新高考数学一轮复习《三角函数的图象与性质》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《三角函数的图象与性质》课时练习

一              、选择题

1.函数y＝ 的定义域是(　　)

A.{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}    B.{x|kπ≤x≤kπ＋，k∈Z}

C.{x|kπ≤x≤kπ＋，k∈Z}      D.{x|kπ﹣≤x≤kπ＋，k∈Z}

【答案解析】答案为：D

解析：要使原函数有意义，则2cos 2x＋1≥0，即cos 2x≥﹣，

所以2kπ﹣≤2x≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以原函数的定义域为{x|kπ﹣≤x≤kπ＋，k∈Z}.

2.已知函数f(x)＝cos 2x﹣4sin x，则函数f(x)的最大值是(　　)

A.4         B.3          C.5           D.

【答案解析】答案为：B

解析：f(x)＝cos 2x﹣4sin x＝﹣2sin2x﹣4sin x＋1.令sin x＝t，则t∈[﹣1，1].令f(t)＝﹣2t2﹣4t＋1＝﹣2(t＋1)2＋3.当t∈[﹣1，1]时，函数f(t)单调递减.所以当t＝﹣1时，f(t)max＝3，此时f(x)的最大值是3.

3.函数f(x)＝sin x﹣cos(x＋)的值域为(　　)

A.[﹣2，2]         B.[﹣，]     C.[﹣1，1 ]       D.[﹣，]

【答案解析】答案为：B

解析：f(x)＝sin x﹣cos(x＋)＝sin x﹣cos x＋sin x＝sin(x﹣)，

∵sin(x﹣)∈[﹣1，1]，∴f(x)的值域为[﹣，].

4.下列函数中，周期为π的奇函数为(　　)

A.y＝sin xcos x        B.y＝sin2x

C.y＝tan 2x            D.y＝sin 2x＋cos 2x

【答案解析】答案为：A

解析：B项，y＝sin2x为偶函数，C项，y＝tan 2x的周期为，D项，y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确，只有A项中y＝sin xcos x＝sin 2x既是奇函数，且周期为π.

5.在函数y＝|sin x|，y＝tan x，y＝sin(2x＋)，y＝cos(2x＋)中，最小正周期为π的函数的个数为(　　)

A.1          B.2          C.3           D.4

【答案解析】答案为：D

解析：对于函数y＝|sin x|，可得f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|﹣sin x|＝|sin x|＝f(x)，

所以函数y＝|sin x|的周期T＝π，图象如图所示，结合图象，

可得函数y＝|sin x|的最小正周期为T＝π，符合题意；

对于函数y＝tan x，可得函数的最小正周期为T＝π，符合题意；

对于函数y＝sin(2x＋)，根据正弦函数的性质，可得函数的最小正周期为T＝＝π，符合题意；

对于函数y＝cos(2x＋)，根据余弦函数的性质，可得函数的最小正周期为T＝＝π，符合题意，故最小正周期为π的函数共有4个.

6.函数y＝tan(x﹣)的单调递增区间为(　　)

A.(kπ﹣，kπ＋)(k∈Z)    B.(kπ＋，kπ＋) (k∈Z)

C.(kπ﹣，kπ＋)(k∈Z)    D.(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)

【答案解析】答案为：A

解析：函数y＝tan(x﹣)，令kπ﹣＜x﹣＜kπ＋，k∈Z，即kπ﹣＜x＜kπ＋，k∈Z，所以函数的单调递增区间为(kπ﹣，kπ＋)(k∈Z).

7.下列函数中，周期为π，且在[，]上单调递减的是(　　)

A.y＝sin(x＋)         B.y＝cos(x＋)

C.y＝cos(2x＋)        D.y＝sin(2x＋)

【答案解析】答案为：D

解析：由题意得，函数的周期为π，只有C，D满足题意，函数y＝cos(2x＋)＝﹣sin 2x在[，]上单调递增，函数y＝sin(2x＋)＝cos 2x在[，]上单调递减，所以D选项符合题意.

8.函数y＝xsin x＋cos x，x∈(﹣π，π)的单调递增区间是(　　)

A.(﹣π，﹣)和(0，)     B.(﹣，0)和(0，)

C.(﹣π，﹣和(，π)      D.(﹣，0)和(，π)

【答案解析】答案为：A.

解析：∵y＝xsin x＋cos x，∴y′＝sin x＋xcos x﹣sin x＝xcos x，令y′>0且x∈(﹣π，π)，得当x∈(﹣π，0]时，若cos x＜0，则﹣π＜x＜﹣，当x∈(0，π)时，若cos x>0，则0＜x＜，∴函数的单调递增区间是(﹣π，﹣)和(0，).

9.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.[kπ﹣，kπ＋]，k∈Z        B.[2kπ﹣，2kπ＋]，k∈Z

C.[k﹣，k＋]，k∈Z            D.[2k﹣，2k＋]，k∈Z

【答案解析】答案为：D

解析：不妨设ω>0，由函数图象可知，其周期为T＝2，所以＝2，解得ω＝π，所以f(x)＝cos(πx＋φ).由图象可知，当x＝时，f(x)取得最小值，即f()＝cos(＋φ)＝﹣1，解得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z).令k＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos(πx＋).令2kπ≤πx＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得2k﹣≤x≤2k＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝cos(πx＋)的单调递减区间为[2k﹣，2k＋]，k∈Z.

10.函数f(x)＝sin2x＋cos 2x的最小正周期是(　　)

A.2π          B.        C.π          D.

【答案解析】答案为：C

解析：f(x)＝sin2x＋cos 2x＝sin2x＋cos2x﹣sin2x＝cos2x＝cos 2x＋，所以函数f(x)＝sin2x＋cos 2x的最小正周期是T＝＝＝π.

11.设函数f(x)＝2cos2(x＋)＋sin(2x＋)，x∈(0，3π)，则下列判断正确的是(　　)

A.函数的一条对称轴为x＝

B.函数在区间[,]上单调递增

C.∃x∈(0，3π)，使f(x)＝﹣1

D.∃a∈R，使得函数y＝f(x＋a)在其定义域内为偶函数

【答案解析】答案为：D

解析：函数f(x)＝1＋cos(2x＋)＋sin(2x＋)＝1＋cos 2x，对于A，当x∈(0，3π)，x＝时，2x＝不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，A错；

对于B，当x∈[,]时，2x∈[π,]，函数先增后减，B错；

对于C，若f(x)＝﹣1，那么cos 2x＝﹣不成立，C错；

对于D，当a＝时，f(x＋a)＝1﹣cos 2x，函数是偶函数，D正确.

12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为π，若f(0)＝，则函数f(x)图象的对称轴方程为(　　)

A.x＝kπ＋(k∈Z)          B.x＝＋(k∈Z)

C.x＝＋(k∈Z)          D.x＝kπ＋(k∈Z)

【答案解析】答案为：C

解析：∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(|φ|＜)的最小正周期为π，∴ω＝2，∵f(x)的图象经过点(0,).可得sin φ＝，∴φ＝2kπ＋，k∈Z或φ＝2kπ＋，k∈Z，∵|φ|＜，故φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.

二              、多选题

13. (多选)数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是(　　)

A.对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个

B.f(x)＝x3可以是某个圆的“优美函数”

C.正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“优美函数”

D.函数y＝f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形

【答案解析】答案为：ABC.

解析：对于A，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；

对于B，因为函数f(x)＝x3的图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数f(x)＝x3是该圆的“优美函数”，故选项B正确；

对于C，将圆的圆心放在正弦函数y＝sin x的对称中心上，则正弦函数y＝sin x是该圆的“优美函数”，故选项C正确；

对于D，函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，则函数y＝f(x)不一定是“优美函数”，如f(x)＝.函数y＝f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示，

所以函数y＝f(x)的图象是中心对称图形是函数y＝f(x)是“优美函数”的既不充分也不必要条件，故选项D错误.

14. (多选)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)·|sin x﹣cos x|，下列说法正确的是(　　)

A.f(x)是周期函数

B.f(x)在区间[﹣,]上单调递增

C.若|f(x1)|＋|f(x2)|＝2，则x1＋x2＝(k∈Z)

D.函数g(x)＝f(x)＋1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点

【答案解析】答案为：AC

解析：对于A项，显然2π是函数f(x)的周期，所以选项A正确；

对于B项，由题意得f(0)＝1，f()＝1，所以函数f(x)在区间[﹣,]上不是单调的，选项B错误；

对于C项，由题意得|f(x)|＝|sin x＋cos x|·|sin x﹣cos x|＝|cos 2x|≤1，因为|f(x1)|＋|f(x2)|＝2，所以只能有|f(x1)|＝|f(x2)|＝1，所以|cos 2x1|＝1，|cos 2x2|＝1，所以2x1＝k1π，2x2＝k2π，k1，k2∈Z，所以x1＋x2＝＝(k∈Z)，所以选项C正确；

对于D项，对x分类讨论，当x∈[0,]时，f(x)＝cos 2x，f(x)＋1＝0，所以cos 2x＝﹣1，显然无解；

当x∈(,]时，f(x)＝﹣cos 2x，f(x)＋1＝0，所以cos 2x＝1，所以x＝π；

当x∈(,2π]时，f(x)＝cos 2x，f(x)＋1＝0，所以cos 2x＝﹣1，所以x＝.

所以选项D错误.

三              、填空题

15.将函数y=cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是________．

【答案解析】答案为：；

解析：

函数y=cosx＋sinx=2sin的图像向左平移m(m>0)个单位长度后所得图像的函数式

是y=2sin，由于函数y=2sinx的图像至少向左平移个单位长度后可得到

关于y轴对称的图像，所以m＋的最小值是，故m的最小值是.

16.若函数f(x)=Acos2(ωx＋φ)＋1最大值为3，f(x)图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)=     .

【答案解析】答案为：4035；

解析：∵函数f(x)=Acos2(ωx＋φ)＋1=A·＋1

=cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，∴＋1＋=3，∴A=2.

根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，

即=4，∴ω=.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，

可得cos2φ＋1＋1=2，∴cos2φ=0，又0＜φ＜，∴2φ=，φ=.

故函数f(x)的解析式为f(x)=cos＋2=－sinx＋2，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)=

－

＋2×2 018=504×0－sin－sinπ＋4 036=－1＋4 036=4 035.