天津市河西区2022届高三下学期三模数学试卷（原卷+解析）

天津市河西区2022届高三下学期三模数学试卷

一、单选题

1．集合，集合，则=（    ）

A． B．

C． D．

2．命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：58、67、73、74、76、82、82、87、90、92、93、98，则这12名学生成绩的第三四分位数是（    ）

A．88分 B．89分 C．90分 D．91分

4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线上的一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为

A． B．

C． D．

5．已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，则

A． B． C． D．

6．已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，其体积为，若圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，另一个底面的圆心为该棱锥的高的中点，则该圆柱的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．函数的部分图象可能是（    ）

A．  B．

C． D．

8．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为

A．64 B．72 C．96 D．144

9．已知函数若函数 的零点个数为2，则

A．或 B．

C．或 D．

二、填空题

10．设复数满足（为虚数单位），则的值为__________．

11．的展开式中，的系数是__________.

12．若直线与圆相切，则实数__________．

13．已知，为正实数，且，则的最小值为________________.

三、解答题

14．已知函数

（1）求的最小正周期；

（2）讨论在区间上的单调性；

15．在正四棱柱中，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若为上的动点，使直线与平面所成角的正弦值是，求的长.

16．已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．

(1)求数列和的通项公式；

(2)求；

(3)设数列的通项公式，求；

17．如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个焦点为，是椭圆上一点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的上下顶点分别为，，是椭圆上异于､的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点.

①求证：；

②若的面积为，求的值；

18．已知函数(e为自然对数的底数).

（1）求函数的值域；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围；

（3）证明：.

四、双空题

19．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为______；取出的3件产品中次品的件数的期望是______.

20．在中，点､分别为､的中点，点为与的交点，若，，且满足，则______；______.

参考答案：

1．A

【解析】由一元二不等式得到M的集合，应用集合的补运算求即可.

【详解】，又，

∴，

故选：A

2．C

【分析】根据对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，即可判断．

【详解】“事件A与事件B互斥”不能推出“事件A与事件B对立”，但是“事件A与事件B对立”，能推出“事件A与事件B互斥”，

故命题“事件A与事件B互斥”是命题“事件A与事件B对立”的必要不充分条件．

故选：C．

3．D

【分析】根据一组数据百分位数的定义计算第三四分位数，即75%百分位数.

【详解】12名学生成绩由小到大排列为58、67、73、74、76、82、82、87、90、92、93、98，

， 这12名学生成绩的第三四分位数是，

故选：D

4．C

【分析】根据题意，先求得双曲线焦点坐标，再结合双曲线定义，即可求得，则方程得解.

【详解】因为的焦点为，故双曲线的焦点在轴上，

故设双曲线方程为，则；

由双曲线定义知：，解得；

故可得；

则双曲线方程为：.

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及其定义，以及抛物线焦点坐标的求解，属综合基础题.

5．D

【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式即可求解.

【详解】由，

则，

即，

所以，且，

所以.

故选：D

【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.

6．C

【分析】根据正四棱锥的体积可求出圆柱的高，根据圆柱底面圆过棱锥底面正方形的四个顶点可求圆柱底面圆半径，利用表面积公式计算即可.

【详解】解：因为正四棱锥的底面是边长为的正方形，

其体积为，底面积为

所以棱锥高,

即圆柱的高为2，

因为圆柱的一个底面的圆周经过正方形的四个顶点，

所以正方形的对角线为圆的直径，即

所以圆柱的表面积为

故选：C

【点睛】本题主要考查了正四棱锥的体积，圆柱的表面积，考查了空间想象能力，属于容易题.

7．A

【解析】排除法，根据和的符号可排除B，D，再对函数求导，判断函数在上的单调性即可得出结论．

【详解】解：，∴舍去B，，∴舍去D，

时，，

，

∴函数在上单调递增，

故选：A．

【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．

8．C

【分析】由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可.

【详解】根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.

若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:

①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有种情况，

则有个符合条件的四位数;

②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2、4中选出1个偶数,有种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,

安排在其他三个位置,有种情况,则有个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有个符合条件的四位数；

则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数.

故选：C

【点睛】本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.

9．D

【分析】由，可知当时，的图象可由的图象沿轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数的图象，将的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可.

【详解】如图，可得的图象.令，当时，不符合题意；当时，得，若，则满足可得；若，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当时，因为，所以在上有两个交点，不合题意舍去，当时，则需解得，故选D.

【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.

10．.         

【详解】分析：由条件得到复数的代数形式，即可求得复数模长.

详解：因为，所以==，

所以

点睛：本题考查复数的四则运算，意在考查学生的计算能力．

11．

【分析】利用的展开式的通项，赋值求解即可

【详解】的展开式的通项，

令，得，；

令，得，，

则的展开式中的系数是．

故答案为：

12．25

【分析】根据直线和圆相切转化为点到直线的距离等于半径即可.

【详解】直线与圆相切，

圆心到直线的距离

平方可得，解得

故答案为：25

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了直线与圆相切，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于基础题.

13．

【解析】由，为正实数，且，可知，于是，可得

，再利用基本不等式即可得出结果.

【详解】解：，为正实数，且，可知，

，

.

当且仅当时取等号.

的最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.

14．（1）.（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减.

【分析】（1）根据题意，利用三角恒等变换化简为标准正弦型三角函数，利用最小正周期求解公式即可求得结果；

（2）先求得在上的单调增区间，结合区间，即可求得结果.

【详解】（1）依题意，

所以.

（2）依题意，令，，

解得，

所以的单调递增区间为，.

设，，易知，

所以当时，在区间上单调递增；

在区间上单调递减.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，以及用公式法求正弦型三角函数的最小正周期，用整体法求正弦型三角函数的单调区间，属综合中档题.

15．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【分析】建立如图所示空间直角坐标系，（1）求出平面的法向量，利用证明即可；

（2）利用即可证明；（3）设点的坐标为(1，1，)，由线面角公式可求出，即可利用向量的模求的长.

【详解】如图建立空间直角坐标系，

(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)

（1）证明：设平面的法向量(，，)，

(1，1，0)，(0，1，1)

由，即，

取，得(1，-1，1)，

又(-1，1，2)，

因为，所以，

所以平面.

（2）证明：由（1）可知(1，-1，1)，

(-1，1，-1)，，所以，

所以平面.

（3）设点的坐标为(1，1，)，

(0，1，)，

设直线与平面所成角为，则

，

解得，

所以点的坐标为(1，1，1)，(1，1，1)，，

所以的长为.

【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明线面垂直，线面平行，线面角，线段的长，考查了运算能力，属于中档题.

16．(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据数列通项与前项和的关系可求得数列的通项公式，设数列的公差为，根据，是和的等比中项，求得首项与公差，即可求出的通项公式；

（2）利用裂项相消法即可求出答案；

（3）利用分组求和法即可求出答案.

(1)

解：（1）当时，有，解得，

，

，

两式相减，整理得：，

数列是以6为首项，3为公比的等比数列，

所以，

设数列的公差为，

，是和的等比中项，，

即，解得或2，

公差不为0，，

故；

(2)

解：，

；

(3)

解：，，

∴

．

17．（1）（2）①证明见解析；②

【分析】(1)设椭圆方程为,由题意,得,再由是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;

(2)根据题意,求出直线AB的方程、点M,C,N的坐标,计算,可得,再利用,结合椭圆方程,求解可得结果.

【详解】（1）设椭圆方程为，

由题意，得.因为，所以.

又是椭圆上的一个点，所以，

解得或(舍去)，

所以椭圆的标准方程为.

（2）①解：因为，，则，且.

因为为线段中点，所以.

又，所以直线的方程为.

因为，∴

令，得，

又，为线段的中点，有，

所以.

因此，

.

所以.

②由①知，.

因为，

所以在中，，

因此，从而有，

解得.

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，涉及向量运算，属于难题.

18．（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】（1）利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最值，可得值域；

（2）将问题转化为对任意恒成立，求导后，分类讨论得到函数的单调性和最值，利用最值使不等式成立可解得结果；

（3）构造函数利用导数证明即可.

【详解】（1）

，，，

所以，故函数在上单调递减，

故；，

所以函数的值域为.

（2）原不等式可化为...(*)，

因为恒成立，故（*）式可化为，

令，，则，

①当时，，所以函数在上单调递增，

故，所以；

②当时，令，得，

当时，；当时，.

所以在上递减，在上递增，

1°当即时，

函数，

2°当即时，函数在上单调递减，

，解得

综上，.

（3）令则.    

由，

故存在，使得即.

且当时，；当时，.

故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，   

故函数

，

因为，所以，

故

所以.

【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了利用导数求函数的值域，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究不等式恒成问题，考查了利用导数证明不等式，考查了构造函数解决导数问题，考查了运算求解能力，属于难题.

19．         

【分析】（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；

（2）先求得的分布列，再求其期望即可.

【详解】（1）从10件产品中，抽取3件，有种可能；

若取出的3件中恰有1件是次品，有种可能；

故满足题意的概率；

（2）根据题意，，

；；，

故.

故答案为：；.

【点睛】本题考查超几何分布中概率的计算，以及期望的求解，属中档题.

20．     1    

【分析】根据点､分别为､的中点，可得为三角形的重心，再将、、、用、表示，利用，可得答案.

【详解】

因为点､分别为､的中点，所以为三角形的重心，

所以，

，

因为，

所以，

所以，

所以，所以，

.

故答案为：1；.

【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了三角形重心的性质，考查了平面向量的数量积，属于中档题.