2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期10月联考（月考）数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省六校协作体高一上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合后可求.

【详解】，故，

故选：D

2．命题：“存在实数，使得”的否定形式是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即得.

【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以命题：“存在实数，使得”的否定形式是，.

故选：B.

3．命题：“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，，进而即得.

【详解】由题可知，，

所以，，又，

所以.

故选：B.

4．方程组，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求解方程组可得，代入求解即可.

【详解】由题意，将方程组的两式相加可得：，即，，

则.

故选：C

5．已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先把等式右边合并同类项，再根据等式恒成立对照列式即可求解．

【详解】解：，

对任意恒成立，

，

解得：，

∴ ，．

故选：A．

6．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由交集的概念求解

【详解】由得，当，时

若，可得满足条件的有，

故，

故选：D

7．已知关于的方程的两根为，，且两根的平方和比两根之积大40，则值为（    ）

A．或18 B．2或 C． D．

【答案】C

【分析】根据韦达定理列方程，结合判别式即得.

【详解】因为关于的方程的两根为，，

则，即，

，

因为，

所以，

所以，

即

解得或（舍），

所以.

故选：C.

8．对于任意两个数，（，），定义某种运算“”如下：

①当或时，；

②当或时，.

则集合的子集个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据新定义确定集合中元素个数后可得子集个数．

【详解】当都是偶数或都是奇数时，，则或或或或或或或或，

当是偶数，是奇数时，，或，

当是奇数，是偶数时，，或，

所以集合中含有13个元素，它的子集个数为．

故选：C

二、多选题

9．下列说法中，正确的是（    ）

A． B．“且”是“”的必要条件

C．“”是“”的充分条件 D．若，，则

【答案】AC

【分析】根据集合的关系可判断A，根据充分条件，必要条件的定义可判断BC，根据不等式的性质及作差法可判断D.

【详解】因为或，

所以，故A正确；

由“且”可推出“”，但由“”推不出“且”，

所以“且”是“”的充分不必要条件，故B错误；

由“”可推出“”，故“”是“”的充分条件，故C正确；

若，，，则，即，故D错误.

故选：AC.

10．下列命题中正确的是（    ）

A．当时，的最小值为2 B．当时，的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为3

【答案】ABD

【分析】利用均值不等式及其成立的条件可判断ABC，利用对勾函数的单调性可判断D.

【详解】对于A中，当时，，当且仅当时，等号成立，所以A正确；

对于B中，函数，当即时等号成立，所以B成立；

对于C中，当时，函数无最小值，所以C不正确；

对于D中，函数，

令，所以，由对勾函数的性质，在单调递增，可得其最小值为3，所以D正确．

故选：ABD.

11．，，且，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由不等式的性质判断选项ABD，利用基本不等式“1”的代换可判断C，进而可得解.

【详解】对于A，，，故A错误；

对于B，，，，，故B正确；

对于C，，，又，故等号不成立，所以，故C正确；

对于D，，且当时，，即，故D正确；

故选：BCD

12．设，关于，的方程组，下列命题中是真命题的是（    ）

A．存在，使得该方程组有无数组解； B．对任意，该方程组均有唯一一组解；

C．对任意，使得该方程组有无数组解； D．存在，该方程组均有唯一一组解.

【答案】AD

【分析】根据二元一次方程组有解的条件判断即可

【详解】A．二元一次方程组有无数组解的条件是两方程相同，

所以，此时方程为，使方程组有无数组解，故本选项符合题意；

B．把代入得：，

所以方程组要有唯一解必须满足，故本选项不符合题意；

C．由选项A可知，只有时，方程组才有无数组解，故本选项不符合题意；

D．由选项B可知，只要，也即存在a，使得方程组只有唯一解，故本选项符合题意．

故选：AD．

三、填空题

13．已知，，全集，则_________.（用区间表示）

【答案】

【分析】先求解二次不等式和绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集和补集运算计算即可.

【详解】由题意，，

，故，

则.

故答案为：

14．现在要用一段长为的篱笆，围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长.要使这个矩形菜园的面积最大，则面积的最大值为_________.

【答案】

【分析】设矩形菜园的长为，宽为，结合题干条件，面积，利用二次函数的性质求最大值即可.

【详解】由题意，设矩形菜园的长为，宽为，，

故，

矩形菜园的面积

为开口向下的二次函数，且对称轴为，

故当时，.

故答案为：

15．小李在阅读教材时，看到“任意有理数可以写成两个整数的比.即，，且使”.小李思考：整数和有限小数可化为分数，如：；；那么无限循环小数如何化成分数呢？小李想到如下方法：将化成分数，可设其小数部分为，即，两边同乘10可得到：，即，解方程可得，所以.应用小李的方法，则的分数形式的结果为_________.（化成最简分数，即分子分母的最大公约数为1）

【答案】

【分析】由题可得，进而可得，即得.

【详解】设的小数部分为，则，

两边同乘100可得，即，

所以，所以.

故答案为：.

四、双空题

16．已知关于的不等式的解集为且，则_________，的最小值为_________.

【答案】     2     4

【分析】由题可得，从而得出的关系，然后利用基本不等式即得.

【详解】因为关于的不等式的解集为，

所以，

所以，又，，

因为

当且仅当时取等号，

所以的最小值为

故答案为：2；.

五、解答题

17．集合，

(1)当时，求

(2)问题：已知      ，求的取值范围

从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）

①     ②      ③

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）化简集合，根据并集的定义求解；

（2）化简所选条件，结合集合的包含关系列不等式求的取值范围

【详解】(1)因为，所以

时，

所以

(2)选①：由题意，

时，解得；

时，，解得，

综上

选②：由题意，

时，解得；

时，，解得，

综上；

选③：时，解得；

时，，解得；

综上

18．已知集合，集合.

(1)当a=1时，求，；

(2)设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解.

(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.

【详解】(1)当a=1时，，，

所以，.

(2)因为a>0，则，由(1)知，，

因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有，解得，

所以实数a的取值范围是.

19．（1）求不等式的解集；

（2）求不等式的，（其中）的解集.

【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）由题可得，然后分，，讨论结合二次不等式的解法即得.

【详解】（1）由，可得，

所以，

解得且，

所以不等式的解集为；

（2）因为，，

，

当时，，所以，

即不等式的解集为；

当时，不等式的解集为R；

当时，由可得，

，，

所以不等式的解集为.

20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400；

(2)不能获利，至少需要补贴35000元.

【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；

(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.

【详解】(1)由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

(2)该单位每月的获利：

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

21．（1）已知，，，用反证法证明：、中至少有一个大于等于0；

（2）已知不等式对于，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用反证法进行证明；（2）利用分离参数法得到，令，得到，对任意恒成立，即可求解.

【详解】（1）假设a、b中没有一个大于等于0，即，，则有，

又，，，则，

这与假设所得结论矛盾，因此，假设不成立，

所以，a、b中至少有一个大于等于0.

（2）因为，所以由得，

令，由，得，即，则原式，对任意恒成立，

所以，又，所以.

22．已知关于的不等式的解集为；

（1）若，求的取值范围；

（2）若存在两个不相等负实数、，使得，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，满足：“对于任意，都有，对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【分析】（1）讨论二次项系数和不等于0两种情况，当不等式的解集为时，的取值范围；（2）根据不等式的解集形式可知，求的范围；（3）根据题意判断不等式的解集，讨论的情况，根据不等式的解集情况判断是否存在.

【详解】（1）当时，或

当时，恒成立，

当时，不恒成立，舍去，

当时，

解得 或，

综上可知或；

（2）根据不等式解集的形式可知或，

不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，

即有两个不相等的负根，

即 ，解得 ，

综上可知：；

（3）根据题意可知，得出解集，，

当时，解得或 ，

当时，恒成立，不满足条件，

当时，不等式的解集是，满足条件；

当时，此时一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；

当时，此时一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；

综上，满足条件的的值为3.

【点睛】本题考查了含有字母的不等式恒成立和解集形式的问题，前两问属于基础问题，意在考查分类讨论和转化，计算能力，第3问属于推理，判断，证明问题，关键是读懂题，根据解集满足的条件确定，.