2023年天津市滨海新区中考数学结课试卷（含解析）

2023年天津市滨海新区中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将抛物线向上平移个单位后所得的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列四个图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列事件中，属于不可能事件的是(    )

A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天
D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在中如图，点、分别为、的中点，则：(    )
 

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  边长为的正三角形的外接圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点下列结论：∽；平分；，其中所有正确结论的序号是(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  已知点，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于，两点点在点的左侧，有下列结论：
；
当时，一定有随的增大而增大；
若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；
关于的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

12.  反比例函数的图象在第          象限．

13.  二次函数的对称轴为直线        ．

14.  如图所示，点是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点，连接写出图中任意一对相似三角形：______．

15.  在中，，，，则______．

16.  如图，四边形是的内接四边形，，弦，则的半径等于______．

17.  在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，在的正方形网格图形中，，均是格点．
线段的长等于        ；
点是这个网格图形中的格点，连结，，且满足在如图所示的网格中，画出        点的位置，在所有满足条件的中，边的长的最大值是        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

18.  解方程：．

四、解答题（本大题共6小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知一个不透明的口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球．第一次随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球．
Ⅰ求第一次摸到黑球的概率；
Ⅱ请用列表或画树状图等方法求两次都摸到黑球的概率．

20.  本小题分
已知是的直径，点，在上，与交于点，连接．
Ⅰ如图，若点是弧的中点，求的大小；
Ⅱ如图，过点作的切线与的延长线交于点，若，求的大小．
 

21.  本小题分
如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向，航行后到达处，测得灯塔在南偏东方向，求处与灯塔的距离结果保留位小数，参考数据：，，．

22.  本小题分
建设美丽城市，改造老旧小区某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同，求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率解题方案：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
用含的代数式表示：
年投入资金为        万元；
年投入资金为        万元；
根据题意，列出相应方程为        ；
解这个方程，得        ；
检验：        ；
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为       

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，在轴的负半轴上，在轴的正半轴上．

Ⅰ若，．
如图，将矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形，当点的对应点落在边上时，求点的坐标；
如图，将矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形，当点的对应点落在轴的正半轴上时，求点的坐标；
Ⅱ若，，如图，设边与交于点，若，请直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，并与轴的正半轴交于点．
求的值，并用含的式子表示；
当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；
当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
本题求角的余弦函数值，需要记住．
本题考查了特殊角的三角函数值．特殊角有、、，记住它们的正弦、余弦、正切值是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线向上平移个单位，
平移后的解析式为：，
故选：．
根据二次函数图象变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
此题考查了抛物线图象的平移规律，熟练记忆二次函数图象平移规律是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据不可能事件的定义，结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的定义是正确判断的前提．
【解答】
解：、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层有三个小正方形，上层右边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键．
根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】
解：在中，点、分别为、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：．
根据关于的一元二次方程有两个实数根，可知，可以求得的取值范围．
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时，．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，作，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：．
设正的中心为，过点作，垂足为，连接，把问题转化到中求即可．
本题考查了三角形外接圆与外心，熟知等边三角形的性质及外接圆的定义是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作交轴于点，

，
四边形是正方形，，
，，，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
绕点顺时针旋转点的对应点即为，其坐标为，
故选：．
作交轴于点，证≌即可得知绕点顺时针旋转点的对应点即为，由、知，即可得出答案．
本题主要考查图形的旋转及旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
由旋转的性质得出，，，，进而得出，得出，得出平分，可判断结论符合题意；由，，得出∽，可判断结论符合题意；由，得出，由相似三角形的旋转得出，进而得出，可判断结论符合题意；即可得出答案．
【解答】
解：将以点为中心逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
平分，
符合题意；
，，
∽，
符合题意；
，
，
，
∽，
，
，
符合题意，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：抛物线顶点在线段上运动，
而点，，
顶点的纵坐标为，抛物线开口向上，
，所以正确；
只有当顶点的横坐标小于或等于时，随的增大而增大，所以错误；
当抛物线的顶点在点时，点的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为直线，
点横坐标为，
点的横坐标为，
，
当抛物线的顶点在点时，点的横坐标最大，此时抛物线的对称轴为直线，
，
点的横坐标为，
即点横坐标的最大值为，所以正确；
抛物线与直线只有一个公共点，
关于的方程有两个相等的实数根，所以错误．
故选：．
由于抛物线顶点在线段上运动，抛物线开口向上，所以，则可对进行判断；根据二次函数的性质，当对称轴为轴左侧时，随的增大而增大，从而可对进行判断；当抛物线的顶点在点时，点的横坐标最小，利用抛物线的对称轴为直线，此时点横坐标为得到点的横坐标为，所以，然后求出抛物线的顶点在点时的点的横坐标，从而可对进行判断；利用抛物线与直线只有一个公共点可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了根的判别式、二次函数的性质．
 

12.【答案】一、三 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
直接根据反比例函数的性质求解．
【解答】
解：因为，
所以反比例函数图象分布在第一、三象限．
故答案为一、三．  

13.【答案】 

【解析】解：二次函数解析式为，
该函数的对称轴是直线，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的对称轴，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
 

14.【答案】∽ 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，
∽．
故答案为∽．
利用平行四边形的性质得到，则根据相似三角形的判定方法可判断∽．
本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：，，，
，
．
故答案为：．
根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数关系，即可得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，得出的长是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，，

四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
即的半径为．
故答案为：．
连接，，由圆内接四边形可求得的度数，由圆周角定理可得，即可证得为等边三角形，进而可求解．
本题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明为等边三角形是解题的关键．
 

17.【答案】  ，，，，  

【解析】解：如图，在中，，，，

．
故答案为：．
如图，在边上取点，使，连接，，

，，
，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
作的外接圆交网格于、、、，
根据圆周角定理可得：，
根据题意得到点的轨迹为圆弧，当为直径时最长，即点位于点处时，最长，
在中，．
故答案为：、、、、，．
运用勾股定理即可求得答案；
在边上取点，使，连接，，可证得≌，进而可得是等腰直角三角形，再作的外接圆可得出符合条件的点，再运用圆的性质可知当为直径时最长，利用勾股定理可求得答案．
此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，圆周角定理，圆的性质等，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原方程左边因式分解，得
，
 或，
   ，   ． 

【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，也可用其它方法解方程．
 

19.【答案】解：Ⅰ一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球，
取出一个黑球；

Ⅱ画树状图得：

共有种等可能的结果，两次都摸出黑球的种情况，
两次都摸出黑球的概率为：． 

【解析】Ⅰ由一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个黑球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
Ⅱ首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸出黑球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：Ⅰ如图，连接，是的直径，
，
是弧的中点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
Ⅱ如图，连接，是的切线，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
． 

【解析】Ⅰ连接，根据圆周角定理得到，求得，推出是等腰直角三角形，得到，于是得到结论；
Ⅱ连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，过作，垂足为．
根据题意，，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
答：处与灯塔的距离约为． 

【解析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】      ，  当时，不合题意，故舍去   

【解析】解：因为年投入资金万元，则年投入资金为万元；
故答案为：．
因为年投入资金为万元，则年投入资金为万元．
故答案为：；
根据题意，列出相应方程为；
故答案为：；
解这个方程，得，；
故答案为：，；
检验：当时，不合题意，故舍去；
故答案为：当时，不合题意，故舍去；
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
故答案为：．
设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】解：Ⅰ如图中，

四边形是矩形，
，，，
在中，，
．

如图中，作轴于．

，
，
，
，


Ⅱ

，，
∽，
，
，
，
在中，，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
，
． 

【解析】Ⅰ如图，解直角三角形求出即可解决问题．
如图，如图中，作轴于想办法求出，即可．
Ⅱ利用相似三角形的性质求出，根据，构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：将代入抛物线中，
得，
将，代入抛物线中，
得，
；
如图，当时，，
抛物线的解析式为：，

抛物线的对称轴是：，
由对称性可得，
要使的周长最小，只需最小即可，
连接交直线于点，
点与点关于直线对称，
由对称性可知：，
此时的周长最小，
的周长为，
中，，
中，，
周长的最小值为；
当时，，
，
，，，
 ，
是等腰直角三角形，
，且直线的解析式为．
如图，过点作轴于，交于，

则是等腰直角三角形．
设，则，
，
，
当时，有最大值是，
当时，，
点的坐标为，
综上，点的坐标为时，有最大值是． 

【解析】将代入抛物线求得，将，代入抛物线求得；
如图，当时，，于是得到抛物线的解析式为，由对称性可得，要使的周长最小，只需最小即可，连接交直线于点，于是得到点与点关于直线对称，由对称性可知：，此时的周长最小，根据勾股定理即可得到结论；
根据，求得，于是得到，推出是等腰直角三角形，求得直线的解析式为如图，过点作轴于，交于，得到是等腰直角三角形．设，则，于是得到，于是得到结论．
本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．