高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案及答案

年级

一

学科

数学

课型

讲授

课时

1

主备人

审核人

课题

8.6.1直线与直线垂直

学习

目标

【基础性目标】了解空间中两条直线的三种位置关系

【拓展性目标】理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线

【挑战性目标】会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直 角三角形中求简单异面直线所成的角

重难点

重点：异面直线所成角的定义；

难点：用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角。

导学过程

环节

问题导学

学法指导

观察：如图，在正方体ABCD 一 ABCD 中，直线AC 与直线

AB，直线AD 与直线 AB 都是异面直线，直线AC 与AD 相对于直

线 AB 的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差 异呢？

如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点 O 作直线a′//a， b′//b,则把a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或

夹角).

思考 : 这个角的大小与 O 点的位置有关吗 ? 即 O 点位置不同时, 这 一角的大小是否改变?

例 1  如图，已知正方体 ABCD－A′B′C′D′.

(1) 哪些棱所在的直线与直线 AA′垂直？

(2) 求直线 BA′与 CC′所成的角大小。

(3) 求直线 BA′与 AC 所成的角大小。

例 2  如图，在正方体ABCD A1B1C1D1 中， O1 为底面 A1B1C1D1 的 中心。求证： AO1  」BD  。

基础性训练

分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(    )

A．异面        B．平行    C．相交       D．以上都有可能

拓展性训练

如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为 AA1、AB、

BB1、B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于(    )

A．45°     B．60°    C．90°  D．120°

挑战性训练

如图，在四棱锥 P­ABCD 中，PA⊥AB，底面 ABCD 是平行四边形， 则 PA 与 CD 所成的角是        ．

年级

一

学科

数学

课型

讲授

课时

1

主备人

李单

审核人

课题

直线与平面垂直的性质

学习

目标

【基础性目标】

理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.

【拓展性目标】

通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力

【挑战性目标】

探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化

重难点

重点：直线和平面垂直的性质定理

难点：直线和平面垂直的性质定理的应用

导学过程

环节

问题导学

学法指导

自主

学习

问题 1：长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，棱 AA1、BB1、CC1、DD1 所在直线 都垂直于平面 ABCD，它们之间是有什么位置关系？

问题 2：已知直线 a⊥α 、b⊥α 、那么直线 a、b 一定平行吗？

合作

探究

阅读课本 153-155 页，思考并完成以下问题

1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？

2、与线面垂直有关的结论有哪些？

3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？

展示

提升

如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 上的一点,N 是 A1C 的中

点, MN⊥平面 A1DC.

求证：(1) MN∥AD1 ;

(2) M 是 AB 的中点.

达标

检测

基础性训练

如图，已知平面α ∩平面β=l，EA⊥ α ，垂足为 A，EB⊥β，B 为垂足， 直线 a⊂β ，a⊥AB.求证：a∥l.

拓展性训练

如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， BE⊥EC1.若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 E-BB1C1C 的体积.

挑战性训练

如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥菱形 ABCD 所在的平面， ∠ABC=60° ，E 是 BC 的中点，M 是 PD 的中点.

(1)求证：AE⊥平面 PAD.

(2)若 AB=AP=2，求三棱锥 P-ACM 的体积.

年级

一

学科

数学

课型

讲授

课时

1

主备人

审核人

课题

直线与平面垂直的判定

【基础性目标】

理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题

【拓展性目标】

理解直线与平面所成角的概念

【挑战性目标】

会求一些简单的直线与平面所成角

重难点

重点：①直线和平面垂直的判定定理及其应用；②求直线与平面所成角.

难点：直线与平面垂直的判定定理的应用，找垂直关系.

导学过程

环节

问题导学

学法指导

问题 1.在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如： “旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的 例子吗？

问题 2. 易知旗杆与它在地面上的射影是垂直关系，那么一条直线与一 个平面垂直的意义是什么？

阅读课本 149-152 页，思考并完成以下问题

1、直线与平面垂直的意义是什么？

2、直线与平面垂直的判定定理是什么？用符号语言怎样表示？

3、什么是直线与平面所成角？

展示

提升

例 1：下列说法中正确的个数是(    )

①若直线 l 与平面α 内一条直线垂直,则 l⊥α ;

②若直线 l 与平面α 内两条直线垂直,则 l⊥α ;

③若直线 l 与平面α 内无数条直线垂直,则 l⊥α.

A.1        B.2    C.3    D.4

例 2：在三棱锥 P-ABC 中,H 为△ABC 的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证: PH⊥

平面 ABC.

达标

检测

基础性训练

下列说法中正确的个数是(    )

1、若直线 l 与平面α 内两条相交直线垂直,则 l⊥α ;

2、若直线 l 与平面α 内任意一条直线垂直,则 l⊥α ;

3、若直线 l 与平面α 内无数条直线垂直,则 l⊥α.

A.1    B.2    C.3    D.4

拓展性训练

课本习题

挑战性训练

在正方体          1    1    1     1  中，求直线   1 与平

面 1    1           所成的角？

年级

一

学科

数学

课型

讲授

课时

1

主备人

审核人

课题

平面与平面垂直的判定

学习

目标

【基础性目标】

理解二面角的概念，并会求简单的二面角

【拓展性目标】

理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相 关问题.

【挑战性目标】

通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．

重难点

重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用

难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.

导学过程

环节

问题导学

学法指导

自主

学习

我们知道如果两个平面的二面角是直角，那么这两个平面一定垂直. 那么有没有更简单的方法证明两个平面垂直？

阅读课本 155-158 页，思考并完成以下问题

1、什么是二面角？什么是直二面角？

2、平面与平面平行的判定定理是什么？

3、怎样用符号语言表示平面与平面平行的判定定理？

让 学 生 自 由 发言，教师不 做判断。而是 引 导 学 生 进

一 步 观 察 研 探

合作

探究

三、新知探究

1.二面角

(1)定义:

(2) 二面角的平面角:

2.平面与平面垂直

(1)定义:                                  ,记作 α ⊥ β.

(2)判定定理

学 生 独 立 完

成，以小组为 单位，组内可 商量，最终选 出 代 表 回 答 问题。

展示

提升

例 1：如图， 所在的平面

AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的动点，PA 垂直于⊙O

ABC

达标

检测

基础性训练

如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的 中点.证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M.

拓展性训练

如图所示,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中:

(1)求二面角 D′-AB-D 的大小;

(2)若 M 是 C′D′的中点,求二面角 M-AB-D 的大小.

挑战性训练

年级

一

学科

数学

课型

讲授

课时

1

主备人

李单

审核人

课题

平面与平面垂直的性质

学习

目标

【基础性目标】理解平面与平面垂直的性质定理

【拓展性目标】通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理 能力

【挑战性目标】探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂 直之间的转化

重难点

重点：平面和平面垂直的性质定理.

难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.

导学过程

环节

问题导学

学法指导

自主

学习

已知面面平行则一个平面内的任意直线都平行与另一个平面，那么 面面垂直，则一个平面内的任一直线与另一个平面是否垂直？

阅读课本 159-161 页，思考并完成以下问题

如果两个平面垂直,那么满足什么条件时，一个平面内的直线与另一个 平面垂直?

学 生 自 由 发言，教师 不做判断。 而 是 引 导 学 生 进 一 步 观 察 研 探

合作

探究

三、新知探究

1. 平面与平面垂直的性质定理

学 生 独 立 完成，以小 组为单位， 组 内 可 商 量，最终选 出 代 表 回 答问题

文字语言

图形语言

符号语言

两个平面垂直,则一个 平面内垂直与交线的直 线与另一个平面垂直

             = l

a

a 」l

⇒a⊥β

探究 1:如果α ⊥ β,则 α 内的直线必垂直于β 内的无数条直线吗?

探究 2：如果α ⊥ β,过β内的任意一点作α与 β交线的垂线,则这条直 线必垂直于α吗?

展示

提升

例 1：在三棱锥P ABC 中，  PA 」平面 ABC，平面PAB 」平面 PBC.

求证：BC ⊥ 平面 PAB.

达标

检测

基础性训练

1.如图,P 是四边形 ABCD 所在平面外一点,四边形 ABCD 是∠DAB= 60°, 且边长为 a 的菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.

(1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD;

(2)求证:AD⊥PB.

拓展性训练

2.如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=

PC=4,AB=6,BC=3.

证明:BC∥平面 PDA;

(2)证明:BC⊥PD;

(3)求点 C 到平面 PDA 的距离.