新高考数学一轮复习《数列的概念》课时练习(2份打包，教师版+原卷版)

新高考数学一轮复习

《数列的概念》课时练习

一              、选择题

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝n2﹣n时，a5等于(　　)

A.20        B.12           C.8           D.4

【答案解析】答案为：C

解析：由题意知，a5＝S5﹣S4＝20﹣12＝8.

2.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋n，则a9等于(　　)

A.20         B.30         C.36           D.28

【答案解析】答案为：A

解析：因为a1＝2,2an＋1＝2an＋n，所以an＋1﹣an＝，所以a9＝(a9﹣a8)＋(a8﹣a7)＋…＋(a2﹣a1)＋a1，所以a9＝＋＋…＋＋2＝＋2＝20.

3.已知数列{an}满足an﹣an﹣1＝n2＋tn，则“t≥0”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案解析】答案为：A

解析：若数列{an}是递增数列，则an﹣an﹣1＝n2＋tn＞0，即n(n＋t)＞0，

由于n∈N*，所以n＋t＞0对任意的n∈N*成立，所以t＞﹣1.

由于[0，＋∞)⊆(﹣1，＋∞)，故“t≥0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.

4.若数列{bn}满足：b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n﹣1)bn＝2n，则数列{bn}的通项公式为(　　)

A.bn＝2n﹣1     B.bn＝2n﹣1     C.bn＝     D.bn＝

【答案解析】答案为：D

解析：由题意知b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n﹣1)bn＝2n，①

当n＞1时，b1＋3b2＋7b3＋…＋(2n﹣1﹣1)bn﹣1＝2n﹣2，②

由①﹣②得，(2n﹣1)bn＝2⇒bn＝.

当n＝1时，b1＝2×1＝2也满足上式，即bn＝.

5.已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为(　　)

A.         B. 4﹣1       C.         D.

【答案解析】答案为：C

解析：由an＋1﹣an＝2n知，a2﹣a1＝2×1，a3﹣a2＝2×2，…，an﹣an﹣1＝2(n﹣1)，

将上述式子相加得，an﹣a1＝n2﹣n，∴an＝n2﹣n＋28，∴＝n＋﹣1，函数f(x)＝x＋﹣1在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又x∈N*，而5＜2＜6，且＝＜＝，∴的最小值为.

6.已知数列{an}满足a1＝，an＝an﹣1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项an等于(　　)

A.        B.     C.     D.

【答案解析】答案为：A.

解析：由数列{an}满足a1＝，an＝an﹣1(n≥2，n∈N*)，

整理得＝，＝，…，＝，

所有的项相乘得＝，整理得，an＝.

7.设[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣3.14]＝﹣4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则[＋＋…＋]等于(　　)

A.1         B.2          C.3          D.4

【答案解析】答案为：A

解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an﹣an﹣1＝n(n≥2).又a1＝1，

所以an＝(an﹣an﹣1)＋(an﹣1﹣an﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＋a1

＝n＋(n﹣1)＋(n﹣2)＋…＋2＋1＝，则＝＝2(﹣).

所以＋＋…＋＝2＝2＝.

所以[＋＋…＋]＝[]＝1.

8.已知数列{an}满足a1=0，an＋1=(n∈N*)，则a2 019=(　　)

A．－        B．0       C.       D．3

【答案解析】答案为：C；

解析：a1=0，a2==－.a3==，a4==0，a5==－，…，

由此可知，an＋3=an.又2 010=3×673，所以a2 010=a3=.

二              、多选题

9. (多选)已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0＜k＜1)，下列命题正确的有(　　)

A.当k＝时，数列{an}为递减数列

B.当k＝时，数列{an}一定有最大项

C.当0＜k＜时，数列{an}为递减数列

D.当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项

【答案解析】答案为：BCD.

解析：当k＝时，a1＝a2＝，A错误；当k＝时，＝·，当n＜4时，＞1，当n＞4时，＜1，所以可以判断{an}一定有最大项，B正确；当0＜k＜时，＝k·＜≤1，所以数列{an}为递减数列，C正确；当为正整数时，1＞k≥，当k＝时，a1＝a2＞a3＞a4＞…，当1＞k＞时，令＝m，m∈N*，解得k＝，则＝，当n＝m时，an＋1＝an，结合选项B，数列{an}必有两项相等的最大项，故D正确.

10. (多选)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中的每个正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{an}，a1＝a2＝1，an＝an﹣1＋an﹣2(n≥3)，边长为斐波那契数an的正方形所对应扇形面积记为bn(n∈N*)，则(　　)

A.3an＝an﹣2＋an＋2(n≥3)

B.a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝a2 023＋1

C.(b2 023﹣b2 022)＝a2 021·a2 024

D.b1＋b2＋b3＋…＋b2 022＝a2 022·a2 023

【答案解析】答案为：AD.

解析：由递推公式an＝an﹣1＋an﹣2(n≥3)，可得an＋2＝an＋1＋an＝2an＋an﹣1，an﹣2＝an﹣an﹣1，

所以an﹣2＋an＋2＝2an＋an﹣1＋an﹣an﹣1＝3an(n≥3)，A选项正确；又由递推公式可得a1＝1，a2＝a3﹣a1，a3＝a4﹣a2，类似的有an＝an＋1﹣an﹣1(n≥2)，累加得a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋an＋1﹣a2＝an＋2﹣1，故a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝a2 023﹣1，B选项错误；由题可知扇形面积bn＝a，故bn﹣bn﹣1＝(a﹣a)＝(an＋an﹣1)(an﹣an﹣1)＝an＋1·an﹣2，故b2 023﹣b2 022＝a2 021·a2 024，C选项错误；由an＝an﹣1＋an﹣2(n≥3)，得a＝a2·a1，a＝a2·a2＝a2·(a3﹣a1)＝a3·a2﹣a2·a1，a＝a3·a3＝a3·(a4﹣a2)＝a4·a3﹣a3·a2，类似的有a＝an·an＝an·(an＋1﹣an﹣1)＝an＋1·an﹣an·an﹣1，累加得a＋a＋a＋…＋a＝a＋(a3·a2﹣a2·a1)＋(a4·a3﹣a3·a2)＋…＋(an＋1·an﹣an·an﹣1)＝an＋1·an，又bn＝a，所以b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(a＋a＋a＋…＋a)＝an＋1·an，所以b1＋b2＋b3＋…＋b2 022＝a2 022·a2 023，D选项正确.

三              、填空题

11.设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)，则an＝________.

【答案解析】答案为：3n

解析：∵a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)，当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，得an＝2Sn﹣1＋3，两式相减，得an＋1﹣an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2an，∴an＋1＝3an，∴＝3，当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.∴数列{an}是以3为首项，3 为公比的等比数列，∴an＝3×3n﹣1＝3n.

12.数列{an}满足：a1＝1，且an＋1﹣an＝2n＋1，则an＝________.

【答案解析】答案为：2n＋n﹣2

解析：因为an＋1﹣an＝2n＋1，所以an﹣an﹣1＝2n﹣1＋1，an﹣1﹣an﹣2＝2n﹣2＋1，an﹣2﹣an﹣3＝2n﹣3＋1，…，a4﹣a3＝23＋1，a3﹣a2＝22＋1，a2﹣a1＝21＋1，将上述式子相加可得，

an﹣a1＝2＋22＋…＋2n﹣1＋(n﹣1)＝＋n﹣1＝2n＋n﹣3，

因为a1＝1，所以an＝2n＋n﹣2，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋n﹣2.

13.设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an＋1＝1﹣，则S2 023＝________.

【答案解析】答案为：.

解析：在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1﹣，则a2＝1﹣＝﹣1，a3＝1﹣＝2，a4＝1﹣＝，以此类推可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列，

∵2 023＝3×674＋1，因此，S2 023＝674S3＋a1＝674×(﹣1＋2)＋＝.

14.已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn-an=2n＋1，且Sn＋Tn=2n＋1＋n2-2，则2Tn=______．

【答案解析】答案为：2n＋2＋n(n＋1)-4；

解析：由题意知Tn-Sn=b1-a1＋b2-a2＋…＋bn-an=n＋2n＋1-2，又Sn＋Tn=2n＋1＋n2-2，

所以2Tn=Tn-Sn＋Sn＋Tn=2n＋2＋n(n＋1)-4．

15.设f(n)为正整数n(十进制)各位数上数字的平方和，例如f(123)＝12＋22＋32＝14，记a1＝f(n)，ak＋1＝f(ak)，k＝1,2,3,4，…，若n＝2 021，则a2 021＝________.

【答案解析】答案为：37.

解析：a1＝f(2 021)＝4＋4＋1＝9，a2＝f(9)＝81，

a3＝f(81)＝65，a4＝f(65)＝61，a5＝f(61)＝37，

a6＝f(37)＝58，a7＝f(58)＝89，

a8＝145，a9＝42，…，该数列从第5项开始是周期为8的周期数列，a2 021＝a5＝37.

16.若数列{an}满足＋＋＋…＋＝，若≤2恒成立，则λ的最大值是______.

【答案解析】答案为：2.

解析：由题意得＋＋＋…＋＝，①

＋＋＋…＋＝(n≥2)，②

①﹣②得＝﹣＝，所以＝，

所以an＝＝n﹣(n≥2)，适合n＝1，所以an＝n﹣，

所以数列{an}为递增数列，所以(an)min＝﹣＝1，

由题意得λ≤2an恒成立，所以λ≤2.所以λ的最大值是2.