新高考数学一轮复习《空间向量的概念与运算》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《空间向量的概念与运算》课时练习

一              、选择题

1.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A.a＋b－c         B.－a＋b＋c

C.a－b＋c         D.a＋b－c

【答案解析】答案为：B

解析：因为点M在线段OA上，且OM＝2MA，所以＝a，又点N为BC的中点，所以＝b＋c，故＝－＝b＋c－a＝－a＋b＋c.

2.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为(　　)

A.0         B.2          C.－1        D.－2

【答案解析】答案为：B

解析：因为＝－2＋5－m，动点Q在△ABC所在平面内运动，所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.

3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,1,1)，则(　　)

A.l∥α       B.l⊥α       C.l⊂α或l∥α      D.l与α相交

【答案解析】答案为：C

解析：∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,1,1)，∴a·n＝0，即a⊥n，∴l∥α或l⊂α.

4.已知平面α的法向量为a＝(2,3，－1)，平面β的法向量为b＝(1,0，k)，若α⊥β，则k等于(　　)

A.1        B.－1        C.2          D.－2

【答案解析】答案为：C

解析：由题知，a·b＝2＋0－k＝0，解得k＝2.

5.下列命题中正确的个数是(　　)

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面；

③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc；

④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}是空间向量的一个基底.

A.0          B.1        C.2         D.3

【答案解析】答案为：B

解析：①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；

②当a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面或在同一平面内，故②错误；

由空间向量基本定理知③正确；

④当a，b不共线且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)时，a，b，c共面，故④错误.

6.如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AC＝6，AB＝4，BD＝8，则CD的长为(　　)

A.          B.7          C.2          D.9

【答案解析】答案为：C

解析：因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以·＝0，·＝0，因为二面角为60°，所以·＝||·||·cos 60°＝6×8×＝24，即·＝－24，所以||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝36＋16＋64＋0－48＋0＝68，所以||＝2，即CD的长为2.

7.设O－ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)

A.(,,)      B.(,,)     C.(,,)       D.(,,)

【答案解析】答案为：A

解析：如图所示，连接AG1并延长，交BC于点M，则M为BC的中点，

＝(＋)＝(－2＋), ＝＝(－2＋).

∵OG＝3GG1，∴＝3＝3(－)，∴＝.

则＝＝(＋)＝(+﹣+)＝＋＋，

∴x＝，y＝，z＝.

8.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　 　)

A.x＝，y＝，z＝          B.x＝，y＝，z＝

C.x＝，y＝，z＝          D.x＝，y＝，z＝

【答案解析】答案为：D；

解析：设＝a，＝b，＝c，∵G分MN的所成比为2，∴＝，

∴＝＋＝＋(﹣)＝a＋(b＋c﹣a)＝a＋b＋c﹣a＝a＋b＋c，

即x＝，y＝，z＝.

9.已知二面角α﹣l﹣β等于120°，A，B是棱l上两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于 (　　)

A.         B.          C.2         D.

【答案解析】答案为：C

解析：依题意可知二面角α﹣l﹣β的大小等于与所成的角，因为＝＋＋，

所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，因为AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝1，

所以2＝1＋1＋1＋2·＝3＋2||||·cos〈，〉＝3＋2cos〈，〉，

因为〈，〉＝120°，所以〈，〉＝60°，

因此2＝3＋2×＝4，所以||＝2，故选C.

二              、多选题

10. (多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，下列结论正确的有(　　)

A.⊥                        B.⊥

C.是平面ABCD的一个法向量     D.∥

【答案解析】答案为：ABC.

解析：由题意，向量＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，

对于A，由·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，可得⊥，所以A正确；

对于B，由·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以⊥，所以B正确；

对于C，由⊥且⊥，可得向量是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；

对于D，由是平面ABCD的一个法向量，可得⊥，所以D不正确.

11. (多选)关于空间向量，以下说法正确的是(　　)

A.向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b

B.若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面

C.设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，a＋c}也是空间中的一组基底

D.若空间中四个点P，A，B，C，＝＋，则A，B，C三点共线

【答案解析】答案为：BCD.

解析：对于选项A，由a·b＝0，也可能是a＝0或b＝0，故错误；

对于选项B，因为对空间中任意一点O，＝＋＋，则(－)＋(－)＋(－)＝0，整理得＝－2－3.由空间向量基本定理可知点P，A，B，C四点共面，故正确；

对于选项C，由{a，b，c}是空间中的一组基底，则向量a，b，c不共面，可得向量a＋b，b＋c，a＋c也不共面，所以{a＋b，b＋c，a＋c}也是空间中的一组基底，故正确；

对于选项D，若空间中四个点P，A，B，C，＝＋，可得－＝(－)，即＝，则A，B，C三点共线，故正确.

12. (多选)给出以下命题，其中不正确的是(　　)

A.直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝(2,1,﹣)，则l与m垂直

B.直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α

C.平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β

D.平面α经过三个点A(1,0，－1)，B(0，－1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1

【答案解析】答案为：BCD.

解析：对于A，∵a·b＝2－1－1＝0，∴a⊥b，∴l与m垂直，A正确；

对于B，∵a与n不共线，∴直线l不垂直于平面α，B错误；

对于C，∵n1与n2不共线，∴平面α与平面β不平行，C错误；

对于D，＝(－1，－1,1)，＝(－1,3,0)，

由n·＝－1－u＋t＝0，n·＝－1＋3u＝0，解得u＝，t＝，∴u＋t＝，D错误.

三              、填空题

13.已知a＝(5,3,1)，b＝(﹣2,t,﹣)，且a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________________________.

【答案解析】答案为：(﹣∞,－)∪(－,).

解析：由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(﹣)＝3t－.

因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.

由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜.

若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，

即(5,3,1)＝λ(﹣2,t,﹣)，

所以解得t＝－，即t<且t≠－，

所以t的取值范围是(﹣∞,－)∪(－,).

14.已知A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为________.

【答案解析】答案为：(－1,0,2).

解析：由题意得＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，由⊥，得·＝x－1＋z＝0，由⊥，得·＝－2x－z＝0，解得故点P的坐标为(－1,0,2).

15.如图，在三棱锥D－ABC中，已知AB＝2，·＝－3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为________.

【答案解析】答案为：2.

解析：设＝a，＝b，＝c，∵AB＝2，∴|a＋b＋c|2＝4⇒a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝4，又∵·＝－3，∴(a＋c)·(－b－c)＝－3⇒a·b＋b·c＋c·a＋c2＝3，∴a2＋b2＋c2＋2(3－c2)＝4，又AD＝a，BC＝b，CD＝c，∴c2＝a2＋b2＋2，∴＝≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，即的最小值是2.

16.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，则AC1的长为________；异面直线BD1与AC夹角的余弦值为________.

【答案解析】答案为：，.

解析：设＝a，＝b，＝c，由已知得，a·b＝，b·c＝，a·c＝，|a|＝|b|＝|c|＝1，又＝a＋b＋c，∴||＝＝＝.∵＝b＋c－a，＝a＋b.∴cos〈，〉＝＝.