新高考数学一轮复习《高考大题突破练--数列》课时练习(2份打包,教师版+原卷版)
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新高考数学一轮复习《高考大题突破练--数列》课时练习1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,S7=14,数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn=.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足cn=bncos anπ,求数列{cn}的前2n项和T2n.【答案解析】解:(1)设数列{an}的公差为d,由可得解得所以an=.由b1·b2·b3·…·bn=,可得b1·b2·b3·…·bn-1=(n≥2),两式相除得bn=2n(n≥2),当n=1时也适合该等式,故bn=2n.(2)cn=bncos anπ=2ncos nπ,所以T2n=c1+c2+c3+…+c2n-1+c2n=21cos π+22cos π+23cos π+…+22n-1·cos π+22ncos nπ=22cos π+24cos 2π+26cos 3π+…+22ncos nπ=-22+24-26+…+(-1)n22n=-.2.在①a1+1,a3-1,a6-3成等比数列,②S5是a3和a23的等差中项,③{a2n}的前6项和是78,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并完成解答.已知数列{an}为公差大于1的等差数列,a2=3,且前n项和为Sn,若________,数列{bn}为等比数列,b5=8b2且b4=a8+1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案解析】解:(1)设{an}的公差为d.若选条件①,则(a3-1)2=(a1+1)(a6-3),即(d+2)2=(4-d)×4d,所以d=2或d=,因为d>1,所以d=2,an=a2+(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1.若选条件②,则2S5=a3+a23,即2=a2+d+a2+21d,即10(a2-d)+20d=2a2+22d,解得d=2,所以an=2n-1.若选条件③,则a2+a4+a6+…+a12=6a2+×2d=18+30d=78,解得d=2,所以an=2n-1.设{bn}的公比为q,则=q3=8,则q=2,b4=a8+1=16,所以bn=b4·qn-4=16·2n-4=2n.(2)cn=(2n-1)·2n,则Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,两式相减得-Tn=21+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1=(-2n+3)×2n+1-6,所以Tn=(2n-3)2n+1+6.3.在①S5=50,②S1,S2,S4成等比数列,③S6=3(a6+2)这三个条件中任选两个,补充到下面问题中,并解答本题.问题:已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),前n项和为Sn,且满足________.(1)求an;(2)若bn-bn-1=2an(n≥2),且b1-a1=1,求数列{}的前n项和Tn.注:如果选择多种情况分别解答,按第一种解答计分.【答案解析】解:(1)选择条件①②,由S5=50,得5a1+d=5(a1+2d)=50,即a1+2d=10,由S1,S2,S4成等比数列,得S=S1S4,即4a+4a1d+d2=4a+6a1d,即d=2a1,解得a1=2,d=4,因此an=4n-2.选择条件①③,由S5=50,得5a1+d=5(a1+2d)=50,即a1+2d=10,由S6=3(a6+2),得=3a1+3a6=3a6+6,即a1=2,解得d=4,因此an=4n-2.选择条件②③,由S1,S2,S4成等比数列,得S=S1S4,4a+4a1d+d2=4a+6a1d,即d=2a1,由S6=3(a6+2),得=3a1+3a6=3a6+6,即a1=2,解得d=4,因此an=4n-2.(2)由a1=2,an=4n-2可得b1=3,bn-bn-1=2an=8n-4,当n≥2时,(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)=(8n-4)+(8n-12)+…+12==4n2-4,即bn-b1=4n2-4,则bn=4n2-1,当n=1时,b1=3,符合bn=4n2-1,所以当n∈N*时,bn=4n2-1,则==(),因此Tn==()=.4.设公差不为零的等差数列{an}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<.【答案解析】解:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则⇒或(舍去).故数列{an}的通项公式为an=7+2(n-1),即an=2n+5.(2)证明:由an=2n+5,得bn===.所以Sn=b1+b2+…+bn=+=<.5.在公差不为零的等差数列{an}中,a1=2,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前2n-1项和T2n-1.【答案解析】解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d)(d为等差数列{an}的公差),即(2+d)2=2(2+3d),又d≠0,所以d=2.故数列{an}的通项公式为an=2n.(2)由(1)得bn=(-1)n+1·,所以T2n-1=-+-+…-+=1+=.所以数列{bn}的前2n-1项和T2n-1=.6.已知数列{an}满足a1=1,an≠0,且an+1-an+3an+1an=0.(1)证明数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an·an+1}的前n项和Sn.【答案解析】解:(1)由an≠0,an+1-an+3an+1an=0可得-+3=0,即=+3.所以数列是公差d=3,首项==1的等差数列,故=1+3(n-1)=3n-2,所以an=.(2)由(1)知,an·an+1=×==.故数列{an·an+1}的前n项和Sn=+===.7.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a3=5,a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Sn是数列{bn}的前n项和.若对任意正整数n,不等式2Sn+(-1)n+1·a>0恒成立,求实数a的取值范围.【答案解析】解:(1)因为a3=5,a1,a2,a5成等比数列,所以解得a1=1,d=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)因为bn=====,所以Sn=b1+b2+…+bn=++…+=,依题意,对任意正整数n,不等式1-+(-1)n+1a>0,当n为奇数时,1-+(-1)n+1a>0即a>-1+,所以a>-;当n为偶数时,1-+(-1)n+1a>0即a<1-,所以a<.所以实数a的取值范围是.8.已知{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=1,a2=b2,a5=b3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记Sn=++…+,是否存在m∈N*,使得Sm≥3成立,若存在,求出m,若不存在,请说明理由.【答案解析】解:(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),数列{bn}的公比为q,则由题意知∴d=0或d=2,∵d≠0,∴d=2,q=3,∴an=2n-1,bn=3n-1.(2)由(1)可知,Sn=++…+=+++…++,Sn=+++…++,两式相减得,Sn=1+++…+-=1+×-=2-<2,∴Sn<3.故不存在m∈N*,使得Sm≥3成立.
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