2023年浙江省温州市中考数学第一次适应性试卷（含答案）

这是一份2023年浙江省温州市中考数学第一次适应性试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年浙江省温州市中考数学第一次适应性试卷
一、选择题。（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．（3分）计算：（﹣2）+3的结果是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
2．（3分）为了了解家里的用水情况，以便能更好的节约用水，小方把自己家1至6月份的用水量绘制成如图的折线图，那么小方家这6个月的月用水量最大是（　　）
A．1月 B．4月 C．5月 D．6月





3．（3分）如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝2a5 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a3）2＝a9
5．（3分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有两个相等实数根，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
7．（3分）某学习小组9名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人）
1
3
4
1
分数（分）
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85

8．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝4x2 C．y＝8x2 D．y＝9x2





9．（3分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（2，0），（6，0），AC⊥x轴，BC＝5，将△ABC沿x轴向右平移，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y＝x+b经过点A，C′，则点C′的坐标为（　　）
A．（5，3） B．（3，5） C．（6，4） D．（4，6）
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．P是BC边上一动点，以PC为直径作⊙O，连接AP交⊙O于点Q，连接BQ，点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、填空题。（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：m2﹣4＝　 　．
12．（4分）若分式的值为0，则x的值是　 　．
13．（4分）一个不透明的袋中，装有5个黄球，8个红球，7个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是　 　．
14．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为　 　．





15．（4分）魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF＝2，CF＝4，则AE的长为　 　．

16．（4分）如图，点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上（点A在点B的左侧），直线AB分别交x轴，y轴于点D，C，AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，连接AO，BE，已知AB＝2BD，△AOC与△BDF的面积之和是△ABE的面积的k倍，则k的值是　 　．

三、解答题。（本题有8小题，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（6分）（1）计算：； （2）化简：（2m+1）（2m﹣1）﹣4m（m﹣1）．



18．（6分）如图，在方格纸中，每个小正方形边长都是1，▱ABCD的四个顶点都在小方格的顶点上，按下列要求画一个面积与▱ABCD面积相等的四边形，使它的顶点均在方格的顶点上．（四边形的边用实线表示，顶点写上规定的字母）．
（1）在图甲中画一个矩形EFGH．
（2）在图乙中画一个菱形MNPQ．


19．（6分）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA．
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．


20．（8分）为了解学生每周课外体育活动时间的情况，某学校随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数．
（2）已知该校共有1200名学生，请估计每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有多少人？

21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：∠EDB＝∠B．
（2）若sinB＝，AB＝10，OA＝2，求线段DE的长．

22．（10分）某校准备组织师生共80人，从温州乘坐动车前往雁落山参加夏令营活动，教师按成人票价购买，学生按学生票价购买，动车票价格如表所示：
运行区间
成人票价（元/张）
学生票价（元/张）
出发站
终点站
一等座
二等座
二等座
温州南
雁落山
26
22
16
若师生均购买二等座票，则共需1370元．
（1）参加活动的教师和学生各有多少人；
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元．求y关于x的函数关系式．

23．（10分）如图，经过原点的抛物线y＝﹣x2+2mx（m＞1）交x轴正半轴于点A，过点P（1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C，连接CB，CP．
（1）用含m的代数式表示BC的长．
（2）连接CA，当m为何值时，CA⊥CP？
（3）过点E（1，1）作EF⊥BD于点E，交CP延长线于点F．
①当m＝时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；
②延长EF交AC于点G，在EG上取一点H，连接CH，若CH＝CG，且△PFE与△CHG的面积相等，则m的值是　 　．

24．（12分）如图，在矩形ABCD中，∠CAB＝30°，P是直线AC上一动点，连接BP并延长至点E，使BP＝PE，过点E作EF⊥AB于点F，交直线AC于点G，过点B作BH∥AC交直线EF于点H，以AP为直径的⊙O交直线AB于点Q．
（1）求证：AP＝EF；
（2）当点P在点C的右侧时，若AC＝3CP，且四边形BHGC的面积等于24，求⊙O的半径；
（3）若AB＝6，在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，四边形BHGC是菱形？
②连接PH，当⊙O与△BHP某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的FH的长．


2023年浙江省温州市中考数学第一次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．（4分）计算：（﹣2）+3的结果是（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
【解答】解：（﹣2）+3＝3﹣2＝1
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的加法，关键是掌握异号两数相加的计算法则，注意结果符号的判断．
2．（4分）为了了解家里的用水情况，以便能更好的节约用水，小方把自己家1至6月份的用水量绘制成如图的折线图，那么小方家这6个月的月用水量最大是（　　）

A．1月 B．4月 C．5月 D．6月
【分析】根据折线统计图的特点结合图形即可求解．
【解答】解：由统计图可知，小方家这6个月的月用水量最大是15吨，对应月份是4月．
故选：B．
【点评】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．读懂统计图，掌握统计图的特点是解决问题的关键．
3．（4分）如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2＝2a5 B．a3•a2＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a3）2＝a9
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则计算，判定即可．
【解答】解：a3与a2不是同类项，不能合并，A错误；
a3•a2＝a5，B错误；
a3÷a2＝a，C正确；
（a3）2＝a6，D错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键．
5．（4分）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3
【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①，得
x＞﹣1，
解不等式②，得
x＞3，
由①②可得，x＞3，
故原不等式组的解集是x＞3．
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
6．（4分）若关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有两个相等实数根，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【分析】根据一元二次方程的定义可得出a≠0，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣4a＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有两个相等实数根，
∴，
解得：a＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
7．（4分）某学习小组9名学生参加“生活中的数学知识竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人）
1
3
4
1
分数（分）
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　）
A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；可得答案．
【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y＝3x2 B．y＝4x2 C．y＝8x2 D．y＝9x2
【分析】设正方形的边长为a，易证四边形AFCE是平行四边形，所以四边形EHFG是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用x表示出EG，从而可求出y与x之间的关系式；
【解答】解：设正方形的边长为2a，
∴BC＝2a，BE＝a，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵EG⊥AF，FH⊥CE，
∴四边形EHFG是矩形，
∵∠AEG+∠BEC＝∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠AEG＝∠BCE，
∴tan∠AEG＝tan∠BCE，
∴＝，
∴EG＝2x，
∴由勾股定理可知：AE＝x，
∴AB＝BC＝2x，
∴CE＝5x，
易证：△AEG≌△CFH，
∴AG＝CH，
∴EH＝EC﹣CH＝4x，
∴y＝EG•EH＝8x2，
故选：C．
【点评】本题考查矩形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
9．（4分）如图，平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（2，0），（6，0），AC⊥x轴，BC＝5，将△ABC沿x轴向右平移，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y＝x+b经过点A，C′，则点C′的坐标为（　　）

A．（5，3） B．（3，5） C．（6，4） D．（4，6）
【分析】先根据勾股定理求出AC＝＝＝3，再由平移的性质得出A′C′＝AC＝3．把A（2，0）代入y＝x+b，求出b＝﹣2，再把y＝3代入y＝x﹣2，解得x＝5，即可求出点C′的坐标．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，0），（6，0），
∴AB＝6﹣2＝4，
∵AC⊥x轴，BC＝5，
∴AC＝＝＝3．
∵将△ABC沿x轴向右平移，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），
∴A′C′＝AC＝3．
∵直线y＝x+b经过点A（2，0），
∴2+b＝0，解得b＝﹣2，
∵直线y＝x﹣2经过点C′，
∴把y＝3代入y＝x﹣2，解得x＝5，
∴点C′的坐标为（5，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，坐标与图形变化﹣平移，求出点C′的纵坐标以及b的值是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．P是BC边上一动点，以PC为直径作⊙O，连接AP交⊙O于点Q，连接BQ，点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的大小变化情况是（　　）

A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【分析】如图，取AC的中点E，连接QE，连接BE，CQ．首先证明∠PQC＝∠CQA＝90°，由CE＝AE，推出QE＝AC，因为BQ≥BE﹣EQ，又BE，EQ是定值，推出当点Q落在BE上时，BQ的值最小，由此即可判断．
【解答】解：如图，取AC的中点E，连接QE，连接BE，CQ．

∵PC是直径，
∴∠PQC＝∠CQA＝90°，
∵CE＝AE，
∴QE＝AC，
∵BQ≥BE﹣EQ，又BE，EQ是定值，
∴当点Q落在BE上时，BQ的值最小，
∴点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，BQ的值先减小后增大，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题。（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　．
【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
12．（5分）若分式的值为0，则x的值是　3　．
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣3＝0且2x+5≠0，
解得x＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
13．（5分）一个不透明的袋中，装有5个黄球，8个红球，7个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是　　．
【分析】让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．
【解答】解：一个不透明的袋中，装有5个黄球，8个红球，7个白球共20个球，
从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率是＝．
故答案为．
【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为3，∠B＝140°，则弧AC的长为　π　．

【分析】连接AO，OC，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝40°，由圆周角定理得到∠AOC＝80°，根据弧长的公式即可得到结论．
【解答】解：连接AO，OC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝140°，
∴∠D＝40°，
∴∠AOC＝80°，
∴的长＝＝π，
故答案为π．

【点评】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
15．（5分）魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF＝2，CF＝4，则AE的长为　6　．

【分析】由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．
【解答】解：∵BF＝2，CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝2+4＝6，
∵AB∥EC，
∴＝，即＝，
解得：CE＝12，
在Rt△ADE中，AD＝6，DE＝DC+CE＝6+12＝18，
根据勾股定理得：AE＝＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查了勾股定理的证明，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
16．（5分）如图，点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上（点A在点B的左侧），直线AB分别交x轴，y轴于点D，C，AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，连接AO，BE，已知AB＝2BD，△AOC与△BDF的面积之和是△ABE的面积的k倍，则k的值是　　．

【分析】设A（a，），B（b，），根据AB＝2BD，得，利用三角函数得b＝3a，设BF＝y，则AE＝3y，OC＝4y，利用△AOC与△BDF的面积之和是△ABE的面积的k倍，列式可得结论．
【解答】解：设A（a，），B（b，），则b＞a，
∵AB＝2BD，
∴，
sin∠ADE＝，
∴＝，
即＝，＝，b＝3a，
∴OF＝3a，OE＝a，FD＝a，
∴设BF＝y，则AE＝3y，
∴OC＝4y，
∵S△AOC+S△BDF＝kS△ABE，
∴OC•OE+DF•BF＝k（S△COD﹣S△AOC﹣S△AOF﹣S△BDE），
•4y•a+•a•y＝k（•4a•4y﹣•a•4y﹣•3y•a﹣•3a•y），
4ya+ya＝k（16ya﹣4ya﹣3ya﹣3ya），
k＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，三角形的面积，有一定难度．利用比例式得出AE和BF的关系是解题的关键．
三、解答题。（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：；
（2）化简：（2m+1）（2m﹣1）﹣4m（m﹣1）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝4m2﹣1﹣4m2+4m
＝4m﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及平方差公式和单项式乘多项式法则等，正确化简各数和掌握运算法则是解题关键．
18．（8分）如图，在方格纸中，每个小正方形边长都是1，▱ABCD的四个顶点都在小方格的顶点上，按下列要求画一个面积与▱ABCD面积相等的四边形，使它的顶点均在方格的顶点上．（四边形的边用实线表示，顶点写上规定的字母）．
（1）在图甲中画一个矩形EFGH．
（2）在图乙中画一个菱形MNPQ．

【分析】（1）根据题意可知这个平行四边形面积＝15，根据面积相等这个条件，可以设计矩形的长和宽．
（2）根据菱形面积为15，可以确定菱形边长为5，高为3，画出图形即可．
【解答】解：（1）∵矩形EFGH的面积＝平行四边形ABCD面积＝15，
∴矩形的长、宽可以分别为5，3．
如图甲所示，矩形EFGH即为所求：


（2）∵菱形MNPQ的面积＝平行四边形ABCD的面积＝15，
∴菱形的边长为5，高为3即可．
如图乙所示，菱形MNPQ即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，掌握平行四边形、矩形、菱形的面积的求法是解题的关键，利用面积设计矩形边长、菱形的边长，是一个数形结合的好题目．
19．（8分）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA．
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数．

【分析】（2）由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA即可；
（2）由全等三角形的性质求出∠BAD＝35°，由直角三角形的性质求出∠BAC＝55°，即可得出所求．
【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°．
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；

（2）解：∵△ACB≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝35°，
∵∠BAC＝90°﹣∠ABC＝55°，
∴∠CAO＝∠BAC﹣∠BAD＝20°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABC≌△BAD是解题关键．
20．（8分）为了解学生每周课外体育活动时间的情况，某学校随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数．
（2）已知该校共有1200名学生，请估计每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有多少人？

【分析】（1）根据每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，可以求得每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数，从而可以求得2≤x＜4的学生数，从而可以将条形统计图补充完整，根据条形统计图可以得到这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（2）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生有：50×24%＝12（人），
则每周课外体育活动时间在2≤x＜4小时的学生有：50﹣5﹣22﹣12﹣3＝8（人），
由题意可得，＝5，
即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5；
（2）由题意可得，
全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有：1200×＝360（人），
即全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有360人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：∠EDB＝∠B．
（2）若sinB＝，AB＝10，OA＝2，求线段DE的长．

【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）作OF⊥AB于F，EH⊥AB于H．首先证明∠AOF＝∠B，根据sin∠AOF＝＝，求出AF、AD、BD，再在Rt△DEH中，解直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠EDB＝∠B．

（2）解：作OF⊥AB于F，EH⊥AB于H．
∵∠A+∠AOF＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠AOF＝∠B，
∴sin∠B＝sin∠AOF＝＝，
∵OA＝2，
∴AF＝，
∵OF⊥AD，
∴AD＝2AF＝，
∴DB＝AB﹣AD＝10﹣＝，
∵∠EDB＝∠B，
∴ED＝EB，∵EH⊥DB，
∴DH＝BH＝，
∵sin∠EDB＝sin∠B＝＝，设EH＝3k，DE＝5k，
在Rt△DEH中，∵DE2＝DH2+EH2，
∴DH＝4k＝，
∴k＝，
∴DE＝5k＝．

【点评】本题考查切线的性质，解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）某校准备组织师生共80人，从温州乘坐动车前往雁落山参加夏令营活动，教师按成人票价购买，学生按学生票价购买，动车票价格如表所示：
运行区间
成人票价（元/张）
学生票价（元/张）
出发站
终点站
一等座
二等座
二等座
温州南
雁落山
26
22
16
若师生均购买二等座票，则共需1370元．
（1）参加活动的教师和学生各有多少人；
（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元．求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）设参加活动的教师有a人，学生有b人，根据等量关系：师生共80人；若师生均购买二等座票，则共需1370元；列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据购买一、二等座票全部费用＝购买一等座票钱数+教师购买二等座票钱数+学生购买二等座票钱数，依此可得解析式．
【解答】解：（1）设参加活动的教师有a人，学生有b人，依题意有
，
解得．
故参加活动的教师有15人，学生有65人；
（2）依题意有：y＝26x+22（15﹣x）+16×65＝4x+1370．
故y关于x的函数关系式是y＝4x+1370（0＜x＜15）．
【点评】本题主要考查对一次函数，二元一次方程组等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
23．（12分）如图，经过原点的抛物线y＝﹣x2+2mx（m＞1）交x轴正半轴于点A，过点P（1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C，连接CB，CP．
（1）用含m的代数式表示BC的长．
（2）连接CA，当m为何值时，CA⊥CP？
（3）过点E（1，1）作EF⊥BD于点E，交CP延长线于点F．
①当m＝时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；
②延长EF交AC于点G，在EG上取一点H，连接CH，若CH＝CG，且△PFE与△CHG的面积相等，则m的值是　　．

【分析】（1）先确定B（1，2m﹣1）和抛物线的对称轴，则利用对称性得到C（2m﹣1，2m﹣1），于是可用m表示BC的长；
（2）解方程﹣x2+2mx＝0得A（2m，0），再利用两点间的距离公式得到PC2＝5m2﹣10m+5，AC2＝4m2﹣4m+2，PA2＝5m2﹣4m+1，然后利用勾股定理得到5m2﹣10m+5+4m2﹣4m+2＝5m2﹣4m+1，再解方程即可得到m的值；
（3）①当m＝时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x，C点坐标为（，），P点坐标为（1，），再利用待定系数法求出直线PC的解析式为y＝x+，则可得到F（，1），然后根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点F是否在抛物线上；
②作CM⊥HG于M，利用等腰三角形的性质得GM＝HM，易得直线PC的解析式为y＝x+m﹣，直线AC的解析式为y＝（﹣2m+1）x+4m2﹣2m，再分别求出F（3﹣2m，1），G（，1），然后利用三角形面积公式得到（1﹣3+2m）•（m﹣1）＝2（2m﹣1﹣1）•（﹣2m+1），整理得2m2﹣7m+5＝0，于是解方程可得到m的值．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x2+2mx＝2m﹣1，则B（1，2m﹣1），
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∴C（2m﹣1，2m﹣1），
∴BC＝2m﹣1﹣1＝2m﹣2；
（2）当y＝0时，﹣x2+2mx＝0，解得x1＝0，x2＝2m，则A（2m，0），
PC2＝（2m﹣1﹣1）2+（2m﹣1﹣m）2＝5m2﹣10m+5，AC2＝（2m﹣1﹣2m）2+（2m﹣1）2＝4m2﹣4m+2，PA2＝（2m﹣1）2+m2＝5m2﹣4m+1，
当PC2+AC2＝PA2，△PCA为直角三角形，PC⊥AC，
即5m2﹣10m+5+4m2﹣4m+2＝5m2﹣4m+1，
整理得2m2﹣5m+3＝0，解得m1＝，m2＝1（舍去），
即当m为时，CA⊥CP；
（3）①在．
理由如下：
当m＝时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x，C点坐标为（，），P点坐标为（1，），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，
把C（，），P（1，）代入得，解得，
∴直线PC的解析式为y＝x+，
当y＝1时，x+＝1，解得x＝，则F（，1），
而x＝时，y＝﹣x2+x＝﹣+＝1，
∴点F在抛物线上；
②作CM⊥HG于M，则GM＝HM，
P（1，m），C（2m﹣1，2m﹣1），A（2m，0），
易得直线PC的解析式为y＝x+m﹣，直线AC的解析式为y＝（﹣2m+1）x+4m2﹣2m，
当y＝1时，x+m﹣＝1，解得x＝3﹣2m，则F（3﹣2m，1），
当y＝1时，（﹣2m+1）x+4m2﹣2m＝1，解得x＝，则G（，1），
∵△PFE与△CHG的面积相等，
∴•EF•PE＝2••CM•GM，
即（1﹣3+2m）•（m﹣1）＝2（2m﹣1﹣1）•（﹣2m+1）
整理得2m2﹣7m+5＝0，解得m1＝，m2＝1（舍去），
即m的值为．
故答案为．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
24．（14分）如图，在矩形ABCD中，∠CAB＝30°，P是直线AC上一动点，连接BP并延长至点E，使BP＝PE，过点E作EF⊥AB于点F，交直线AC于点G，过点B作BH∥AC交直线EF于点H，以AP为直径的⊙O交直线AB于点Q．
（1）求证：AP＝EF；
（2）当点P在点C的右侧时，若AC＝3CP，且四边形BHGC的面积等于24，求⊙O的半径；
（3）若AB＝6，在点P的整个运动过程中，
①当AP为何值时，四边形BHGC是菱形？
②连接PH，当⊙O与△BHP某一边所在的直线相切时，求出所有满足条件的FH的长．

【分析】（1）如图1中，设⊙O交AF于M，连接PM．只要证明EF＝2PM，AP＝2PM，即可解决问题；
（2）如图2中，作BN⊥AC于N，设PC＝PG＝a，则AC＝3a，BC＝，BN＝a，利用面积公式求出a即可解决问题；
（3）①分两种情形如图3中，当四边形CGHB是菱形时．如图4中，当四边形BCGH是菱形时．分别求解即可；
②分三种情形讨论：⊙O与PB相切，⊙O与BH相切，⊙O与PH相切，分别求解即可；
【解答】（1）证明：如图1中，设⊙O交AF于M，连接PM．

∵AP是直径，
∴∠AMP＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AMP＝∠AFE＝90°，
∴PM∥EF，
∵BP＝PE，
∴BM＝MF，
∴EF＝2PM，
在Rt△APM中，∵∠PAM＝30°，
∴AP＝2PM，
∴AP＝EF．

（2）解：如图2中，作BN⊥AC于N，设PC＝PG＝a，则AC＝3a，BC＝，BN＝a，

由题意2a•a＝24，
解得a＝4，
∴AP＝4a＝16，
∴OA＝8，
∴⊙O的半径为8．

（3）①如图3中，当四边形CGHB是菱形时，

∵∠GCB＝60°，
∴△CGB是等边三角形，
∵EG＝BC，EG∥CB，
∴四边形BCEG是平行四边形，∵BG＝BC，
∴四边形BCEG是菱形，
∴BE⊥AC，
∴AP＝AB•cos30°＝6×＝3．
如图4中，当四边形BCGH是菱形时，

易知BC＝CG＝2，AC＝4，PC＝PG＝，
∴AP＝5，
综上所述，满足条件的AP的值为3或5．

②如图5中，当⊙O与PB相切时．
易知：BE⊥AP，由①可知，AF＝BF＝3，FH＝BF•tan30°＝．


如图6中，当⊙O与BH相切时．易知AP＝6，PC＝PG＝AC﹣AP＝4﹣6，
∴AG＝AP﹣PG＝12﹣4，
∴AF＝AG•cos30°＝6﹣6，BF＝AB﹣AF＝12﹣6，
∴FH＝BF•tan30°＝4﹣6．


如图7中，当⊙O与PH相切时，由①可知，BH＝BC＝CG＝GH＝2，
∴FH＝BH＝，

综上所述，当⊙O与△BHP某一边所在的直线相切时，FH的长为或4﹣6．
【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
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