24与角平分线有关的三角形内角和问题（提升题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

这是一份24与角平分线有关的三角形内角和问题（提升题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
24与角平分线有关的三角形内角和问题（提升题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

一、单选题
1．（2022春·江苏苏州·七年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．45° C．20° D．22.5°

二、填空题
2．（2022春·江苏南京·七年级南京市第十三中学校考期中）在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P，若∠P=125°，则∠A=_____°

3．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，⊿ABC中，∠A = 30°，∠B = 70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠CDF =__________°

4．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中结论正确的有____．


三、解答题
5．（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，，，射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F．

(1)若，，求∠F的度数；
(2)若，则∠F＝______°；
(3)随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．
6．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，∠1＝∠BCE，∠2＋∠3＝180°．

(1)判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
(2)若CA平分∠BCE，EF⊥AB于点F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
7．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）（1）数学课上老师提出如下问题：
如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两
条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
①填空：∠OBC+∠ODC= ；
②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM(如图1)，试说明DE⊥BF．
请你完成上述问题．

（2）课后小明和小红对问题进行了进一步研究，若把DE平分∠ODC改为DG分别平分∠ODC的外角，其他条件不变(如图2)，他们发现BF与DG的位置关系发生了变化，请你判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
8．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α．

(1)如图1，若 ，
①∠ABO的度数是________；
②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______；
当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
9．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB＝∠DBE．

(1)DE与BC平行吗？请说明理由；
(2)若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．
10．（2022春·江苏宿迁·七年级校考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．

【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
【结论探究】
(1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有∠E=∠A请给出证明过程．
请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：
【简单应用】
(2)如图2，在△ABC中，∠ABC=40°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数；
【变式拓展】
(3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．
①已知∠A=150°，∠D=80°，求∠E+∠F的度数；
②直接写出∠E+∠F与∠A+∠D的关系．
11．（2022春·江苏淮安·七年级淮安市洪泽实验中学校联考期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B＝30°，∠ACB＝100°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．

12．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在中，，，平分，交边于点．
（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数；

（2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数；

（3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示）

（4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示）

13．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求:∠DAC和∠BOA的度数．


参考答案：
1．A
【分析】由三角形的外角的性质可得再结合角平分线的性质进行等量代换可得从而可得答案.
【详解】解： ∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，






故选A
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质结合等量代换得到是解本题的关键.
2．70
【分析】依据BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，可得∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可求得∠ABC+∠ACB=110°，即可求得∠A的度数．
【详解】解：BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
，
∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=55°，
∠ABC+∠ACB=110°，
，
故答案为：70．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
3．70°．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
【详解】解：∵∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB=40°．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∠ACD=180°-∠A-∠CDA=60°．
∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=20°．
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=180°-∠CFD-∠DCF=70°
三角形内角和定理、三角形的角平分线、中线和高
点评：本题是基础题，考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
4．①③④
【分析】先根据，平分交于点，，，和的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】，，
，，
，
又，
，
，
，
，故①正确；
∴，
∵，       
，
又，
，故②错误；
，，而，
，
平分，故③正确；
∵，
∴．
∵和的平分线交于点F，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确．

故答案为：①③④
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的定义，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
5．(1)40°
(2)50°
(3)不会发生变化，∠F ＝∠AOB，理由见解析

【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出∠OCD=45°，接着利用邻补角的定义求出∠ACD=135°，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可求出∠F；
（2）利用和（1）的思路即可解决问题；
（3）不会发生变化．设∠AOB=x，∠CDO=y，首先利用三角形内角和定理得到∠OCD=180°-x-y，然后利用邻补角定义得到∠ACD=x+y，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可得到∠F=x=∠AOB．
（1）
在△ODC中，∠AOB＋∠CDO ＋∠OCD＝180°
又∵∠AOB＝60°，∠CDO＝75°
∴∠OCD＝45°
∵∠OCD＋∠ACD＝180°
∴∠ACD＝135°
∵∠ACE＝∠ACD
∴∠ECD＝∠ACD＝90°
∵∠ECD ＋∠FCD＝180°
∴∠FCD＝90°
∵∠FDO＝∠CDO
∴∠CDF＝∠CDO＝50°
∵∠F ＋∠FCD ＋∠CDF＝180°
∴∠F ＝40°
（2）
若n=75°，则∠F=50°；
∵在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD=180°，
又∵∠AOB=75°，∠CDO=x，
∴∠OCD=105°-x，
∵∠OCD+∠ACD=180°，
∴∠ACD=75°+x，
∵∠ACE=∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=（75°+x）=50°+x，
∵∠ECD+∠FCD=180°，
∴∠FCD=130°-x，
∵∠FDO=∠CDO，
∴∠CDF=∠CDO=x，
∵∠F+∠FCD+∠CDF=180°，
∴∠F=50°；
故答案为：50°；
（3）
不会发生变化                                  
设 ∠AOB＝x，∠CDO＝y
在△ODC中，∠AOB ＋∠CDO ＋∠OCD＝180°
∴∠OCD＝180°﹣x﹣y
∵∠OCD＋∠ACD＝180°
∴∠ACD＝x＋ y
∵∠ACE＝∠ACD
∴∠ECD＝∠ACD＝（x ＋ y）
∵∠ECD ＋∠FCD＝180°
∴∠FCD＝180°﹣（x ＋ y）
∵∠FDO＝∠CDO
∴∠CDF＝y
∵∠F ＋∠FCD ＋∠CDF＝180°
∴∠F ＝x
∴∠F ＝∠AOB
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，同时利用了角的平分线定义及三等分线的性质，综合性比较强．
6．(1)平行，理由见解析
(2)54°

【分析】（1）由，可得到直线与平行，可得到与间的关系，再由判断与的位置关系；
（2）由（1）的结论及垂直可得到的度数，再由平行线及角平分线的性质得到的度数，利用角的和差的关系得出结论．
【详解】（1）解：．理由：
，
，
．
，
．
．
（2）解：，平分，
．
，
又
．
，
于，
．
.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质及垂直的性质，综合性较强，解题的关键是掌握平行线的性质和判定．
7．（1）①；②见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）①根据四边形的性质，可得答案；②如图1：延长DE交BF于G，根据补角的性质，可得∠CBM=∠ODC，进而完成解答；
（2）如图2：连接BD，根据直角三角形的性质可得∠DBC+∠BDC=90°，根据补角的性质可得∠NDC+∠CBM=180°，然后再根据角的和差可得∠DBC+∠BDC+∠GDC+∠FBC=180°，根据平行线的判定即可解答．
【详解】解：（1 ①由四边形内角的性质，得∠OBC+∠ODC=180．
故答案为：180°．
②如图1：延长DE交BF于G，
∵∠ODC+∠OBC=∠CBM+∠OBC=180°，
∴∠CBM=∠ODC，∠CBM=∠EBG=∠ODC=∠EDC.
∵∠BEG=∠DEC，
∴∠BGE=∠DCE=90°
∴DE⊥BF．

（2）平行，理由如下：
如图2：连接BD，

∵∠BCD=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°
∵∠ODC=∠CBM，
∠NDC+∠ODC=180°，
∠NDC+∠CBM=180°，
∠GDC+∠FBC=∠NDC+∠CBM=90°
∴∠DBC+∠BDC+∠GDC+∠FBC=180°，
即∠DBF+∠BDG=180°
∴DG//BF．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理等知识点，利用补角的性质得出∠NDC+∠CBM=180°是解答本题关键．
8．(1)①20°； ②120°，60°；
(2)30°或 75°或 15°

【分析】（1）①利用角平分线的定义求出∠BON，根据平行线的性质可得出答案；
②当∠BAD=∠ABD时，利用三角形内角和定理求出∠BAO，进而可得∠OAC的度数；
当∠BAD=∠BDA时，求出∠BDA，然后根据三角形外角的性质即可求出∠OAC的度数；
（2）分三种情况进行讨论：①当∠BDC＝2∠BFC时，②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时，③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可．
（1）
解：①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵ABON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当∠BAD＝∠ABD时，
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴∠BAD＝20°，∠BAO＝180°－20°－20°＝140°，
∴∠OAC＝∠BAO－∠BAD＝120°；
当∠BAD＝∠BDA时，
∵∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝∠BDA＝80°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠OAC＝∠BDA－∠AOB＝60°；
故答案为：①20°； ②120°，60°；
（2）
解：①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，

∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC＋∠BON＝50°＋20°＝70°，
∴∠BAC＝∠BDC−∠ABO＝100°−70°＝30°，
∴α＝30°；
②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时，

∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB＋∠OAB＝20°＋90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180°−∠BFC−∠ACF＝180°−50°−55°＝75°，
∴α＝75°；
③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，

∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠ABO＝90°−∠AOB＝90°−20°＝70°，∠AFO＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝35°，∠AFC＝130°，
∴∠BAC＝180°−∠DCF−∠AFC＝180°−35°−130°＝15°，
∴α＝15°；
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．本题利用角平分线的定义求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
9．(1)DEBC，理由见解析；
(2)∠DEB＝42.5°．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）先根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，再用角平分线定义求出∠DBE即可得解．
【详解】（1）解：DEBC．
理由：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DEBC；
（2）∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°−∠A−∠C＝180°−45°−50°＝85°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝42.5°，
∴∠DEB＝∠DBE＝42.5°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线的定义，熟知内错角相等，两直线平行；三角形的内角和等于180°是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)70°
(3)①205°  ②

【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案
（2）先推导出,再推导出，进而可以求解
（3）①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，可得，进而即可求解；②根据，结合角平分线的意义及三角形内角和定理，即可得到结论
（1）
解：
又因为在中，



同理可得：
又因为BE和CE分别是和的角平分线


即

（2）
解：

∵∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，




（3）
解：①延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N，如下图所示，

∵BF、CE平分





②

又

即：
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键．
11．∠EAD＝35°.
【分析】根据垂直的定义得到∠D=90°，根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-100°=80°，根据三角形的内角和得到∠BAC=50°，根据角平分线的定义得到∠CAE=∠BAC=25°，于是得到结论.
【详解】∵AD⊥BC，
∴∠D=90°，
∵∠ACB=100°，
∴∠ACD=180°-100°=80°，
∴∠CAD=90°-80°=10°，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=90°-30°=60°，
∴∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=25°，
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=35°
【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
12．（1）10°（2）70°（3）=-30°（4）=
【分析】（1）根据三角形的内角和与角平分线的性质得到∠EAC=50°，再根据直角三角形两锐角互余得到∠DAC=40°，再根据角度的和差关系即可求解；
（2）设=x,根据直角三角形两锐角互余，表示出∠DAC，再表示出∠BAC，根据三角形内角和得到方程即可求出x;
（3）分别用含n的式子表示出，，即可得到；
（4）在（3）的基础上再表示出，，即可得到．
【详解】（1）∵，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°
∵平分，
∴∠EAC==50°
∵
∴∠DAC=90°-∠C =40°
∴=∠EAC-∠DAC=10°；
（2）设=x,
∵
∴∠DAC=90°-∠C =90°-x
∵平分，
∴=2∠DAC=180°-2x
∵平分，
∴=2=360°-4x
在△ABC中，+∠B+∠C=180°
∴360°-4x+30°+x=180°
解得x=70°
∴=70°；
（3）∵，
∴∠BAC=180°-∠B-=150°-
∵平分，
∴∠EAC==
∴∠AEC=180°-∠EAC -=
∴∠DEF=∠AEC=
∵
∴=90°-∠DEF =-15°
∵
∴∠BCG=180°-∠ACB=180°-
∵平分
∴∠DCF==
∴=180°-∠EAC-∠ACF=180°-∠EAC-∠ACB-∠DCF =15°
∴=-15°-15°=-30°；
（4）=
理由如下：
∵
由（3）可得∠BAE =∠EAC==
∵AF1平分∠BAE
∴∠F1AE=∠BAE =
由（3）同理可得+=
又
∴+90°=++n
∴=
∵CF1平分
∴∠BCF1=∠BCF∠BCG =
∴=180°-∠F1AC-∠ACF1=180°-∠F1AE-∠EAC-∠ACB-∠BCF1=180°-()-()--()=22.5°
∴=-22.5°=
故=．
【点睛】此题主要考查三角形内角和的性质及角度的计算，解题的关键是熟知角平分线的性质及三角形的内角和定理的应用．
13．∠DAC =20°，∠BOA =125°．
【分析】在Rt△ACD中，根据两锐角互余得出∠DAC度数；△ABC中由内角和定理得出∠ABC度数，继而根据AE，BF是角平分线可得∠BAO、∠ABO，最后在△ABO中根据内角和定理可得答案．
【详解】∵AD是BC上的高，
∴∠ADC=90°，
又∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=20°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=60°，∠BAO=∠BAC=25°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=30°，
∴∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠BAO=180°﹣30°﹣25°=125°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°和三角形高线、角平分线的定义是解题的关键．