人教版数学选择性必修三第七章测试

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人教版数学选择性必修三第七章测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设X随机变量服从，若随机变量X的数学期望为4，则（    ）A． B． C． D．2．已知，，则等于（    ）A． B． C． D．3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立4．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）A．两两不互斥 B．C．与B是相互独立事件 D．5．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在310度以上的用户数约为（    ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．A．17 B．23 C．34 D．466．设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，ξ<1的概率是，则μ等于（    ）A．1 B．2 C．4 D．不确定 二、多选题7．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．事件B与事件相互独立 D．、、两两互斥8．下列说法正确的是（    ）A．若随机变量的概率分布列为，则B．若随机变量且，则C．若随机变量，则D．在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则 三、填空题9．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是、、、、、），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率____.10．随机变量，若，则_____________．11．设随机变量，若，则____________．12．已知随机变量，若，则___________. 四、解答题13．混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．(1)证明：；(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．14．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4 组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求在第1组已被抽到人的前提下，第3组被抽到人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出人，记关注“生态文明”的人数为，求的分布列与期望.15．某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分的分布列和数学期望；(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．16．某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：工种类别赔付概率 对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.（1）若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.（2）现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
参考答案：1．D【分析】先利用二项分布的数学期望计算公式求出p，进而求出.【详解】因为X随机变量服从，所以，解得：.所以.故选：D2．C【解析】根据条件概率公式计算．【详解】由，可得.故选：C.3．B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】 ，故选：B【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立   4．B【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解【详解】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，所以，，两两互斥，所以A不正确；对于B，由题意可得，所以，所以B正确；对于C，因为，，，所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；对于D，由C选项可知D是错误的.故选：B.5．B【分析】利用正态分布曲线关于直线对称和所给的概率求解.【详解】若随机变量服从正态分布，则，.因为这1000户中每户每月的用电量近似服从正态分布，且，所以在这1000户中，用电量在310度以上的用户数约为23.故选：B.6．A【分析】利用正态分布图象的对称性，确定对称轴，即可知均值μ.【详解】由题意，ξ < 1的概率是，则ξ > 1的概率也是，∴正态分布的图象关于对称，即.故选：A7．BD【分析】A选项，利用独立事件和互斥事件概率公式计算出；B选项，根据条件概率计算公式计算出；C选项，根据得到C错误；D选项，由互斥事件的概念进行判断.【详解】A选项，，，，故，A错误；B选项，，故，B正确；C选项，因为，故，所以事件B与事件不相互独立，C错误；D选项，因为，故、、两两互斥，D正确.故选：BD8．AB【分析】利用分布列的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用超几何分布的概率公式可判断D选项.【详解】对于A选项，由分布列的性质可知，解得，A对；对于B选项，若随机变量且，则，B对；对于C选项，若随机变量，则，C错；对于D选项，由超几何分布的概率公式可得，D错.故选：AB.9．【分析】求出、，利用条件概率公式可得结果.【详解】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，所以，，因此，.故答案为：.10．0.15##【分析】利用正态分布的对称性求概率即可.【详解】由正态分布的对称性知：，所以.故答案为：11．##【分析】由正态密度曲线的对称性可求得的值.【详解】因为随机变量，且，所以，.故答案为：.12．【分析】根据正态分布曲线的对称性，可得，进而求得相应的概率，得到答案.【详解】由题意，随机变量，可得正态分布曲线关于对称，因为，可得，所以.故答案为：.13．(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【详解】（1）由题意可得满足二项分布，由知，，当且仅当时取等号；（2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），（混管中恰有i例阳性）=，，令，，则，当时，，为单调递减，当时，，为单调递增，所以，且，，所以当，即，两边取自然对数可得，所以当，时，所以，则．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.14．(1) (2) （3）【详解】试题分析：（1）由频率分布直方图求出的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，由条件概率公式得到所求概率；（3）的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到的分布列与期望.试题解析：（1）由，得，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人. 设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件，第3组抽到2人为事件，    则 （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为 的可能取值为0，1，2，3. ，，所以的分布列为， 15．(1)(2)分布列见解析，(3)见解析 【分析】（1）如果甲先摸出了绿色球，则甲还可以再摸两次，分摸到1个红球和摸到两个黄球两种情况讨论，结合古典概型及组合即可得解；（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，写出随机变量的所有可能取值，分别求出求概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出期望；（3）由（1）可得若先摸出绿球，则摸球人获胜的概率，由（2）得若先摸出红球，则摸球人获胜的概率，再根据古典概型及组合分别求出先摸出黄球和白球摸球人获胜的概率，再根据全概率公式求得摸球人获胜的概率，即可得出结论.(1)解：记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，则；(2)解：如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，则得分情况有6分，7分，8分，9分，10分，11分，，，，，，，所以的分布列为：67891011 所以的数学期望；(3)解：由（1）可知，若先摸出绿球，则摸球人获胜的概率，由（2）可知，若先摸出红球，则摸球人获胜的概率，若先摸出黄球，则摸球人获胜的概率，若先摸出白球，则摸球人获胜的概率，则摸球人获胜的概率为，答案一：因为摸球人获胜的概率为，所以比赛不公平答案二：如果指定由某人先摸球，则比赛不公平.答案三：如果先摸球的人是在甲乙两人中随机等可能的产生，则这样的比赛是公平的.（答案二、答案三和其他答案酌情给分）16．（1）证明见解析；（2）选方案一.【分析】（1）设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X，Y，Z，写出随机变量X、Y、Z的分布列，计算保险公司期望收益EX、EY、EZ；根据要求列出不等式，即可得证；（2）计算企业不与保险公司合作时安全支出（即赔偿金的期望值），以及企业与保险公司合作的安全支出（即保费），比较大小．【详解】（1）设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的效益为随机变量X，Y，Z，则随机变量X的分布列为：Xaa﹣100×104P  随机变量Y的分布列为：Yaa﹣100×104P 随机变量Z的分布列为：Zbb﹣50×104P 保险公司期望收益为，，，根据要求（a﹣10）×50000×0.6+（a﹣20）×50000×0.3+（b﹣50）×50000×0.1﹣20×104≥（a×50000×0.6+a×50000×0.3+b×50000×0.1）×0.15，整理可得，所以得证；（2）若该企业不与保险公司合作，则安全支出，即赔偿金的期望值为：50000（0.6××100×104+0.3××100×104+0.1× ×50×104）＝；若该企业与保险公司合作，则安全支出，即保费为50000×（0.6×a+0.3×a+0.1×b）×0.8＝，由，，所以方案一总支出较少，故选方案一.