数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系当堂检测题

《第四节　空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习

（课时2　空间点、直线、平面之间的位置关系）

一、基础巩固

知识点1　空间中直线与直线的位置关系

1.设a,b,c是空间中的三条直线,则下列命题中真命题的个数是(　　)

①若直线a,b异面,b,c异面,则a,c 异面;

②若a,b相交,b,c相交,则a,c也相交;

③若a,b共面,b,c共面,则a,c也共面.

A.0  B.1  C.2  D.3

2.[2022湖南怀化辰溪博雅实验学校学业考试]已知a,b是空间中两条不同的直线,则“a,b是异面直线”是“a,b没有公共点”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.[2022安徽宿州一中学情调研]若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4异面

D.l1与l4的位置关系不确定

4.(多选)[2022重庆八中高一月考]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则(　　)

A.EF与A1C1是异面直线

B.EF与B1C1是相交直线

C.AC与B1C1是异面直线

D.AC与A1C1是异面直线

知识点2　空间中直线与平面的位置关系

5.已知a,b表示两条不同的直线,α表示平面,若a∥b,a∥α,则b与α的位置关系是(　　)

A.相交  B.b∥α

C.b⊂α  D.b∥α或b⊂α

6.下列命题中正确的是(　　)

A.若a与b是两条相交直线,且a与平面α平行,则b与平面α相交

B.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α有公共点

C.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线

D.若a,b分别是长方体的两个相邻平面的对角线所在的直线,则a,b是异面直线

7.已知平面 α∥平面β,若P,Q是α,β之间的两个点,则(　　)

A.过P,Q的平面一定与α,β都相交 

B.过P,Q有且仅有一个平面与α,β都平行

C.过P,Q的平面不一定与α,β都平行 

D.过P,Q可作无数个平面与α,β都平行

8.如图,已知D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是点P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　. 

二、能力提升

1.设a为空间中的一条直线,记直线a与正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面相交的平面个数为m,则m的所有可能取值构成的集合为(　　)

A.{2,4}  B.{2,6}  C.{4,6}  D.{2,4,6}

2.空间三个平面能把空间分成(　　)

A.4部分或6部分

B.7部分或8部分

C.5部分或6部分或7部分

D.4部分或6部分或7部分或8部分

3.(多选)下列四个命题中为假命题的是(　　)

A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

B.过空间中任意三点有且仅有一个平面

C.若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行

D.分别在两平行平面内的两条直线平行

4.[2022山西大学附属中学高一下期中]如图,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,则(　　)

A.直线AB与CD可能为异面直线

B.直线AB,CD,l相交于一点

C.AB=CD

D.直线AC与BD可能为异面直线

5.[2022辽宁大连月考]在正方体ABCD-A1B1C1D1上有一只蚂蚁,从点A出发沿正方体的棱前进,若该蚂蚁走的第(n+2)条棱与第n条棱是异面的,则这只蚂蚁走过第2 022条棱之后的位置是在(　　)

A.点A1处  B.点A处  C.点D处  D.点B处

6.如图,点P在平面ABC外,点F在BC的延长线上,E在线段PA上,则直线AB,BC,AC,EF,AP,BP中有　　　　对异面直线. 

7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点.

(1)画出P,A,C这3点确定的平面与平面ABCD的交线;

(2)试证明P,A1,C这3点确定的平面与平面ABCD相交,并画出这两个平面的交线.

参考答案

一、基础巩固

1.A　若直线a,b异面,b,c异面,则a,c 相交、平行、异面三种位置关系都有可能,故①错误.若a,b相交,b,c相交,则a,c可能异面、相交、平行,故②错误.同理③错误.故真命题个数为0.故选A.

2.A　若a,b是空间中两条不同的直线,且a,b是异面直线,则a,b没有公共点;若a,b是空间中两条不同的直线,且a,b没有公共点,则a,b是异面直线或a∥b,故“a,b是异面直线”是“a,b没有公共点”的充分不必要条件.

3.D　构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C.故选D.

4.ABC　连接CB1.因为CB1与AC相交,AC∥A1C1,CB1与平面ACC1A1相交,所以CB1与A1C1异面.又CB1∥EF,EF⊄平面ACC1A1,所以EF与A1C1异面,A正确;同理AC与B1C1异面,C正确;EF与B1C1在同一平面内,且延长EF与B1C1可交于一点,故直线EF与B1C1相交,故B正确;AC∥A1C1,故AC与A1C1是共面直线,故D错误.故选ABC.

5.D　b与α的位置关系有2种,如图:

6.B　对于A,易得b与平面α可能相交或平行,故A错误;对于B,根据直线与平面平行的定义可知,直线a与平面α有公共点,故B正确;对于C,易得a,b可能异面、相交、平行,故C错误;对于D,易得a,b可能异面、相交,故D错误.

7.C　当过P,Q的直线与α,β相交时,过P,Q的平面一定与平面α,β都相交;当过P,Q的直线与α,β都平行时,可以作唯一的一个平面与α,β都平行.故选C.

8.P∈直线DE　解析因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.

二、能力提升

1.D　体对角线所在的直线与正方体的6个面都相交,面对角线所在的直线与正方体的4个面相交,而棱所在的直线与正方体的2个面相交,故选D.

2.D　若三个平面两两平行,则把空间分成4部分,如图1;若三个平面两两相交,且只有一条交线,则把空间分成6部分,如图2;若三个平面两两相交,有三条交线,且三条交线不交于一点,则把空间分成7部分,如图3;若三个平面两两相交,有三条交线,且三条交线相交于一点,则把空间分成8部分,如图4.故选D.

3.BCD　易知有3个不共线的交点,确定一个平面,故A为真命题;对于B,过空间中不共线的三点有且仅有一个平面,故B为假命题;对于C,若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行或异面,故C为假命题;对于D,这两条直线也可能异面,故D为假命题.故选BCD.

4.B　在梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB与CD是梯形的两腰,所以AB与CD是共面直线,故A错误.AB与CD不一定相等,故C错误.直线AC与BD是梯形ABCD的对角线,故AC,BD是共面直线,故D错误.在题图中,设AB∩CD=M,又AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α∩β.又α∩β=l,所以M∈l,即直线AB,CD,l相交于一点,故B正确.

5.B　不妨设蚂蚁从点A先沿AB走,如图,结合正方体的性质知与直线AB异面的直线有A1D1,B1C1,CC1,DD1,共4条,由题意可知蚂蚁走过3条棱的路线是AB→BC→CC1或AB→BB1→B1C1,即蚂蚁走过第3条棱后的位置在点C1处.同理,蚂蚁从点A先沿AD或AA1走,走过第3条棱后的位置一定是在点C1处,以此类推,蚂蚁走过第6条棱后的位置一定在点A处,如此走下去,每走过6条棱后都会回到起点A.因为2 022÷6=337,所以这只蚂蚁走过第2 022条棱之后的位置是在点A处.故选B.

6.5　解析异面直线有5对,分别是AB与EF,BC与AP,AC与BP,AC与EF,EF与BP.

7.解析 (1)连接PA,PC,AC,则P,A,C这3点确定的平面为平面PAC,平面PAC与平面ABCD的交线为AC,如图1.

(2)如图2,连接PA1,PC,A1C,则P,A1,C这3点确定的平面为平面PA1C.

因为C∈平面PA1C,C∈平面ABCD,

所以C在平面PA1C与平面ABCD的交线上,

即平面PA1C与平面ABCD相交.

延长A1P与AB,设它们相交于点E,

连接CE,则E∈直线A1P,直线A1P⊂平面PA1C,

E∈直线AB,直线AB⊂平面ABCD,

则E在平面PA1C与平面ABCD的交线上,

所以CE为平面PA1C与平面ABCD的交线.