2023年福建省龙岩市长汀四中中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023年福建省龙岩市长汀四中中考数学质检试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省龙岩市长汀四中中考数学质检试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的绝对值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  某城市四月初连续四天的天气情况如图所示，这四天中，温差最大的是(    )A. 周一
B. 周二
C. 周三
D. 周四3.  下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  如图，在中，，、分别是的中位线和中线，则下列说法不正确的是(    )A.
B.
C.
D. 5.  如图是一个几何体的正视图，则这个几何体可能是(    )A.
B.
C.
D. 6.  两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为，，从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是(    )A. 两个小球的标号之和等于 B. 两个小球的标号之和等于
C. 两个小球的标号之和大于 D. 两个小球的标号之和大于7.  在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数和，将点向右平移个单位长度得到点若，则，的关系是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，经过平面直角坐标系的原点，交轴于点，交轴于点，点为第二象限内圆上一点．则的正弦值是(    )A.
B.
C.
D. 9.  已知：等腰直角三角形的腰长为，点在斜边上，点为该平面内一动点，且满足，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知点与点在二次函数为常数的图象上，且，，则下列判断正确的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  计算：______．12.  计算的结果是        ．13.  如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______只写一个
 14.  中国清代数学著作御制数理精蕴中有这样一道题：“马四匹、牛六头，共价四十八两“两”是我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．则马每匹价______两．15.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______．
 16.  如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点与原点重合，点在第一象限，反比例函数的图象经过的中点，交于点，连接若的面积是，则的值是______．
 三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．19.  本小题分
已知：菱形的对角线，交于点，，求证：四边形是矩形．
20.  本小题分
如图，是直角三角形，．
动手操作：利用尺规作的平分线，交于点，再以为圆心，的长为半径作保留作图痕迹，不写作法；
综合运用：请根据所作的图，若，，求的长．
21.  本小题分
某书店畅销一本小说，每本进价为元，根据以往经验，当销售单价是元时，每天的销售量是本；销售单价每上涨元，每天的销售量减少本，设这本小说每天的销售量为本，销售单价为元．
请求出与之间的函数关系式；
书店决定每销售本该小说，就捐赠元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则该小说每本售价为多少元？每天最大利润是多少元？22.  本小题分
如图，在▱中，，对角线，经过点、，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，．
求证：是的切线；
若，求的长结果保留．
23.  本小题分
我校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“周末学生回家玩手机”现象的看法，通过统计整理并制作了如图的统计图．
接受这次调查的家长人数为        人；
在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为        ；
表示“无所谓”的家长人数为        ；
在四名三男一女持赞同意见的家长当中随机抽查了两名，利用树形图或列表方式求恰好抽到一男一女家长的概率．
24.  本小题分
如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，，连接，交于点，交于点，．
求证：；
若，求的长；
连接，求证：．
25.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的开口向上，与轴相交于、两点点在点的右侧，点的坐标为，且．
填空：点的坐标为______用含的代数式表示；
把射线绕点按顺时针方向旋转与抛物线交于点，的面积为；
求抛物线的解析式用含的代数式表示；
当，抛物线上的点到轴距离的最大值为时，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
【解答】
解：根据负数的绝对值是它的相反数，得
．
故选C．  2.【答案】 【解析】解：如图所示：星期一温差为：，
星期二温差为：，
星期三温差为：，
星期四温差为：，
故这四天中温差最高气温与最低气温的差最大的是星期二．
故选：．
利用有理数的加减运算法则，利用大数减去小数分别计算得出每天的温差进而得出答案．
本题考查了有理数的减法运算，正确掌握有理数减法运算法则是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可．
本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分式相关运算的法则．
 4.【答案】 【解析】解：在中，，、分别是的中位线和中线，
，，，
，，，
选项A、、说法正确，不符合题意；
和不一定相等，
和不一定相等，
选项D说法错误，符合题意；
故选：．
根据三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质判断即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：三视图为一个大正方形，右上角是一个小正方形，
只有符合要求，
故选：．
根据正视图是从正面看到的直接写出结论即可．
考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解正视图是从正面看到的，比较简单．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分析得出答案．
【解答】
解：两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为，，，
从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于，是不可能事件，不合题意；
两个小球的标号之和等于，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和大于，是必然事件，不合题意；
两个小球的标号之和大于，是不可能事件，不合题意；
故选：．  7.【答案】 【解析】解：点表示数，
将点向右平移个单位长度得到点，则表示的数是，
，
与互为相反数，
，
，
故选：．
根据可得点表示的数与互为相反数，据此可得，即可得到答案．
本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：连接，如图，
，，
，，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再根据正弦的定义得到，再根据圆周角定理得到，从而得到的值．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 9.【答案】 【解析】解：等腰直角三角形的腰长为，
斜边，
点为该平面内一动点，且满足，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当点在斜边的中线上时，的值最小，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质得到斜边，由已知条件得到点在以为圆心，为半径的圆上，当点在斜边的中线上时，的值最小，于是得到结论．
本题考查了等腰直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
二次函数为常数的对称轴为直线，
点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离，
，且，
．
故选：．
根据条件得出点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离，由二次函数的性质可得出答案．
本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，理解题意是解答问题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；依此即可求解．
本题考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 13.【答案】答案不唯一 【解析】解：，，，
≌，
要使≌，添加一个条件是，
故答案为：答案不唯一．
根据全等三角形的判定方法，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：设马每匹价两，牛每头价两，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
设马每匹价两，牛每头价两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：如图，连接，过点作于，

将绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
点到的距离是，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：连接，过作，交轴于，

，反比例函数的图象经过的中点，
，，
，
∽，
与得到面积比为：，
，
，
．
故答案为：．
作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数的几何意义得到，根据的中点，利用∽得到面积比为：，代入可得结论．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 18.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．
 20.【答案】解：如下图：即为所求；

过点作于，
则，
设，则，
，
，
，
平分，，
，
，，
，
，即：，
，
，
，
即：，
解得：，
． 【解析】根据角平分线的尺规作图先作出平分线，确定交点，再以为圆心，的长为半径作即可；
设、，由的函数值得，根据∽求出的长，最后利用勾股定理求得的值，继而可得答案．
本题考查了复杂作图，掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理解题的关键．
 21.【答案】解：根据题意得，；
设每天扣除捐赠后可获得利润为元，
由已知得：

，
，
，
时，取得最大值，最大值为，
答：每本该小说售价为元，最大利润是元． 【解析】根据题意，销售量列式即可；
设每天扣除捐赠后可获得利润为元，由已知可得：，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确的理解题意，掌握二次函数的性质．
 22.【答案】证明：如图，连接，
四边形是平行四边形，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
是的切线；
如图，连接，过作于，
四边形是平行四边形，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在中，，
的长． 【解析】证明：连接，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，于是得到结论；
根据平行四边形的性质得到，过作于，则四边形是矩形，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 23.【答案】    人 【解析】解：接受这次调查的家长人数为：人，
故答案为：；
在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为：，
故答案为：；
表示“无所谓”的家长人数为：人，
故答案为：人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有种，
恰好抽到一男一女家长的概率为．
由“赞同”的家长人数除以所占百分比即可；
由乘以“不赞同”的家长所占的比例即可；
由接受这次调查的家长人数乘以表示“无所谓”的家长人数所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女家长的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 24.【答案】证明：四边形是矩形，
，
．
，
．
，
，
又，
≌
．
四边形是矩形，
，，
，，
∽．
，即．
设，
，则有：，
化简得：，

解得，或舍去．
．
如图，在线段上取点，使得，
，，，
≌，
，，
．
为等腰直角三角形．
． 【解析】证明≌，得出，证得，则结论得出；
证明∽，进而利用相似三角形的性质解答即可；
在线段上取点，使得，证明≌，得出，，证得为等腰直角三角形，可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明出∽以及截去证明出≌是解题的关键．
 25.【答案】 【解析】解：的坐标为，，则点坐标为，
故答案为．
，
，
把射线绕点按顺时针方向旋转与抛物线交于点此时，直线表达式中的值为，
设直线的表达式为：，
把点坐标代入上式得：，即：，
则直线的表达式为：，
则点的坐标为，
则抛物线的表达式为：，
把点坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线表达式为：，
抛物线的对称轴为：，
当即：时，时，抛物线上的点到轴距离为最大值，
即，
解得：或，
，
；
当即时，在顶点处，抛物线上的点到轴距离为最大值，
即：，符合条件，
；
当即：时，时，抛物线上的点到轴距离为最大值，
即，
解得：或，
，
；
综上所述，的值为：或或．
结合点坐标和值即可得到点坐标；
由面积可得，从而求出点的坐标，即可求解；
抛物线的对称轴，分、、三种情况分类讨论．
本题考查的是二次函数知识的综合应用，涉及图象的旋转、一次函数基础知识等相关知识，其中讨论抛物线对称轴所处的位置与、的关系是本题的难点．