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高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 向心力优秀课时作业
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 向心力优秀课时作业，文件包含新课改-高中物理-必修第2册06B向心力中档版教师版docx、新课改-高中物理-必修第2册06B向心力中档版学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共105页， 欢迎下载使用。
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.
2.方向：始终沿着半径指向圆心.
3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝meq \f(v2,r)
(2)Fn＝mω2r.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示.
图
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小.
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向.
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
知识点一：实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
图
2.实验步骤
在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一 手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二 手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三 改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四 手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
图
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
图
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
②m、ω一定(表二)
③r、ω一定(表三)
(2)数据处理
分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.
(3)实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
例题精练
1．（2021•山东）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021•浙江模拟）立春以来，鲜花掩映的重庆轨道交通2号线引爆朋友圈，被网友称为“开往春天的列车”。如图所示为网友所拍的列车经过某一转弯处的照片。则下列说法中符合事实的是（ ）
A．列车转弯的向心力可能只由重力和支持力提供
B．列车受到重力、支持力和向心力的作用
C．列车速度超过设计时速时会受到离心力的作用
D．列车转弯时车内的物品有向内滑的趋势
随堂练习
1．（2021•江西模拟）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，重力加速度取g＝10m/s2，下列说法中正确的有（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
2．（2021春•上高县校级月考）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点时，轻杆对小球的作用力可能比小球在最低点时大
B．小球在最低点时，轻杆对小球的作用力恰好提供向心力
C．t2时刻小球通过最高点
D．图乙中S1和S2的面积相等
3．（2021•烟台模拟）如图所示，在粗糙水平地面上放上一个质量为M的支架，支架顶端固定一根长为L的轻绳，轻绳另一端连接一个质量为m的小球（小球的半径忽略不计）。开始时小球静止在底端，现给小球一初速度v0＝，使小球在竖直平面内做圆周运动，支架始终保持静止不动。已知支架与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。当小球到达与圆心O等高的位置时，地面对支架摩擦力的大小为（ ）
A．4mgB．3mgC．5mgD．μ（M+m）g
4．（2021春•仓山区校级期中）如图所示，两个相同的小木块A和B（均可看作质点），用长为L的轻绳连接，沿半径方向依次放置，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，圆盘转动的角速度为a，下列说法正确的是（ ）
A．木块A、B所受的摩擦力始终相等
B．木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍
C．当ω＝时，轻绳开始产生弹力
D．若ω＝，木块A、B将要相对圆盘发生滑动
知识点二：向心力的分析和公式的应用
一、向心力的理解及来源分析
导学探究
1.如图1所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.
图1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
答案 (1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.
(2)合力的大小F＝meq \f(v2,r).
2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？
答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知识深化
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
二、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.
图5
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
答案 (1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.
(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大.
知识深化
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
例题精练
1．（2021•三元区校级模拟）高铁是中国“新四大发明”之一，具有极好的稳定性。如图，列车沿水平直线方向高速运行时，硬币可直立在水平窗台上，列车转弯时，硬币倾倒。在列车行驶过程中，该硬币（ ）
A．直立阶段一定处于受力平衡状态
B．直立阶段可能受到窗台的摩擦力作用
C．转弯时，硬币一定会向弯道内侧倾倒
D．列车沿直线方向加速和减速行驶时，硬币都受到与列车运动方向相反的摩擦力作用
2．（2021•南山区校级模拟）小朋友经常玩的手流星模型简化为如图所示，长均为L的两根不可伸长的轻绳，一端共同系住质量为m的小球（可看作质点），另一端分别拽在等高的左右手A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动之后，手保持不动，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点和最低点时，绳子拉力大小差值为6mg
B．若小球恰能完成圆周，则运动到最低点时，绳子拉力大小为6mg
C．若小朋友累了，静止不转动时，突然左手松开了，这一瞬间小球加速度为g
D．若小朋友累了，静止不转动时，突然左手松开了，这一瞬间右手连接小球的绳子拉力大小为mg
随堂练习
1．（2021•义乌市模拟）C919中型客机全称COMACC919，是我国首款按照最新国际适航标准，具有自主知识产权的干线民用飞机，由中国商用飞机有限责任公司研制，当前己有6架C919飞机完成取证试飞工作，预计2021年正式投入运营。如图所示的是C919客机在无风条件下，飞机以一定速率v在水平面内转弯，如果机舱内仪表显示机身与水平面的夹角为θ，转弯半径为r，那么下列的关系式中正确的是（ ）
A．r＝B．r＝C．r＝D．r＝
2．（2021•泰安四模）如图所示，半径为R的圆形轨道竖直固定在水平桌面上，AB为其水平直径，C为最低点，D为最高点，轨道的ACB段粗糙、ADB段光滑。质量为m的物块（可视为质点）从A点以初速度v0（未知）沿轨道向上运动，运动到D点时对轨道的压力恰好为0，运动到C点时对轨道的压力为5mg。已知物块与轨道ACB段间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块的初速度大小为
B．物块与轨道ACB段间的动摩擦因数为
C．若将物块从A点由静止释放，物块运动到C点的速度大于
D．若初速度v0沿轨道向下，则物块运动到C点时对轨道的压力小于5mg
3．（2021•重庆模拟）如图1所示为“铁笼飞车”的特技表演，其抽象出来的理想模型为如图2所示的内壁光滑的圆球，其中a、b、c分别表示做圆周运动时的不同轨道，a轨与b轨均水平，c轨竖直，一质点在球内绕其光滑内壁做圆周运动时，下列有关说法正确的是（ ）
A．沿a轨可能做变速圆周运动
B．沿c轨运动的最小速度为0
C．沿a轨运动的速度比沿b轨运动的速度大
D．沿a轨运动的周期比沿b轨运动的周期大
4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图所示，在水平转台的某一半径上的两点AB下固定长度相等的轻质细绳，细绳另一端有质量相等的两相同小球1和小球2。当水平转台绕着竖直轴做匀速转动稳定时（ ）
A．两小球线速度大小相等
B．两小球向心加速度大小相等
C．细线与竖直方向的夹角θ1大于θ2
D．小球1所受细绳的拉力小于小球2所受细绳的拉力
综合练习
一．选择题（共15小题）
1．（2021春•大竹县校级月考）一箱土豆在转盘上随转盘以角速度ω做匀速圆周运动，其中一个处于中间位置的土豆质量为m（可视为质点），它到转轴的距离为R，则其他土豆对该土豆的作用力为（ ）
A．mgB．mω2R
C．D．
2．（2021•重庆模拟）如图1所示为“铁笼飞车”的特技表演，其抽象出来的理想模型为如图2所示的内壁光滑的圆球，其中a、b、c分别表示做圆周运动时的不同轨道，a轨与b轨均水平，c轨竖直，一质点在球内绕其光滑内壁做圆周运动时，下列有关说法正确的是（ ）
A．沿a轨可能做变速圆周运动
B．沿c轨运动的最小速度为0
C．沿a轨运动的速度比沿b轨运动的速度大
D．沿a轨运动的周期比沿b轨运动的周期大
3．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图所示，在水平转台的某一半径上的两点AB下固定长度相等的轻质细绳，细绳另一端有质量相等的两相同小球1和小球2。当水平转台绕着竖直轴做匀速转动稳定时（ ）
A．两小球线速度大小相等
B．两小球向心加速度大小相等
C．细线与竖直方向的夹角θ1大于θ2
D．小球1所受细绳的拉力小于小球2所受细绳的拉力
4．（2021•柯桥区模拟）实际的过山车并不是严格的正圆轨道，而是上下高、左右窄的扁形轨道，如图所示，某一过山车从确定高度静止下滑，不计一切摩擦，在经过扁形轨道最高点与经过相同高度正圆形轨道最高点相比（ ）
A．经过圆形轨道最高点的速度更大
B．经过扁形轨道最高点时的机械能更大
C．经过圆形轨道时的加速度更大
D．经过扁形轨道时对轨道的压力更大
5．（2021春•城关区校级期中）如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F﹣v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0，﹣b），斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨道半径为
C．图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的合外力为零
D．当v2＝a时，小球通过最高点时的向心加速度为g
6．（2021春•安徽月考）如图所示，质量为m的物体（可视为质点）放置在水平圆形转台上，与转台一起绕转台中心的竖直轴做圆周运动，转台的角速度为ω，无论转台匀速、减速或者加速转动，物体总是与转台保持相对静止，物体到转台轴心的距离为l，物体与转台间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．物体受到重力、转台的支持力、摩擦力和向心力的作用
B．若转台匀速转动，则物体受到的摩擦力大小为μmg
C．物体所受摩擦为的方向总是指向转台轴心
D．转台的角速度始终小于
7．（2021春•郑州期末）甲图是洗衣机脱水桶甩干衣服的情境，乙图是两个圆锥摆，丙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。关于这三种圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中衣服随脱水桶一起匀速转动的过程中，桶对衣服的摩擦力提供向心力
B．乙图中两小球的线速度大小相等
C．乙图中两小球具有相同的运动周期
D．丙图中a球的角速度大于b球的角速度
8．（2021春•荔湾区校级月考）用长为L的轻质细线，拴住质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球可能做匀速圆周运动
B．小球在最高点细线对球作用力不可能为零
C．小球在最低点细线对球作用力不一定大于重力
D．若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则它在最高点的速率为
9．（2021春•郑州期末）如图所示，公园里一个质量为m的小朋友在荡秋千，两根轻质吊线平行，小朋友可视为质点，重力加速度为g。已知小朋友运动到最高点时吊线与竖直方向的夹角为θ＝60°，吊板质量不计，则小朋友运动到最低点时每根吊线对他的拉力大小为（ ）
A．mgB．mgC．mgD．2mg
10．（2021春•荔湾区校级月考）在光滑的水平面上，放一根原长为L的轻质弹簧，一端固定，另一端系一个小球，现使小球在该水平面内做匀速圆周运动，当运动半径为2L时，小球的速率为v1；当运动半径为3L时，小球的速率为v2，设弹簧伸长仍在弹性限度内，则v1：v2为（ ）
A．1：B．：C．1：3D．2：3
11．（2021春•越秀区月考）石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一、假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R。一辆质量为m的汽车以速度v匀速通过该桥，图中Q为拱形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90°，P、S关于QO对称，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受合力始终为0
B．汽车从P点运动到S点所用的时间为
C．汽车运动到Q点时牵引力大于阻力
D．汽车运动到Q点时，桥面对汽车的支持力大于mg
12．（2021春•昭通月考）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径。在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（ ）
A．物块始终受到两个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从c到d，物块所受的摩擦力先增大后减小
D．从b到a，物块处于失重状态
13．（2021•上海学业考试）有一个半径为r圆形的光滑轨道，一个质点以v＝的速度从轨道底部驶入，当到达与圆心等高的点时，关于它的速度v与加速度a，下列说法中正确的是（ ）
A．v＝0，a＝0B．v≠0，a＝0C．v＝0，a≠0D．v≠0，a≠0
14．（2021春•广州月考）下列关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是其中某一种力的分力或某几种力的合力
D．向心力不但改变物体运动的方向，也改变物体运动的快慢
15．（2021春•荔湾区校级月考）如图所来，一个女孩尝试站着荡秋千。已知秋千的两根绳长均为5m，女孩和秋千踏板的总质量约为30kg，绳的质量忽略不计。当女孩运动到最低点速度大小为5m/s，此时每根绳子平均承受的拉力最接近于（ ）
A．150NB．200NC．225ND．400N
二．多选题（共15小题）
16．（2021•雨花区校级模拟）A、B两小球分别固定在轻杆的正中间和一端，轻杆的另一端固定在水平光滑转轴O上，让轻杆在竖直平面内转动，如图所示。两球质量均为m，轻杆长度为2l，重力加速度为g，若系统恰能在竖直平面内做圆周运动，那么（ ）
A．小球B在经过最低点时的动能为4mgl
B．从最低点运动到最高点，轻杆对小球A做的功为
C．转动中小球B的机械能守恒
D．通过最低点时OA段轻杆的弹力为
17．（2021•宝鸡模拟）图甲、乙、丙、丁是圆周运动的一些基本模型，下列说法正确的有（ ）
A．如图，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态
B．如图，两个圆锥摆A和B处于同一水平面，两圆锥摆的角速度大小相等
C．如图，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对火车轮缘会有挤压作用
D．如图，同一小球在固定的光滑圆锥筒内的C和D位置先后做匀速圆周运动，两位置小球运动的周期相等
18．（2021春•仓山区校级期中）如图所示，竖直放置的半径为r的光滑圆轨道被固定在水平地面上，最低点处有一小球（可视为质点），现给小球一水平向右的初速度v0，要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足（ ）
A．v0B． v0C．v0 D．v0≤
19．（2021•潍坊模拟）如图1所示，O点处固定有力传感器，长为l的轻绳一端与力传感器相连，另一端固定着一个小球。现让小球在最低点以某一速度开始运动，设轻绳与竖直方向的角度为θ（如图所示），图2为轻绳弹力大小F随csθ变化的部分图像。图2中a为已知量，不考虑空气阻力，重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球质量为
B．小球在与圆心等高处时的速度为
C．小球运动到θ＝45°时的动能为mgl
D．小球在最低点时对细线的拉力为5a
20．（2021春•进贤县校级月考）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力为F（取竖直向下为正方向），小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图象如乙图所示．则（ ）
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
21．（2021春•郑州期末）在半径为R＝m的球壳内的最低点竖立一高度为R＝m的支架，在支架上放置一质量为m＝0.1kg的小球，小球以水平速度v0＝m/s抛出，打在球壳上，重力加速度g＝10m/s2，则（ ）
A．小球飞行时间为S
B．小球打在球壳上的位置与球心连线与竖直方向的夹角的正切值为
C．小球落到球壳上时动能为Ek＝1.5J
D．小球落到球壳上时速度方向与球壳垂直
22．（2021•武平县校级模拟）天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1≠m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2：m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1：m2
23．（2021春•荔湾区校级月考）如图所示，有一长度为L的轻绳上有一小球随轻绳在竖直平面内做圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点可能不受绳的拉力，此时速度为0
B．小球在最低点处由重力提供向心力
C．小球在最低点一定受绳的拉力
D．小球在最高点处可以仅由重力提供向心力
24．（2021春•越秀区校级月考）如图为过山车以及轨道简化模型，过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是（ ）
A．过山车在圆轨道上做匀速圆周运动
B．过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于
C．过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态
D．若过山车能顺利通过整个四轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力
25．（2021春•荔湾区校级月考）如图所示，a、b、c三物体放在旋转水平圆台上，它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知a的质量为m，b和c的质量均为2m，a、b离轴距离为R，c离轴距离为2R。当圆台转动时，三物均没有打滑（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则（ ）
A．这时c的向心力最大
B．若逐步增大圆台转速，b比a先滑动
C．若逐步增大圆台转速，c比b先滑动
D．这时a物体受的摩擦力最小
26．（2021•3月份模拟）如图甲所示，光滑水平轨道与光滑半圆轨道相连接。小球从水平轨道上以某一速度进入半圆轨道，小球经过半圆轨道最高点B时的速度的平方v2与此时轨道与小球间弹力F的关系如图乙所示，重力加速度取g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．半圆轨道的半径为R＝0.4m
B．小球的质量为m＝1.0kg
C．若小球恰好通过最高点B，则落地点与A点相距x＝1.5m
D．若小球恰好能通过最高点B，小球在A点的动量大小为p＝5kg•m/s
27．（2021•湖南模拟）如图，质量为M的物块A放在倾角为θ的斜面上，一质量为m的小球B通过细绳跨过定滑轮与物块A相连，当小球B以角速度ω做圆周运动时，物块A刚好保持静止。忽略绳与滑轮间摩擦，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．物块A受到的摩擦力可能向下
B．物块A可能不受摩擦力作用
C．若斜面倾角θ增大，要使A继续保持静止，小球B做圆周运动的角速度一定增大
D．若斜面倾角θ增大，要使A继续保持静止，小球B做圆周运动的角速度可能保持不变
28．（2021春•河西区校级月考）如图所示，下列有关生活中圆周运动实分析，其中说法正确的是（ ）
A．图中，汽车通过凹形桥的最低点时速度不超过
B．图中，“水流星”匀速转动过程中，在最低处水对桶底的压力最大
C．图中，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
D．图中，小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球向心加速度相等
29．（2021春•南宁月考）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r、RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速从零缓慢增大到两物体刚好还未发生滑动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的摩擦力一直增大
B．角速度为ω＝ 时物块恰好相对圆盘滑动
C．A受到摩擦力方向指向圆心
D．细线最大拉力是3μmg
30．（2021春•横峰县校级月考）如图所示，质量为m的小明（视为质点）坐摩天轮。小明乘坐的车厢与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为k（常数k＜1，g为重力加速度大小）的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在车厢水平座垫上且双脚离地，则下列说法正确的是（ ）
A．小明通过最高点时不受重力
B．小明做匀速圆周运动的周期为
C．小明通过最高点时处于完全失重状态
D．小明通过最低点时对车厢座垫的压力大小为（1+k2）mg
三．填空题（共10小题）
31．（2021•泉州模拟）如图，两根相同的轻绳将一重力为G的小球悬挂在水平天花板下，静止时轻绳与天花板的夹角均为30°，则每根轻绳的拉力大小均为 ；现剪断一根轻绳，当球摆至最低点时，轻绳的拉力大小为 。
32．（2021春•鼓楼区校级期中）如图所示，竖直平面内的光滑轨道由直轨道AB和圆弧轨道BC组成，圆弧轨道半径R＝0.4m。小球从斜面上A点由静止开始滑下，刚好能滑到轨道的最高点C（过B点时没有能量损失），则小球在C的速度大小vC＝ m/s，A点到B点的高度h＝ m（g取10m/s2）。
33．（2021春•宝山区校级期中）如图所示，轻质细线一端系一质量为0.1kg的小球，另一端套在图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径a为0.3m、线速度为0.4m/s的匀速圆周运动。现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被A正上方距A高h为0.2m的图钉B套住，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。小球在图钉A拔掉后被图钉B套住前运动了 s；稳定后细线拉力变为1.152×10﹣2N，则速度变为原来的 倍。
34．（2021春•河南期中）一列车以恒定速率v＝54km/h在水平面内做半径r＝1800m的圆周运动。质量m＝50kg的实验员坐在列车的座椅上相对列车静止。根据上述实验数据，推算出实验员做圆周运动的角速度大小ω＝ rad/s，向心加速度大小a＝ m/s2，所受合力大小Fn＝ N。（结果均用分式表示）
35．（2021春•宝山区校级期中）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，二者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m＝kg的小球上，OA＝OB＝AB＝0.8m。现转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直面内，且转动过程AB、OB两绳始终处于拉直状态；则AB绳的最大拉力为 N；OB绳的最大拉力为 N。
36．（2021春•莲湖区校级月考）随着航天技术的发展，许多实验可以搬到太空中进行。飞船绕地球做匀速圆周运动时，无法用天平称量物体的质量。假设某宇航员在这种环境下设计了如图所示装置（图中O为光滑的小孔）来间接测量物体的质量：给待测物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动。设飞船中具有基本测量工具：
（1）物体与桌面间的摩擦力可以忽略不计，原因是 ；
（2）实验时测得的物理量有弹簧秤示数F、圆周运动的周期T和圆周运动的半径R，则待测物体质量的表达式为M＝ 。
37．（2021•松江区二模）汽车以10m/s的速率转过一环形车道，车上某同学发现水平手机上“指南针”在2s内匀速转过了约30°，则环形车道半径约为 m；为估算汽车受到的向心力大小还需知道的物理量是 。
38．（2021春•河南月考）如图所示，水平面上有一半球形碗，O1为球心，在半径为R的半球形碗口（位置1）处放一个可视为质点的小木块，木块与碗的动摩擦因数为μ。从小木块随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，碗转动的角速度大小为 。若换一光滑可视为质点的小木块放在位置2，小木块到圆心O1的竖直距离为h＝R，小木块仍随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，则碗转动的角速度大小为 。（已知重力加速度为g）
39．（2021•永定区三模）如图所示，用长为L的轻绳，悬挂一质量为m的带电小球，放在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现将小球拉到与悬点等高处由静止释放，小球便在垂直于磁场的竖直面内摆动，当小球第一次摆到最低点时，轻绳的拉力恰好为零，重力加速度为g，忽略空气阻力，由此可知，小球 （选填“带正电”“不带电”或“带负电”），当小球第二次经过最低点时轻绳拉力等于 。
40．（2020秋•嘉兴期末）如图所示是一款旋转飞椅的玩具，摇动手柄，细杆带动飞椅从静止开始缓慢转动，经过一小段时间，飞椅在水平面内近似做匀速圆周运动。已知重力加速度为g，设细杆与竖直方向的夹角为θ，忽略转动中的空气阻力，则不同飞椅的角速度大小 （选填“相同”或“不同”），飞椅的向心加速度大小为 （用题中所给字母表示）。
四．计算题（共2小题）
41．（2021•聊城二模）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为R的圆盘，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。放置在圆盘边缘的质量为m的物体（可视为质点）与圆盘之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（1）为使物体不滑到餐桌上，求圆盘角速度的最大值ω0；
（2）已知餐桌半径为1.25R，如果圆盘角速度继续缓慢增大，物体从圆盘上被甩出后，不会从餐桌上滑到地面上，求物体与餐桌间的动摩擦因数的最小值。
42．（2021•南通四模）如图所示，长为L的轻绳跨过光滑的轻质小滑轮，一端连接光滑桌面上的物块A，另一端悬挂物块B，A、B质量均为m，重力加速度为g，绳不可伸长。
（1）由静止释放A，求A向右运动过程中绳中的拉力大小F；
（2）将A置于滑轮左端处，B置于图中虚线位置，此时绳处于水平伸直状态。现同时释放A、B.
①A向右运动时，A的速度为v1，B下落的高度为h，B沿绳方向的分速度大小为v1，求此时B绕滑轮转动的角速度ω；
②判断A先碰到滑轮还是B先运动到滑轮的正下方，并请通过计算说明理由。
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
ω
ω2
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
r
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
m
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fcs θ＝mg,Fsin θ＝mω2lsin θ))
或mgtan θ＝mω2lsin θ
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FNcs θ＝mg,FNsin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F升cs θ＝mg,F升sin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FN＝mg,F拉＝mBg＝mω2r))
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.
2.方向：始终沿着半径指向圆心.
3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝meq \f(v2,r)
(2)Fn＝mω2r.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示.
图
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小.
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向.
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
知识点一：实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
图
2.实验步骤
在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一 手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二 手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三 改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四 手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
图
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
图
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
②m、ω一定(表二)
③r、ω一定(表三)
(2)数据处理
分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.
(3)实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
例题精练
1．（2021•山东）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021•浙江模拟）立春以来，鲜花掩映的重庆轨道交通2号线引爆朋友圈，被网友称为“开往春天的列车”。如图所示为网友所拍的列车经过某一转弯处的照片。则下列说法中符合事实的是（ ）
A．列车转弯的向心力可能只由重力和支持力提供
B．列车受到重力、支持力和向心力的作用
C．列车速度超过设计时速时会受到离心力的作用
D．列车转弯时车内的物品有向内滑的趋势
随堂练习
1．（2021•江西模拟）如图甲所示，一质量m＝4kg的小球（可视为质点）以v0＝4m/s的速度从A点冲上竖直光滑半圆轨道。当半圆轨道的半径R发生改变时，小球对B点的压力与半径R的关系图像如图乙所示，重力加速度取g＝10m/s2，下列说法中正确的有（ ）
A．x＝2.5
B．y＝40
C．若小球能通过轨道上的C点，则其落地点距A点的最大水平距离为0.80m
D．当小球恰能通过轨道上的C点时，半圆轨道的半径R＝64cm
2．（2021春•上高县校级月考）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx随时间t的变化关系如图乙所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点时，轻杆对小球的作用力可能比小球在最低点时大
B．小球在最低点时，轻杆对小球的作用力恰好提供向心力
C．t2时刻小球通过最高点
D．图乙中S1和S2的面积相等
3．（2021•烟台模拟）如图所示，在粗糙水平地面上放上一个质量为M的支架，支架顶端固定一根长为L的轻绳，轻绳另一端连接一个质量为m的小球（小球的半径忽略不计）。开始时小球静止在底端，现给小球一初速度v0＝，使小球在竖直平面内做圆周运动，支架始终保持静止不动。已知支架与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。当小球到达与圆心O等高的位置时，地面对支架摩擦力的大小为（ ）
A．4mgB．3mgC．5mgD．μ（M+m）g
4．（2021春•仓山区校级期中）如图所示，两个相同的小木块A和B（均可看作质点），用长为L的轻绳连接，沿半径方向依次放置，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，圆盘转动的角速度为a，下列说法正确的是（ ）
A．木块A、B所受的摩擦力始终相等
B．木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍
C．当ω＝时，轻绳开始产生弹力
D．若ω＝，木块A、B将要相对圆盘发生滑动
知识点二：向心力的分析和公式的应用
一、向心力的理解及来源分析
导学探究
1.如图1所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.
图1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
答案 (1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.
(2)合力的大小F＝meq \f(v2,r).
2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？
答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知识深化
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
二、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.
图5
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
答案 (1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.
(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大.
知识深化
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
例题精练
1．（2021•三元区校级模拟）高铁是中国“新四大发明”之一，具有极好的稳定性。如图，列车沿水平直线方向高速运行时，硬币可直立在水平窗台上，列车转弯时，硬币倾倒。在列车行驶过程中，该硬币（ ）
A．直立阶段一定处于受力平衡状态
B．直立阶段可能受到窗台的摩擦力作用
C．转弯时，硬币一定会向弯道内侧倾倒
D．列车沿直线方向加速和减速行驶时，硬币都受到与列车运动方向相反的摩擦力作用
2．（2021•南山区校级模拟）小朋友经常玩的手流星模型简化为如图所示，长均为L的两根不可伸长的轻绳，一端共同系住质量为m的小球（可看作质点），另一端分别拽在等高的左右手A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。今使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动之后，手保持不动，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点和最低点时，绳子拉力大小差值为6mg
B．若小球恰能完成圆周，则运动到最低点时，绳子拉力大小为6mg
C．若小朋友累了，静止不转动时，突然左手松开了，这一瞬间小球加速度为g
D．若小朋友累了，静止不转动时，突然左手松开了，这一瞬间右手连接小球的绳子拉力大小为mg
随堂练习
1．（2021•义乌市模拟）C919中型客机全称COMACC919，是我国首款按照最新国际适航标准，具有自主知识产权的干线民用飞机，由中国商用飞机有限责任公司研制，当前己有6架C919飞机完成取证试飞工作，预计2021年正式投入运营。如图所示的是C919客机在无风条件下，飞机以一定速率v在水平面内转弯，如果机舱内仪表显示机身与水平面的夹角为θ，转弯半径为r，那么下列的关系式中正确的是（ ）
A．r＝B．r＝C．r＝D．r＝
2．（2021•泰安四模）如图所示，半径为R的圆形轨道竖直固定在水平桌面上，AB为其水平直径，C为最低点，D为最高点，轨道的ACB段粗糙、ADB段光滑。质量为m的物块（可视为质点）从A点以初速度v0（未知）沿轨道向上运动，运动到D点时对轨道的压力恰好为0，运动到C点时对轨道的压力为5mg。已知物块与轨道ACB段间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块的初速度大小为
B．物块与轨道ACB段间的动摩擦因数为
C．若将物块从A点由静止释放，物块运动到C点的速度大于
D．若初速度v0沿轨道向下，则物块运动到C点时对轨道的压力小于5mg
3．（2021•重庆模拟）如图1所示为“铁笼飞车”的特技表演，其抽象出来的理想模型为如图2所示的内壁光滑的圆球，其中a、b、c分别表示做圆周运动时的不同轨道，a轨与b轨均水平，c轨竖直，一质点在球内绕其光滑内壁做圆周运动时，下列有关说法正确的是（ ）
A．沿a轨可能做变速圆周运动
B．沿c轨运动的最小速度为0
C．沿a轨运动的速度比沿b轨运动的速度大
D．沿a轨运动的周期比沿b轨运动的周期大
4．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图所示，在水平转台的某一半径上的两点AB下固定长度相等的轻质细绳，细绳另一端有质量相等的两相同小球1和小球2。当水平转台绕着竖直轴做匀速转动稳定时（ ）
A．两小球线速度大小相等
B．两小球向心加速度大小相等
C．细线与竖直方向的夹角θ1大于θ2
D．小球1所受细绳的拉力小于小球2所受细绳的拉力
综合练习
一．选择题（共15小题）
1．（2021春•大竹县校级月考）一箱土豆在转盘上随转盘以角速度ω做匀速圆周运动，其中一个处于中间位置的土豆质量为m（可视为质点），它到转轴的距离为R，则其他土豆对该土豆的作用力为（ ）
A．mgB．mω2R
C．D．
2．（2021•重庆模拟）如图1所示为“铁笼飞车”的特技表演，其抽象出来的理想模型为如图2所示的内壁光滑的圆球，其中a、b、c分别表示做圆周运动时的不同轨道，a轨与b轨均水平，c轨竖直，一质点在球内绕其光滑内壁做圆周运动时，下列有关说法正确的是（ ）
A．沿a轨可能做变速圆周运动
B．沿c轨运动的最小速度为0
C．沿a轨运动的速度比沿b轨运动的速度大
D．沿a轨运动的周期比沿b轨运动的周期大
3．（2021•沙坪坝区校级模拟）如图所示，在水平转台的某一半径上的两点AB下固定长度相等的轻质细绳，细绳另一端有质量相等的两相同小球1和小球2。当水平转台绕着竖直轴做匀速转动稳定时（ ）
A．两小球线速度大小相等
B．两小球向心加速度大小相等
C．细线与竖直方向的夹角θ1大于θ2
D．小球1所受细绳的拉力小于小球2所受细绳的拉力
4．（2021•柯桥区模拟）实际的过山车并不是严格的正圆轨道，而是上下高、左右窄的扁形轨道，如图所示，某一过山车从确定高度静止下滑，不计一切摩擦，在经过扁形轨道最高点与经过相同高度正圆形轨道最高点相比（ ）
A．经过圆形轨道最高点的速度更大
B．经过扁形轨道最高点时的机械能更大
C．经过圆形轨道时的加速度更大
D．经过扁形轨道时对轨道的压力更大
5．（2021春•城关区校级期中）如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F﹣v2图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0，﹣b），斜率为k。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨道半径为
C．图线与横轴的交点表示小球通过最高点时所受的合外力为零
D．当v2＝a时，小球通过最高点时的向心加速度为g
6．（2021春•安徽月考）如图所示，质量为m的物体（可视为质点）放置在水平圆形转台上，与转台一起绕转台中心的竖直轴做圆周运动，转台的角速度为ω，无论转台匀速、减速或者加速转动，物体总是与转台保持相对静止，物体到转台轴心的距离为l，物体与转台间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．物体受到重力、转台的支持力、摩擦力和向心力的作用
B．若转台匀速转动，则物体受到的摩擦力大小为μmg
C．物体所受摩擦为的方向总是指向转台轴心
D．转台的角速度始终小于
7．（2021春•郑州期末）甲图是洗衣机脱水桶甩干衣服的情境，乙图是两个圆锥摆，丙图是完全相同的两个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运动。关于这三种圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中衣服随脱水桶一起匀速转动的过程中，桶对衣服的摩擦力提供向心力
B．乙图中两小球的线速度大小相等
C．乙图中两小球具有相同的运动周期
D．丙图中a球的角速度大于b球的角速度
8．（2021春•荔湾区校级月考）用长为L的轻质细线，拴住质量为的小球，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球可能做匀速圆周运动
B．小球在最高点细线对球作用力不可能为零
C．小球在最低点细线对球作用力不一定大于重力
D．若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则它在最高点的速率为
9．（2021春•郑州期末）如图所示，公园里一个质量为m的小朋友在荡秋千，两根轻质吊线平行，小朋友可视为质点，重力加速度为g。已知小朋友运动到最高点时吊线与竖直方向的夹角为θ＝60°，吊板质量不计，则小朋友运动到最低点时每根吊线对他的拉力大小为（ ）
A．mgB．mgC．mgD．2mg
10．（2021春•荔湾区校级月考）在光滑的水平面上，放一根原长为L的轻质弹簧，一端固定，另一端系一个小球，现使小球在该水平面内做匀速圆周运动，当运动半径为2L时，小球的速率为v1；当运动半径为3L时，小球的速率为v2，设弹簧伸长仍在弹性限度内，则v1：v2为（ ）
A．1：B．：C．1：3D．2：3
11．（2021春•越秀区月考）石拱桥是中国传统的桥梁四大基本形式之一、假设某拱形桥为圆的一部分，半径为R。一辆质量为m的汽车以速度v匀速通过该桥，图中Q为拱形桥的最高点，圆弧PQS所对的圆心角为90°，P、S关于QO对称，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受合力始终为0
B．汽车从P点运动到S点所用的时间为
C．汽车运动到Q点时牵引力大于阻力
D．汽车运动到Q点时，桥面对汽车的支持力大于mg
12．（2021春•昭通月考）如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使水平木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径。在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（ ）
A．物块始终受到两个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从c到d，物块所受的摩擦力先增大后减小
D．从b到a，物块处于失重状态
13．（2021•上海学业考试）有一个半径为r圆形的光滑轨道，一个质点以v＝的速度从轨道底部驶入，当到达与圆心等高的点时，关于它的速度v与加速度a，下列说法中正确的是（ ）
A．v＝0，a＝0B．v≠0，a＝0C．v＝0，a≠0D．v≠0，a≠0
14．（2021春•广州月考）下列关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是其中某一种力的分力或某几种力的合力
D．向心力不但改变物体运动的方向，也改变物体运动的快慢
15．（2021春•荔湾区校级月考）如图所来，一个女孩尝试站着荡秋千。已知秋千的两根绳长均为5m，女孩和秋千踏板的总质量约为30kg，绳的质量忽略不计。当女孩运动到最低点速度大小为5m/s，此时每根绳子平均承受的拉力最接近于（ ）
A．150NB．200NC．225ND．400N
二．多选题（共15小题）
16．（2021•雨花区校级模拟）A、B两小球分别固定在轻杆的正中间和一端，轻杆的另一端固定在水平光滑转轴O上，让轻杆在竖直平面内转动，如图所示。两球质量均为m，轻杆长度为2l，重力加速度为g，若系统恰能在竖直平面内做圆周运动，那么（ ）
A．小球B在经过最低点时的动能为4mgl
B．从最低点运动到最高点，轻杆对小球A做的功为
C．转动中小球B的机械能守恒
D．通过最低点时OA段轻杆的弹力为
17．（2021•宝鸡模拟）图甲、乙、丙、丁是圆周运动的一些基本模型，下列说法正确的有（ ）
A．如图，汽车通过拱桥的最高点处于超重状态
B．如图，两个圆锥摆A和B处于同一水平面，两圆锥摆的角速度大小相等
C．如图，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对火车轮缘会有挤压作用
D．如图，同一小球在固定的光滑圆锥筒内的C和D位置先后做匀速圆周运动，两位置小球运动的周期相等
18．（2021春•仓山区校级期中）如图所示，竖直放置的半径为r的光滑圆轨道被固定在水平地面上，最低点处有一小球（可视为质点），现给小球一水平向右的初速度v0，要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足（ ）
A．v0B． v0C．v0 D．v0≤
19．（2021•潍坊模拟）如图1所示，O点处固定有力传感器，长为l的轻绳一端与力传感器相连，另一端固定着一个小球。现让小球在最低点以某一速度开始运动，设轻绳与竖直方向的角度为θ（如图所示），图2为轻绳弹力大小F随csθ变化的部分图像。图2中a为已知量，不考虑空气阻力，重力加速度大小为g，则（ ）
A．小球质量为
B．小球在与圆心等高处时的速度为
C．小球运动到θ＝45°时的动能为mgl
D．小球在最低点时对细线的拉力为5a
20．（2021春•进贤县校级月考）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力为F（取竖直向下为正方向），小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图象如乙图所示．则（ ）
A．当地的重力加速度大小为
B．小球的质量为
C．v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
21．（2021春•郑州期末）在半径为R＝m的球壳内的最低点竖立一高度为R＝m的支架，在支架上放置一质量为m＝0.1kg的小球，小球以水平速度v0＝m/s抛出，打在球壳上，重力加速度g＝10m/s2，则（ ）
A．小球飞行时间为S
B．小球打在球壳上的位置与球心连线与竖直方向的夹角的正切值为
C．小球落到球壳上时动能为Ek＝1.5J
D．小球落到球壳上时速度方向与球壳垂直
22．（2021•武平县校级模拟）天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1≠m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2：m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1：m2
23．（2021春•荔湾区校级月考）如图所示，有一长度为L的轻绳上有一小球随轻绳在竖直平面内做圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点可能不受绳的拉力，此时速度为0
B．小球在最低点处由重力提供向心力
C．小球在最低点一定受绳的拉力
D．小球在最高点处可以仅由重力提供向心力
24．（2021春•越秀区校级月考）如图为过山车以及轨道简化模型，过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是（ ）
A．过山车在圆轨道上做匀速圆周运动
B．过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于
C．过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态
D．若过山车能顺利通过整个四轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力
25．（2021春•荔湾区校级月考）如图所示，a、b、c三物体放在旋转水平圆台上，它们与圆台间的动摩擦因数均相同，已知a的质量为m，b和c的质量均为2m，a、b离轴距离为R，c离轴距离为2R。当圆台转动时，三物均没有打滑（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则（ ）
A．这时c的向心力最大
B．若逐步增大圆台转速，b比a先滑动
C．若逐步增大圆台转速，c比b先滑动
D．这时a物体受的摩擦力最小
26．（2021•3月份模拟）如图甲所示，光滑水平轨道与光滑半圆轨道相连接。小球从水平轨道上以某一速度进入半圆轨道，小球经过半圆轨道最高点B时的速度的平方v2与此时轨道与小球间弹力F的关系如图乙所示，重力加速度取g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．半圆轨道的半径为R＝0.4m
B．小球的质量为m＝1.0kg
C．若小球恰好通过最高点B，则落地点与A点相距x＝1.5m
D．若小球恰好能通过最高点B，小球在A点的动量大小为p＝5kg•m/s
27．（2021•湖南模拟）如图，质量为M的物块A放在倾角为θ的斜面上，一质量为m的小球B通过细绳跨过定滑轮与物块A相连，当小球B以角速度ω做圆周运动时，物块A刚好保持静止。忽略绳与滑轮间摩擦，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（ ）
A．物块A受到的摩擦力可能向下
B．物块A可能不受摩擦力作用
C．若斜面倾角θ增大，要使A继续保持静止，小球B做圆周运动的角速度一定增大
D．若斜面倾角θ增大，要使A继续保持静止，小球B做圆周运动的角速度可能保持不变
28．（2021春•河西区校级月考）如图所示，下列有关生活中圆周运动实分析，其中说法正确的是（ ）
A．图中，汽车通过凹形桥的最低点时速度不超过
B．图中，“水流星”匀速转动过程中，在最低处水对桶底的压力最大
C．图中，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
D．图中，小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后分别做匀速圆周运动，则在A、B两位置小球向心加速度相等
29．（2021春•南宁月考）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r、RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速从零缓慢增大到两物体刚好还未发生滑动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的摩擦力一直增大
B．角速度为ω＝ 时物块恰好相对圆盘滑动
C．A受到摩擦力方向指向圆心
D．细线最大拉力是3μmg
30．（2021春•横峰县校级月考）如图所示，质量为m的小明（视为质点）坐摩天轮。小明乘坐的车厢与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为k（常数k＜1，g为重力加速度大小）的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在车厢水平座垫上且双脚离地，则下列说法正确的是（ ）
A．小明通过最高点时不受重力
B．小明做匀速圆周运动的周期为
C．小明通过最高点时处于完全失重状态
D．小明通过最低点时对车厢座垫的压力大小为（1+k2）mg
三．填空题（共10小题）
31．（2021•泉州模拟）如图，两根相同的轻绳将一重力为G的小球悬挂在水平天花板下，静止时轻绳与天花板的夹角均为30°，则每根轻绳的拉力大小均为 ；现剪断一根轻绳，当球摆至最低点时，轻绳的拉力大小为 。
32．（2021春•鼓楼区校级期中）如图所示，竖直平面内的光滑轨道由直轨道AB和圆弧轨道BC组成，圆弧轨道半径R＝0.4m。小球从斜面上A点由静止开始滑下，刚好能滑到轨道的最高点C（过B点时没有能量损失），则小球在C的速度大小vC＝ m/s，A点到B点的高度h＝ m（g取10m/s2）。
33．（2021春•宝山区校级期中）如图所示，轻质细线一端系一质量为0.1kg的小球，另一端套在图钉A上，此时小球在光滑的水平平台上做半径a为0.3m、线速度为0.4m/s的匀速圆周运动。现拔掉图钉A让小球飞出，此后细绳又被A正上方距A高h为0.2m的图钉B套住，达到稳定后，小球又在平台上做匀速圆周运动。小球在图钉A拔掉后被图钉B套住前运动了 s；稳定后细线拉力变为1.152×10﹣2N，则速度变为原来的 倍。
34．（2021春•河南期中）一列车以恒定速率v＝54km/h在水平面内做半径r＝1800m的圆周运动。质量m＝50kg的实验员坐在列车的座椅上相对列车静止。根据上述实验数据，推算出实验员做圆周运动的角速度大小ω＝ rad/s，向心加速度大小a＝ m/s2，所受合力大小Fn＝ N。（结果均用分式表示）
35．（2021春•宝山区校级期中）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，二者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m＝kg的小球上，OA＝OB＝AB＝0.8m。现转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直面内，且转动过程AB、OB两绳始终处于拉直状态；则AB绳的最大拉力为 N；OB绳的最大拉力为 N。
36．（2021春•莲湖区校级月考）随着航天技术的发展，许多实验可以搬到太空中进行。飞船绕地球做匀速圆周运动时，无法用天平称量物体的质量。假设某宇航员在这种环境下设计了如图所示装置（图中O为光滑的小孔）来间接测量物体的质量：给待测物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动。设飞船中具有基本测量工具：
（1）物体与桌面间的摩擦力可以忽略不计，原因是 ；
（2）实验时测得的物理量有弹簧秤示数F、圆周运动的周期T和圆周运动的半径R，则待测物体质量的表达式为M＝ 。
37．（2021•松江区二模）汽车以10m/s的速率转过一环形车道，车上某同学发现水平手机上“指南针”在2s内匀速转过了约30°，则环形车道半径约为 m；为估算汽车受到的向心力大小还需知道的物理量是 。
38．（2021春•河南月考）如图所示，水平面上有一半球形碗，O1为球心，在半径为R的半球形碗口（位置1）处放一个可视为质点的小木块，木块与碗的动摩擦因数为μ。从小木块随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，碗转动的角速度大小为 。若换一光滑可视为质点的小木块放在位置2，小木块到圆心O1的竖直距离为h＝R，小木块仍随碗一起绕竖直轴O1O2匀速转动，则碗转动的角速度大小为 。（已知重力加速度为g）
39．（2021•永定区三模）如图所示，用长为L的轻绳，悬挂一质量为m的带电小球，放在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。现将小球拉到与悬点等高处由静止释放，小球便在垂直于磁场的竖直面内摆动，当小球第一次摆到最低点时，轻绳的拉力恰好为零，重力加速度为g，忽略空气阻力，由此可知，小球 （选填“带正电”“不带电”或“带负电”），当小球第二次经过最低点时轻绳拉力等于 。
40．（2020秋•嘉兴期末）如图所示是一款旋转飞椅的玩具，摇动手柄，细杆带动飞椅从静止开始缓慢转动，经过一小段时间，飞椅在水平面内近似做匀速圆周运动。已知重力加速度为g，设细杆与竖直方向的夹角为θ，忽略转动中的空气阻力，则不同飞椅的角速度大小 （选填“相同”或“不同”），飞椅的向心加速度大小为 （用题中所给字母表示）。
四．计算题（共2小题）
41．（2021•聊城二模）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为R的圆盘，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。放置在圆盘边缘的质量为m的物体（可视为质点）与圆盘之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
（1）为使物体不滑到餐桌上，求圆盘角速度的最大值ω0；
（2）已知餐桌半径为1.25R，如果圆盘角速度继续缓慢增大，物体从圆盘上被甩出后，不会从餐桌上滑到地面上，求物体与餐桌间的动摩擦因数的最小值。
42．（2021•南通四模）如图所示，长为L的轻绳跨过光滑的轻质小滑轮，一端连接光滑桌面上的物块A，另一端悬挂物块B，A、B质量均为m，重力加速度为g，绳不可伸长。
（1）由静止释放A，求A向右运动过程中绳中的拉力大小F；
（2）将A置于滑轮左端处，B置于图中虚线位置，此时绳处于水平伸直状态。现同时释放A、B.
①A向右运动时，A的速度为v1，B下落的高度为h，B沿绳方向的分速度大小为v1，求此时B绕滑轮转动的角速度ω；
②判断A先碰到滑轮还是B先运动到滑轮的正下方，并请通过计算说明理由。
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
ω
ω2
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
r
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
m
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fcs θ＝mg,Fsin θ＝mω2lsin θ))
或mgtan θ＝mω2lsin θ
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FNcs θ＝mg,FNsin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F升cs θ＝mg,F升sin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FN＝mg,F拉＝mBg＝mω2r))
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