专题01 【大题限时练一】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

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专题01 大题限时练一1．从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．已知点在内，，，，，若_____，求的面积．【答案】【解析】选择条件①：，且，，或，当时，，由余弦定理知，，，解得，无法构成或，不符合题意，当时，，由余弦定理知，，，解得，，，，．选择条件②：，，即，，，，或，当时，，由余弦定理知，，，解得，无法构成或，不符合题意，当时，，由余弦定理知，，，解得，，，，．选择条件③：，即，，在中，由余弦定理得，，，在中，由余弦定理知，，，，．2．已知数列的通项公式为，数列的首项为．（1）若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；（2）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）【解析】证明：（1）由于数列的首项为，公差为3的等差数列，所以；数列的通项公式为，所以（常数），故数列也是等差数列；解：（2）由于数列的通项公式为，数列的首项为，是公比为2的等比数列；所以，故，由于，所以，整理得；所以．3．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，，．（1）求证：平面平面；（2）求平面和平面所成锐二面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：取的中点为，连接，，则在等边中，，又，，，面，平面，平面，，又，，，，，，即，又，，平面，平面，在平面上，面面．（2）以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，，，2，，由（1）知平面的法向量为，0，，，，设平面的法向量，，，则，取，得，0，，设平面和平面所成锐二面角的平面角为，则平面和平面所成锐二面角的余弦值为，平面和平面所成锐二面角的大小为．4．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元．（1）①写出的分布列；②证明：；（2）某公司意向投资该产品．若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由．【答案】见解析【解析】（1）①由题意可得，，2，3，，10，故，，2，，9，，故的分布列如下：12345678910②证明：，记，，两式作差可得，，故，即得证．（2）由（1）可知，，故试验成本的期望小于，又获利大于成本的期望，则应该投资．5．已知曲线由和两部分组成，所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，，右焦点为，与轴相交于点，四边形的面积为．（1）求，的值；（2）若直线与相交于，两点，，点在上，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）2【解析】（1）由题意知；（2）设，，，，①当斜率存在时，设直线的方程为，，△，且或，，计算可得，故原点到直线的距离，当时，即时取等号，故原点到直线的距离的最大值为1，则点到直线的距离，故，面积最大值2；②当斜率不存在时，，，此时．综上：面积的最大值为2．6．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，则，所以（1），（1），所以切线方程为：；（2）当时，，设，，令，得，所以在上是减函数，令，得，所以在上是增函数，所以（1），，又因为，，所以，所以，所以符合题意，当时，函数，设，则，所以在，上是增函数，又因为，且（a），且函数在，上图像是不间断的，所以存在，使得，所以，所以，当时，，所以在，上是减函数，当时，，，所以在，上是增函数，所以的最小值为，又因为，所以，解得，所以，综上，实数的取值范围为