专题08 【大题限时练八】-备战2023年江苏高考数学满分限时题集

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专题08 大题限时练八 1．在中，角，，所对的边分别为，，，且，．若是的中点，且，求的面积．【答案】【解析】在中，由余弦定理可得，即，可得，，则为等腰直角三角形，由，可得，在中，，，由正弦定理可得，即，所以，所以的面积为．2．已知等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）在数列中的和之间插入个数，，，，，使，，，，，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前项和为，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等比数列的公比为，由①，②，得，，所以，因为，所以，故数列的通项公式为．（2）由题意知，数列的前21项为，，，，，，，，，，，，，即数列1，，2，，，4，，，，8，，，32，因为，，，，，，成等差数列，所以．3．某高校的入学面试中有编号为，，的3道试题，每位面试者依次作答这3道试题．面试共有3次机会，只要答对其中一道题面试即通过，无需继续答题，否则就作答下一题，直到3次答题机会全部用完．该校规定：答对题通过者得30分，答对题通过者得20分，答对题通过者得10分，未通过面试者得0分．若小明同学答对题的概率是，答对题的概率是，答对题的概率是，且各题作答相互独立．（1）求小明同学答题不超过2道的概率；（2）记小明同学得分为分，求的概率分布及数学期望．【答案】见解析【解析】（1）由题可知小明同学答题1道的概率为，小明同学答题2道的概率为，所以小明同学答题不超过2道的概率．（2）由题可知可取30，20，10，0，则，，，，的概率分布为：3020100．4．图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，，为的中点．将其沿，折起使得与重合，连结，，如图2． （1）证明：在图2中，，且，，，四点共面；（2）在图2中，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：取的中点，连接，，如图，因为矩形、为的中点．则，又因为为等边三角形，则，，，平面，则有平面，又平面，所以，矩形中，，平行四边形中，，因此，所以，，，四点共面；（2）由（1）知，，，则为二面角的平面角，，在平面内过作，有，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，0，，，，，，0，，，，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，则，，平面的一个法向量为，，，由，，，，，，，设直线与平面所成的角为，，，直线与平面所成角的正弦值．5．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右焦点到右准线的距离为．点是第一象限内的定点，点，是椭圆上两个不同的动点（均异于点，且直线，的倾斜角互补．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率，求点的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由椭圆的离心率，右焦点，右准线为，则，解得，，因此，所以椭圆的方程为：；（2）直线的斜率，设直线的方程为，，，，，，，联立方程组，，消去，整理得，所以，，由直线，的倾斜角互补．则，所以，所以，所以，因此，，所以，因为点在第一象限，所以，，所以，点的坐标．6．已知实数，函数，是自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）求证：存在极值点，并求的最小值．【答案】见解析【解析】（1）当时，，，令，解得：，令，解得，故在单调递减，在单调递增，所以函数的增区间为，减区间为；（2）证明：，，设，，，△，，，，，，不妨设，，由于的定义域为，，，使得为的极小值点，，，（a），，（a），，（a）在单调递增，在，单调递减，（a），，在单调递增，（e），（e），，综上，的最小值为．（2）另解：设，，，△，，，，，，不妨设，，由于的定义域为使得为的极小值点，又（e）故，又由（1）可知，当时，，故，（等号可以成立）所以的最小值为．