北京市房山区2022届高三下学期二模数学试卷（原卷+解析）

这是一份北京市房山区2022届高三下学期二模数学试卷（原卷+解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
北京市房山区2022届高三下学期二模数学试卷 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B．C． D．2．双曲线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．3．已知，则（    ）A． B． C． D．4．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则(    )A． B． C． D．5．已知数列满足为其前n项和.若，则（    ）A．20 B．30 C．31 D．626．已知函数，则不等式的解集为(    )A． B．C． D．7．已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则(    )A． B． C．0 D．9．已知数列是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果，那么的最小值为（    ）A．13 B．14 C．17 D．1810．下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区营业收入占比净利润占比 该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过.其中正确结论的序号是（    ）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④ 二、填空题11．抛物线的准线方程为__________．12．复数满足，则__________．13．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.14．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.给出下列四个结论：①的最小正周期是；②在上有3个零点；③在上是增函数；④的最大值为.其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题15．在中，.(1)求；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.条件①：；条件②：；条件③：的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.16．如图，在四棱锥中，底面.在底面中，，，，.(1)求证：平面；(2)若平面与平面的夹角等于，求点B到平面的距离.17．北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率；(2)从参加体育实践活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，当m满足什么条件时，.（结论不要求证明）18．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数在上的最小值.19．已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)已知点，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线与椭圆C的另一个交点为Q.若的面积等于，求直线的斜率.20．已知数集具有性质P：对任意的，使得成立.(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；(2)已知，求证：；(3)若，求数集A中所有元素的和的最小值. 四、双空题21．已知圆和直线，则圆心坐标为___________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为___________.
参考答案：1．B【分析】求解，再求的交集和补集判断即可【详解】由题，，故 ，故选：B2．C【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可【详解】双曲线的焦点在轴上，坐标为，即故选：C3．A【分析】分别和特殊值0，1比较大小，即可判断.【详解】，，，所以.故选：A4．D【分析】根据cosα求出tanα，根据角的终边关于y轴对称可知．【详解】∵是第一象限角，∴，，∵角的终边关于y轴对称，∴．故选：D．5．C【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.【详解】因为，所以为等比数列，且，又，所以，则.故选：C.6．C【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．【详解】．故选：C﹒7．B【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.【详解】解：当直线，且，，则，或，与相交，故充分性不成立，当直线，且，时，，故必要性成立，所以，“”是“”的必要而不充分条件.故选：B8．C【分析】根据向量加法法则，，再利用数量积的运算法则计算即可.【详解】.故选：C.9．B【分析】根据题意可得，再结合为整数可求得，即可得解.【详解】解：在等差数列中，因为，则，即，故或或或或或或或，所以的最小值为14.故选：B.10．D【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断.【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错；生鲜区的净利润占比，故②正确；生鲜区的营业利润率为，故④正确；熟食区的营业利润率为；乳制品区的营业利润率为；其他区的营业利润率为；日用品区为，最高，故③正确．故选：D.11．【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线的准线方程是.【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.12．【详解】由题意得，∴．13．-2(答案不唯一，满足或即可)【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．【详解】y=x和y=的图象如图所示：∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，故当或时，函数在上不是增函数．故答案为：-2．14．②④【分析】对①，分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期；对②，直接求零点即可；对③④，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断【详解】对①，因为：，的最小正周期是，的最小正周期是，所以的最小正周期是，故①不正确；对②，即，即，故或，又，故，或，即在上有3个零点，故②正确；对③由题，，由，令得，，，当，，为增函数，当，，为减函数，当，，为增函数，所以在，上单调递增，在上为单调递减，故③不正确；由于，，所以的最大值为，所以④正确综上，②④正确故答案为：②④15．(1)(2)答案见解析 【分析】（1）方法一：根据正弦定理，结合内角和与两角和的正弦公式化简即可；方法二：利用余弦定理化简即可（2）选①则不合题意；选②：根据则可得，再根据两角和的正弦公式可得，再根据高计算即可；选③：根据面积公式可得，进而用余弦定理求得，再结合面积公式求解高即可【详解】（1）方法一：在中，因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因为，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）选条件②：由（1）知因为在中，，所以又，所以所以设边上高线的长为h，则.选条件③：因为所以，由余弦定理得所以.设边上高线的长为h，则16．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据几何关系证明，根据底面得，进而证明结论；（2）根据题意，两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，设，再根据坐标法求解即可.【详解】（1）证明：设中点为E，连接，易知为正方形，且所以，所以因为底面底面，所以又面，所以平面（2）解：因为底面，在正方形中所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系设则所以，设平面的法向量为，则即所以由（1）知，平面的法向量为因为平面与平面的夹角为，所以，解得设点B到平面的距离为d.则17．(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：(3) 【分析】（1）方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；（2）方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；方法二：根据二项分布的公式求解；（3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式，代入求解的范围即可（1）方法一：女生共有人，记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”由题意可知，因此所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为方法二：女生共有人，记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在”由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在所包含的基本事件共9个所以所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为（2）方法一：X的所有可能值为0，1，2，时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人.记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”.由题意知，事件C､D相互独立，且所以所以X的分布列为：X012P 故X的数学期望方法二：X的所有可能值为0，1，2，因为从参加体育活动时间在和的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故所以所以X的分布列为：X012P 故X的数学期望（3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：内初中生的总运动时间，内高中生的总运动时间，则由题，，又，，，由可得，当时成立，故的取值范围18．(1)(2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.【详解】（1）当时，所以.所以曲线在处的切线方程为：.（2）.①当时，.所以时，.所以在上是增函数.所以.②当时，令，解得（舍）1°当，即时，时，.所以在上是增函数.所以.2°当，即时，x-0+减函数极小值增函数 所以.3°当，即时，时，.所以在上是减函数.所以.综上，当时，；当时，.当时，.19．(1)椭圆，离心率；(2)或. 【分析】（1）根据题意得到，进而求出a，最后得到椭圆方程和离心率；（2）设出直线PM的方程并代入椭圆方程然后化简，再设出点M,Q的坐标，进而表达出面积，然后结合根与系数的关系求出答案.【详解】（1）由题设，得，则，所以椭圆C的方程为，离心率.（2）设直线的方程为，由得，解得.设，则，，即同号.根据椭圆的对称性知，，所以，整理得，解得，（满足）所以，或.【点睛】本题运算量较大，对于用“根与系数的关系”解决问题是个老套路，但本题对于面积的处理有一定的技巧，平常注意对此类题型的训练.20．(1)不具有性质P，具有性质P，理由见解析；(2)证明见解析；(3)75． 【分析】(1)对于，，故可判断它不具有性质P；对于可逐项验证2、3、6均满足对任意的，使得成立，故可判断它具有性质P；(2)根据题意可知，从而，故而可得，将这些式子累加即可得，从而可变形为要证的结论；(3)根据题中已知条件可得该数集，，从而可得该数集元素均为整数，再根据可构造一个满足性质P的数集或，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可．【详解】（1）∵，∴不具有性质P；∵，∴具有性质P；（2）∵集合具有性质P：即对任意的，使得成立，又∵，∴，∴，即，将上述不等式相加得，∴，由于，∴，∴；（3）最小值为75．首先注意到，根据性质P，得到，∴易知数集A的元素都是整数．构造或者，这两个集合具有性质P，此时元素和为75．下面，证明75是最小的和：假设数集，满足(存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)．第一步：首先说明集合中至少有7个元素：由(2)可知，…又，∴；∴；第二步：证明；若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质P，对，有，使得，显然，∴，而此时集合A中至少还有4个不同于的元素，从而，矛盾，∴，进而，且；同理可证：；(同理可以证明：若，则)．假设．∵，根据性质P，有，使得，显然，∴，而此时集合A中至少还有3个不同于的元素，从而，矛盾，∴，且；至此，我们得到了，根据性质P，有，使得，我们需要考虑如下几种情形：①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则；②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；③，此时集合的和最小，为75；④，此时集合的和最小，为75．【点睛】本题第二问考察对题设条件的理解，根据数集要满足性质P，得到其元素之间应该满足的大小关系，利用数列的累加法思想即可得数集的“前n项和”的范围；本题第三问采用枚举法即可证明，根据题设信息不断地确定数集A中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想．21．          ##【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线过定点，可知当时，圆心到距离最大，则.【详解】由圆的方程知：圆心坐标为；由直线方程知：恒过点，则，当时，圆心到距离最大，又圆的半径，.