专题05 【大题限时练五】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

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专题05 大题限时练五 1．在中，记角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可得，由于，可得，即为，因为，所以，即；（2），即，则，且为锐角，由，可得，由，可得，则，即，在中，由正弦定理可得，则．2．已知数列的前项和为，．从下面①②③中选取两个作为条件，剩下一个作为结论．如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由．①；②为等差数列；③．【答案】见解析【解析】选①②作为条件，③作为结论，由，所以，则有，，所以可知，则有，得，故可知，又符合，所以，则有；选①③作为条件，②作为结论，则，由，当为奇数，，当为偶数，，故，，，，是以公差为，首项为1的等差数列；选②③作为条件，①作为结论， 为等差数列，，即，，，，．3．如图，在直四棱柱中，，，，．点在棱上，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置．【答案】（1）见解析；（2）为棱的中点【解析】（1）证明：在直四棱柱中中，平面，平面，，连接，，，，，，平面，，平面，平面，．（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，，，，，，平面的法向量为，0，，，，，，则，解得，则，0，，，，，，，，设，0，，，，，则，，，，，，，，解得，，，，0，，为棱的中点．4．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分．要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次．设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射击进行到击落飞机为止．假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立．（1）求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；（2）求击落飞机的命中次数的分布列和数学期望．【答案】见解析【解析】（1）设恰好第二次射击后击落飞机为事件是第一次末击中部分，在第二次击中部分的事件与两次都击中一部分的事件的和，它们互斥，所以．（2）依题意，的可能取值为1，2，3，4，的事件是射击一次击中部分的事件，，由（1）知，，的事件是前两次射击击中Ⅱ部分、Ⅲ部分各一次，第三次射击击中部分或Ⅱ部分的事件，与前两次射击击中Ⅲ部分，第三次射击击中部分或Ⅲ部分的事件的和，它们互斥，，的事件是前三次射击击中Ⅱ部分一次，Ⅲ部分两次，第四次射击的事件，，所以 的分布列为：1234的数学期望．5．已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）设，当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2），【解析】（1）因为，且仅有时，，故在单调递增；（2），得，令，其对称轴为，当时，即时，在上单调递增，且（1）恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，（1）恒成立，当时，即时，因为，且（1），所以存在，使得时，，所以在上恒成立，即在上单调递减，所以（1），不满足题意，综上所述，的取值范围是，．6．已知圆与圆外切，同时与圆内切．（1）说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；（2）设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于，两点，点是线段上任意一点（不包含端点），直线过点，且与曲线交于，两点，若为定值，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）解：设圆的半径为，由圆与圆外切，得：，由圆与圆内切，得：，故，则动点的轨迹是，为焦点，长轴长为8的椭圆，故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为．（2）证明：设，则，由得，，则，当直线的斜率不存在时，，此时，不为定值，故不合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，则，即，设，，，，由得：，则，所以，，，故，若为定值，则，解得，此时，代入得，故点是的中点，因此．