G＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．
故答案为：95．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，能够得出∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠EFB是解题关键．
18．（2分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记△BOE的面积为S1，四边形CDOE的面积为S2，则S1S2= 17 ．
【分析】过点O作OG∥BC，得到OG是△AEC的中位线，AD：DC＝1：2，得到AD＝DG＝GC，从而AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，△AOB面积：△BOE面积＝2，所以△AOB面积＝2S1，△AOD面积＝2S1，△ABD的面积＝4S1，所以△BDC的面积＝8S1，四边形CDOE的面积为7S1，S1：S2＝1：7．
【解答】解： 过点O作OG∥BC，如图，
∵O是BD的中点，
∴OG是△BCD的中位线，
∵AD：DC＝1：2，
∴AD＝DG＝GC，
∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，
∴S△AOB：S△BOE＝2：1，
∴S△AOB＝2S1，
∴S△AOD＝2S1，S△ABD＝4S1，
∴S△BDC＝8S1，
∴S四边形CDOE＝7S1，
∴S1S2=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形的面积，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（12）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算；
（2）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4+1×3
＝1﹣4+3
＝0；
（2）原式＝8x6y3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）
＝﹣56x7y5÷（14x4y3）
＝﹣4x3y2．
【点评】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
20．（6分）分解因式：
（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）．
【分析】（1）直接提取公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接将原式变形，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b
＝3ab（b2﹣10ab+25a2）
＝3ab（b﹣5a）2；
（2）原式＝a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）+x（x﹣4），其中x＝3．
【分析】先利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则化简整式，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣2（x2﹣9）+x2﹣4x
＝x2﹣2x+1﹣2x2+18+x2﹣4x
＝﹣6x+19．
当 x＝3 时，
原式＝﹣18+19
＝1．
【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则，掌握整式的运算公式和法则并熟练运用，是解决本题的关键．
22．（6分）在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，
（1）请你作出平移后的图形△DEF；
（2）请求出△DEF的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△DEF即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由图可知，S△DEF＝3×4-12×2×4-12×2×3-12×2×1
＝12﹣4﹣3﹣1
＝4．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
23．（8分）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．
【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠1+∠3＝90°，再根据角平分线的定义，即可得到∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，进而得出AB∥CD；
（2）依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠DHG＝180°﹣60°＝120°，再根据HP平分∠GHD，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠GPH＝90°，
∴△GHP中，∠1+∠3＝90°，
又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，
∴∠BGH＝2∠1，∠DHG＝2∠3，
∴∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵∠BGH＝∠AGE＝60°，
∴∠DHG＝180°﹣60°＝120°，
又∵HP平分∠GHD，
∴∠4=12∠DHG=12×120°＝60°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
24．（10分）阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
x2﹣10x+30＝x2﹣10x+25+5＝（x2﹣10x+25）+5＝（x﹣5）2+5，因为（x﹣5）2≥0，即（x﹣5）2的最小值是0，所以x2﹣10x+30的最小值是5．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5；
（2）求a2+2a+2021的最小值；
（3）求﹣x2+2x+2019的最大值．
【分析】（1）根据阅读材料，先将x2﹣4x﹣5变形为x2﹣4x+4﹣9，再根据完全平方公式写成（x﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a2+2a+2021转化为（a+1）2+2020，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式﹣x2+2x+2019转化为﹣（x﹣1）2+2020，然后利用非负数的性质进行解答．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+4﹣9
＝（x﹣2）2﹣32
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5）；
（2）a2+2a+2021＝a2+2a+1+2020＝（a+1）2+2020，
∵（a+1）2≥0，
即（a+1）2的最小值是0，
∴a2+2a+2021的最小值是2020；
（3）﹣x2+2x+2019＝﹣（x2﹣2x）+2019＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2019＝﹣（x﹣1）2+2020，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
即﹣（x﹣1）2的最大值是0，
∴﹣x2+2x+2019的最大值是2020．
【点评】本题考查了因式分解和配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
25．（10分）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：log24＝ 2 ；log216＝ 4 ；log264＝ 6 ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．
（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．
（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；
（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，
故答案为：2；4；6；
（2）∵4×16＝64，
∴log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝logaMN；
（4）设M＝am，N＝an，
∵logaam=m，logaan=n，
logaam+n=m+n，
∴logaam+logaan=logaam+n，
∴logaM+logaN=logaMN．
【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
26．（12分）【问题背景】如图1，在三角形ABC中，直线EF经过点A且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）．
①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE；
【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时，直接写出∠AGE＝ 120°+13α． ．
【分析】【问题背景】根据平行线的性质可得结论；
【尝试应用】①分两种情形，根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案；
【拓展创新】②由∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB可表示出∠AGE，再利用m+2n＝1经过整理可得结论．
【解答】解：【问题背景】∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【尝试应用】①当点E在点O的上方时，
∵α＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°．
当点E在点O的下方时，如图2﹣1中，可得∠AGE＝180°﹣（∠GAE+∠GEA）＝180°-12（∠OAE+∠OEA）＝120°
综上所述，∠AGE＝60°或120°．
【拓展创新】②由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°﹣α+∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m﹣1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n=13时，∠AGE为定值，
∠AGE=13（180°﹣α）＝60°-13α．
当点E在线段CO的延长线上时，
若AG与EF在直线AE异侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m+1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，且m、n均为正数，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（n﹣1）∠EAB，
当n﹣1＝0时，即n＝1时，1﹣2n＝﹣1，故舍去．
若AG与EF在直线AE同侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由三角形内角和可得：
∠AEF＝180°﹣∠EAG﹣∠AGE，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝α﹣∠AGE+（1﹣m）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（α﹣180°）+180°+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n=13时，∠AGE为定值，
∠AGE=13（α﹣180°）+180°＝120°+13α．
故答案为：120°+13α．
【点评】本题考查三角形的内角和与角平分线的定义，熟练的掌握三角形的内角和定理是解题关键．
期中试卷
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）将原图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．
【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，
将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是C，
其它三项皆改变了方向，故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．a3﹣a＝a2 B．a2•a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
【解答】解：A、a3和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
B、a2•a3＝a5，故原题计算错误；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故原题计算错误；
D、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故原题计算正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方，关键是掌握各计算法则．
3．（2分）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）计算结果等于（ ）
A．1 B．316﹣216 C．332+232 D．332﹣232
【分析】根据平方差公式解答即可．
【解答】解：（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（3﹣2）（3+2）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（32﹣22）×（32+22）×（34+24）×（38+28）
＝（34﹣24）×（34+24）×（38+28）
＝（38﹣28）×（38+28）
＝316﹣216．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．
4．（2分）如图，平面内两直线a和b被第三条直线l所截，在下列条件中，能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠4＝∠8 D．∠4+∠7＝180°
【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析判断即可得解．
【解答】解：A．∠1＝∠2，不能判断a∥b，故A不符合题意；
B．∠3＝∠5，不能判断a∥b，故B不符合题意；
C．由∠4＝∠8，由同位角相等，两直线平行，可判断a∥b，故C符合题意；
D．∠4+∠7＝180°，不能判断a∥b，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
5．（2分）小芳有两根长度为4cm和8cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm
【分析】设第三根木条的长度我xcm，利用三角形的三边关系可得8﹣4＜x＜8+4，再解不等式，进而可得答案．
【解答】解：设第三根木条的长度我xcm，由题意得：
8﹣4＜x＜8+4，
解得：4＜x＜12，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
6．（2分）下列变形是因式分解的是（ ）
A．7a（a﹣3）＝7a2﹣21a
B．a2b﹣5ab+9b＝ab（a﹣5）+9b
C．3a2﹣3b+6＝3（a2﹣b+2）
D．﹣x2+y2＝y2﹣x2
【分析】因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【解答】解：A、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故A不符合题意；
B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B不符合题意；
C、3a2﹣3b+6＝3（a2﹣b+2），故C符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
7．（2分）已知a＝2﹣2，b＝（π﹣2）0，c＝（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂及乘方运算法则计算出a、b、c的值，再比较大小即可得．
【解答】解：∵a＝2﹣2=14，b＝（π﹣2）0＝1，c＝（﹣1）3＝﹣1，
∴c＜a＜b，
故选：C．
【点评】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握a﹣p=1ap（a≠0，p为正整数）及a0＝1（a≠0）．
8．（2分）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】由平角等于180°可求出∠3的度数，由直尺的上下两边平行可求出∠4的度数，再结合∠1＝45°﹣∠4，即可求出∠1的度数．
【解答】解：如图，给各角标上序号．
∵∠2+90°+∠3＝180°，∠2＝60°，
∴∠3＝30°．
∵直尺的上下两边平行，
∴∠4＝∠3＝30°，
∴∠1＝45°﹣∠4＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形以及平行线的性质，利用“两直线平行，内错角相等”找出∠4＝∠3是解题的关键．
9．（2分）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E互相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积是（ ）
A．π B．1.5π C．2π D．2.5π
【分析】圆心角之和等于五边形的内角和，由于半径相同，那么根据扇形的面积2公式计算即可．
【解答】解：图中五个扇形（阴影部分）的面积是(5-2)×180π360=1.5π
故选：B．
【点评】解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求，圆心角为五边形的内角和．
10．（2分）有5根木条，长度分别是3cm、3cm、4cm、4cm、7cm，每根木条距两端1cm处各穿有一小孔，可用针插入小孔将2根木条连接起来，如果要从中取3根木条并用针将它们首尾相连构成三角形，那么可以连成形状、大小互不相同的三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出线段的长度，能组成10种情况，根据三角形三边关系定理符合条件的只有一种．
【解答】解：3cm﹣1cm﹣1cm＝1cm，4cm﹣1cm﹣1cm＝2cm，7cm﹣1cm﹣1cm＝5cm，
共有（1cm，1cm，2cm），（1cm，1cm，2cm），（1cm，1cm，5cm），（1cm，2cm，2cm），（1cm，2cm，5cm），（1cm，2cm，5cm），（1cm，2m，2cm），（1cm，2cm，5cm），（1cm，2cm，5cm），（2cm，2cm，5cm），
只有1cm，2cm，2cm和1cm，2cm，2cm能组成三角形，符合三角形三边关系定理，有2个，
但是可以连成形状、大小互不相同的三角形的个数是1个，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．（2分）若2x＝3，2y＝5，则23x﹣2y＝ 2725 ．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，
∴23x﹣2y＝23x÷22y＝（2x）3÷（2y）2＝33÷52=2725．
故答案为：2725．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
12．（2分）（1）为响应习近平总书记“坚决打嬴关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为 7×10﹣9 m；
（2）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 1.48×10﹣10 ；
（3）已知1nm＝10﹣9m，将0.00305nm用科学记数法表示为 3.05×10﹣12 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：（1）7nm＝7×10﹣9m．
故答案为：7×10﹣9；
（2）0.000000000148＝1.48×10﹣10．
故答案为：1.48×10﹣10；
（3）0.00305nm＝0.00305×10﹣9m＝3.05×10﹣12m．
故答案为：3.05×10﹣12．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（2分）已知10m＝2，10n＝3，则103m﹣2n＝ 89 ．
【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算可求结论．
【解答】解：103m﹣2n＝103m÷102n＝（10m）3÷（10n）2＝23÷32=89．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方．利用上述法则的逆运算和整体代入的方法可使运算简便．
14．（2分）已知实数a，b满足ab﹣3＝0，a+b＝4，则a﹣b＝ ±2 ．
【分析】先由ab﹣3＝0解得ab＝3；再通过（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab得出（a﹣b）2，再分析结果即可．
【解答】解：∵ab﹣3＝0；
∴ab＝3；
∵a+b＝4；
∴（a+b）2＝16；
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
即（a﹣b）2＝16﹣4×3＝4；
∴a﹣b＝2或﹣2．
【点评】本题的解题关键在于要弄明白两个完全平方公式之间的转化关系，并且要注意最终结果有两个，不要遗漏．
15．（2分）一个正多边形的内角和等于1440°，则此多边形是 10 边形，它的每一个外角是 36° ．
【分析】先设该多边形是n边形，根据多边形内角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是360°，利用360除以边数可得外角度数．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝1440°，
解得n＝10．
外角：360÷10＝36，
故答案为：10；36°．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，关键是根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和都是360°进行解答．
16．（2分）如图所示，△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为△DEF，找出图中存在的平行且相等的三条线段是 AD∥CF，AD＝CF＝BE ．
【分析】找准对应点，根据平移的性质可得出平行且相等的线段
【解答】解：如题图可知，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，
所以AD∥CF，AD＝CF＝BE．
故答案为：AD∥CF，AD＝CF＝BE．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是能够找准对应点，难度不大．
17．（2分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折，得△GEF，若EG∥AD，FG∥DC，则∠D＝ 95 °．
【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝80°，∠FNB＝70°，再利用翻折变换的性质得出∠GEF＝∠BEF＝50°，∠GFE＝∠EFB＝35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．
【解答】解：∵EG∥AD，FG∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，
∴∠BEG＝100°，∠GFB＝70°，
∵将△BEF沿EF翻折，得△GEF，
∴∠GEF＝∠BEF＝50°，∠GFE＝∠EFB＝35°，
∴∠B＝∠G＝180°﹣50°﹣35°＝95°，
∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．
故答案为：95．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，能够得出∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠EFB是解题关键．
18．（2分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记△BOE的面积为S1，四边形CDOE的面积为S2，则S1S2= 17 ．
【分析】过点O作OG∥BC，得到OG是△AEC的中位线，AD：DC＝1：2，得到AD＝DG＝GC，从而AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，△AOB面积：△BOE面积＝2，所以△AOB面积＝2S1，△AOD面积＝2S1，△ABD的面积＝4S1，所以△BDC的面积＝8S1，四边形CDOE的面积为7S1，S1：S2＝1：7．
【解答】解： 过点O作OG∥BC，如图，
∵O是BD的中点，
∴OG是△BCD的中位线，
∵AD：DC＝1：2，
∴AD＝DG＝GC，
∴AG：GC＝2：1，AO：OE＝2：1，
∴S△AOB：S△BOE＝2：1，
∴S△AOB＝2S1，
∴S△AOD＝2S1，S△ABD＝4S1，
∴S△BDC＝8S1，
∴S四边形CDOE＝7S1，
∴S1S2=17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形的面积，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
三．解答题（共8小题，满分64分）
19．（6分）计算：
（1）（3.14﹣π）0﹣（12）﹣2﹣（﹣1）2021×|﹣3|；
（2）（2x2y）3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）．
【分析】（1）实数的混合运算，先分别化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算；
（2）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4+1×3
＝1﹣4+3
＝0；
（2）原式＝8x6y3•（﹣7xy2）÷（14x4y3）
＝﹣56x7y5÷（14x4y3）
＝﹣4x3y2．
【点评】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
20．（6分）分解因式：
（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）．
【分析】（1）直接提取公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接将原式变形，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b
＝3ab（b2﹣10ab+25a2）
＝3ab（b﹣5a）2；
（2）原式＝a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．
21．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣2（x+3）（x﹣3）+x（x﹣4），其中x＝3．
【分析】先利用完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则化简整式，再代入求值即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣2（x2﹣9）+x2﹣4x
＝x2﹣2x+1﹣2x2+18+x2﹣4x
＝﹣6x+19．
当 x＝3 时，
原式＝﹣18+19
＝1．
【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式法则，掌握整式的运算公式和法则并熟练运用，是解决本题的关键．
22．（6分）在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，
（1）请你作出平移后的图形△DEF；
（2）请求出△DEF的面积．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出△DEF即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由图可知，S△DEF＝3×4-12×2×4-12×2×3-12×2×1
＝12﹣4﹣3﹣1
＝4．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
23．（8分）已知，GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，∠GPH＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE＝60°，求∠4的度数．
【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠1+∠3＝90°，再根据角平分线的定义，即可得到∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，进而得出AB∥CD；
（2）依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠DHG＝180°﹣60°＝120°，再根据HP平分∠GHD，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠GPH＝90°，
∴△GHP中，∠1+∠3＝90°，
又∵GP平分∠BGH，HP平分∠GHD，
∴∠BGH＝2∠1，∠DHG＝2∠3，
∴∠BGH+∠DHG＝2（∠1+∠3）＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵∠BGH＝∠AGE＝60°，
∴∠DHG＝180°﹣60°＝120°，
又∵HP平分∠GHD，
∴∠4=12∠DHG=12×120°＝60°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
24．（10分）阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
x2﹣10x+30＝x2﹣10x+25+5＝（x2﹣10x+25）+5＝（x﹣5）2+5，因为（x﹣5）2≥0，即（x﹣5）2的最小值是0，所以x2﹣10x+30的最小值是5．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5；
（2）求a2+2a+2021的最小值；
（3）求﹣x2+2x+2019的最大值．
【分析】（1）根据阅读材料，先将x2﹣4x﹣5变形为x2﹣4x+4﹣9，再根据完全平方公式写成（x﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a2+2a+2021转化为（a+1）2+2020，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式﹣x2+2x+2019转化为﹣（x﹣1）2+2020，然后利用非负数的性质进行解答．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+4﹣9
＝（x﹣2）2﹣32
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5）；
（2）a2+2a+2021＝a2+2a+1+2020＝（a+1）2+2020，
∵（a+1）2≥0，
即（a+1）2的最小值是0，
∴a2+2a+2021的最小值是2020；
（3）﹣x2+2x+2019＝﹣（x2﹣2x）+2019＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2019＝﹣（x﹣1）2+2020，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
即﹣（x﹣1）2的最大值是0，
∴﹣x2+2x+2019的最大值是2020．
【点评】本题考查了因式分解和配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
25．（10分）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：log24＝ 2 ；log216＝ 4 ；log264＝ 6 ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．
（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．
（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；
（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．
【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，
故答案为：2；4；6；
（2）∵4×16＝64，
∴log24+log216＝log264；
（3）logaM+logaN＝logaMN；
（4）设M＝am，N＝an，
∵logaam=m，logaan=n，
logaam+n=m+n，
∴logaam+logaan=logaam+n，
∴logaM+logaN=logaMN．
【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
26．（12分）【问题背景】如图1，在三角形ABC中，直线EF经过点A且EF∥BC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°；
【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）．
①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE；
【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时，直接写出∠AGE＝ 120°+13α． ．
【分析】【问题背景】根据平行线的性质可得结论；
【尝试应用】①分两种情形，根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案；
【拓展创新】②由∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB可表示出∠AGE，再利用m+2n＝1经过整理可得结论．
【解答】解：【问题背景】∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
【尝试应用】①当点E在点O的上方时，
∵α＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，
∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3，
由三角形外角的性质可得：
∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE，
∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°．
当点E在点O的下方时，如图2﹣1中，可得∠AGE＝180°﹣（∠GAE+∠GEA）＝180°-12（∠OAE+∠OEA）＝120°
综上所述，∠AGE＝60°或120°．
【拓展创新】②由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°﹣α+∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m﹣1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n=13时，∠AGE为定值，
∠AGE=13（180°﹣α）＝60°-13α．
当点E在线段CO的延长线上时，
若AG与EF在直线AE异侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由外角的性质可得：
∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m+1）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，且m、n均为正数，
∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（n﹣1）∠EAB，
当n﹣1＝0时，即n＝1时，1﹣2n＝﹣1，故舍去．
若AG与EF在直线AE同侧，如图：
由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α，
由三角形内角和可得：
∠AEF＝180°﹣∠EAG﹣∠AGE，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB，
∴（n﹣1）∠AEC＝α﹣∠AGE+（1﹣m）∠EAB，
∵m+2n＝1，
∴m＝1﹣2n，
∴∠AGE＝n（α﹣180°）+180°+（3n﹣1）∠EAB，
当3n﹣1＝0时，即n=13时，∠AGE为定值，
∠AGE=13（α﹣180°）+180°＝120°+13α．
故答案为：120°+13α．
【点评】本题考查三角形的内角和与角平分线的定义，熟练的掌握三角形的内角和定理是解题关键．
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