第一章 三角形的证明综合检测 2022-2023学年北师大版数学八年级下册

第一章　三角形的证明 综合检测

一、选择题(每小题3分,共30分)

1. [2020福建中考]如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于(　　 )

A.10 B.5  C.4  D.3

2. [2022济南莱芜区期末]如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=4,则PQ的长不可能是 (　　)

A.3.5    B.4  C.4.5    D.5

3. [2022金华五中月考]由于木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是 (　　)

A.9 cm   B.16 cm   C.18 cm   D.20 cm

4. [2022沈阳和平区期末]如图,在△AFD和△CEB中,点A,E,F,C在同一直线上,给出下列条件:①AE=CF,②∠D=∠B,③AD=CB,④DF∥BE.选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有 (　　)

A.4组 B.3组 C.2组 D.1组

5. [2022白山期末]如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,作AC的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E,若DE=3,则BD的长是 (　　)

A.3  B.2  C. D.

6. [2022长沙一中双语实验学校期末]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,∠B=30°,∠ADC=60°,BC=3,则BD的长度为(　　)

A.  B. C. D.2

7. [2021衢州柯城区三模]如图,在三角形纸片ABC中,BC=9,AC=12,∠BCA=90°,在AC边上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重合,A与BC延长线上的点D重合,则DE的长度为 (　　)

A.7.5 B.8  C.8.5 D.9

8. [2021衢州兴华中学一模]如图,在△ABC中,AB=AC,用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF,AD交EF于点O,连接BE,OC.下列结论中,不一定成立的是(　　)

A.AE⊥BE B.EF平分∠AEB

C.OA=OC  D.AB=BE+EC

9. [2022杭州拱墅区期末]如图,在△ABC中,点P在边BC上(不与点B,点C重合),下列说法一定正确的是 (　　)

A.若∠BAC=90°,∠BAP=∠B,则AC=PC

B.若∠BAC=90°,∠BAP=∠C,则AP⊥BC

C.若AP⊥BC,PB=PC,则∠BAC=90°

D.若PB=PC,∠BAP=∠CAP,则∠BAC=90°

10. [2022淮南洞山中学期中]如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,A4,…,在射线ON上,点B1,B2,B3,…,在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…,均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为 (　　)

A.6  B.12 C.32 D.64

二、填空题(每小题3分,共12分)

11. [2022漳州三中期中]用反证法证明:“在△ABC中,已知AB≠AC,则∠B≠∠C”的逆命题,应首先假设　　　　. 

12. [2021齐齐哈尔中考]如图,AC=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△AED,应添加的条件是　　　.(只需写出一个条件即可) 

13. [2022北京师达中学开学考试]如图,直线l1∥l2,AB=BC,CD⊥AB于点D,若∠DCA=25°,则∠1的度数为　　　　. 

14. [2022莆田期末]如图,在△ABC中,∠ACB的平分线交AB于点D,DE⊥AC于点E.F为BC上一点,若DF=AD,△ACD与△CDF的面积分别为10和4,则△ADE的面积为　　　　. 

三、解答题(本大题共5小题,共58分)

15. (8分)[2022榆林高新一中质检]如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于点M,交BE于点G,AD平分∠MAC,交BC于点D,交BE于点F.求证:BF垂直平分AD.

16. (10分)在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.

(1)若∠ABC=60°,∠ACB=40°,求∠BOC的度数;

(2)若∠ABC=60°, OB=4,且△ABC的周长为16,求△ABC的面积.

17. (12分)[2022广州二中期中]如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线FM交AC于点F,交BC于点M,FM=2.

(1)求∠ADE的度数.

(2)△ADF是等边三角形吗?为什么?

(3)求AB的长.

18. (14分)[2022德州五中期中]小明遇到这样一个问题:△ABC是等边三角形,点D在射线BC上,且满足∠ADE=60°,DE交等边三角形ABC的外角平分线CE于点E,试探究AD与DE之间的数量关系.

(1)初步探究:小明发现,当点D为BC的中点时,如图1,过点D作DF∥AC,交AB于点F,通过构造全等三角形,经过推理论证,能够得到线段AD与DE之间的数量关系,请直接写出结论.

(2)类比探究:当点D是线段BC上(不与点B,C重合)任意一点时,其他条件不变,如图2,试猜想AD与DE之间的数量关系,并证明你的结论.

19. (14分)[2022上海浦东新区期中]如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,

∠ABC的平分线BD交边AC于点D.

(1)求证:△BCD为等腰三角形.

(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:BD+AD=AB+BE.

(3)若△ABC的外角平分线AE交CB的延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,直接写出正确的结论.

参考答案

一、选择题

1. B

2. A　∵OP平分∠MON,PA⊥ON,∴点P到OM的距离等于PA,即点P到OM的距离为4,∴PQ≥4.

3. C　连接AB,∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴A,B两点之间的距离是18 cm.

4. C　∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC.若①②③为条件,不能证明△AFD≌△CEB,若①②④为条件,利用“AAS”能证明△AFD≌△CEB,若①③④为条件,不能证明△AFD≌△CEB,若②③④为条件,利用“AAS”能证明△AFD≌△CEB,故共有2组.

5. A　解法一

解法二

6. D　∵∠C=90°,∠ADC=60°,∴∠DAC=30°,∴CD=AD.∵∠B=30°,∠ADC=60°,

∴∠BAD=30°,∴BD=AD,∴BD=2CD,∵BC=3,∴CD+2CD=3,∴CD=,∴BD=2.

7. A　∵BC=9,AC=12,∠BCA=90°,∴AB===15,由翻折的性质,得AE=DE,BD=AB=15,∴CD=BD-BC=6.在Rt△CDE中,CD2+CE2=DE2,即62+(12-DE)2=DE2,∴DE=7.5.

8. A　由题图可知,AD平分∠BAC,EF垂直平分AB.连接OB,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD垂直平分BC,∴OB=OC.∵EF垂直平分AB,∴OA=OB,BE=AE,∴OA=OC,故选项C结论成立;∵BE=AE,EF垂直平分AB,∴EF平分∠AEB,故选项B结论成立;∵BE=AE,∴AB=AC=AE+EC=BE+EC,故选项D结论成立;只有当∠BAC=45°时,AE⊥BE,故选项A不一定成立.

9. B　∵∠BAC=90°,∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°,∵∠BAP=∠B,∴∠CAP=∠C,∴AP

=PC,只有当∠B=30°时,AC=PC,故A错误;∵∠BAC=90°,∴∠BAP+∠CAP=90°,∵∠BAP

=∠C,∴∠C+∠CAP=90°,∴∠APC=180°-(∠C+∠CAP)=90°,即AP⊥BC,故B正确;∵AP⊥BC,PB=PC,∴AP垂直平分BC,而∠BAC不一定等于90°,故C错误;根据PB=

PC,∠BAP=∠CAP,无法证明∠BAC=90°,故D错误.

10. C　∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1=A1A2,∠A1B1A2=∠B1A1A2=60°.∵∠MON=30°,

∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON=30°,∴∠OB1A1=∠MON,∠OB1A2=∠OB1A1+∠A1B1A2=90°,∴A2B1

=A1B1=OA1=1,∴OA2=2A2B1=2.同理,B2A3=OA2,OA3=2B2A3=2OA2=4,B3A4=OA3,OA4=2OA3=8……

∴B6A7=OA6=25=32.

二、填空题

11. AB=AC　“在△ABC中,已知AB≠AC,则∠B≠∠C”的逆命题是“在△ABC中,已知∠B≠∠C,则AB≠AC”,用反证法证明时,应首先假设AB=AC.

12.∠B=∠E(或∠C=∠D或AB=AE) 　∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,即∠BAC=∠EAD,∵AC=AD,∴当添加∠B=∠E时,可根据“AAS”判定△ABC≌△AED.当添加∠C=∠D时,可根据“ASA”判定△ABC≌△AED.当添加AB=AE时,可根据“SAS”判定△ABC≌△AED.

13. 65°　∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°.∵∠DCA=25°,∴∠BAC=65°.∵AB=BC,∴∠ACB=

∠BAC=65°.∵l1∥l2,∴∠1=∠ACB=65°.

14. 3　如图,过点D作DH⊥BC于H,∵CD平分∠ACB,DE⊥AC,DH⊥BC,∴DE=DH,又∵AD=FD,∴Rt△ADE≌Rt△FDH(HL),∴S△ADE=S△FDH,∵CD=CD,DE=DH,∴Rt△CDE≌Rt△

CDH(HL),∴S△CDE=S△CDH.∵△ACD与△CDF的面积分别为10和4,S△ACD=S△CDE+S△ADE,S△CDF=S△CDH-S△FDH,∴S△ADE=3.

三、解答题

15. 证明: ∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°.

∵AM⊥BC,∴∠AMB=90°,

∴∠ABC+∠BAM=90°,∴∠C=∠BAM.(3分)

∵AD平分∠MAC,∴∠MAD=∠CAD,

∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD.(5分)

∵∠ADB=∠C+∠CAD,

∴∠BAD=∠ADB,∴AB=BD,

又∵BE平分∠ABC,∴BF⊥AD,AF=FD,

即BF垂直平分AD.(8分)

16. 解:(1)因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠ABC=60°,∠ACB=40°,

所以∠OBC=30°,∠OCB=20°,

所以∠BOC=180°-(30°+20°)=130°.(4分)

(2)如图,连接AO,过点O作OD⊥AB于点D, OE⊥AC于点E,OF⊥BC于点F,

因为BO平分∠ABC,∠ABC=60°,

所以∠OBD=30°,

因为OB=4,所以OD=OB=2,

因为∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,

所以OE=OF=OD=2,(8分)

因为S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=×2×AB+×2×AC+×2×BC=AB+BC+AC,△ABC的周长为16,所以S△ABC=16.(10分)

17. 解:(1)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,

∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=30°.

∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED=(180°-∠B)=75°.(2分)

在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,

∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,

∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°.(4分)

(2)△ADF是等边三角形.理由如下:

∵FM是CD的垂直平分线,∴DF=CF.

由(1)知∠C=30°,∴∠FDC=∠C=30°,

∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°.(6分)

由(1)知AD⊥BC,∴∠ADC=90°,

∴∠DAF=90°-∠C=60°,

∴∠AFD=∠DAF=∠ADF=60°,

∴△ADF是等边三角形.(8分)

(3)∵FM是CD的垂直平分线,

∴∠FMC=90°,DF=CF.

由(1)知∠C=30°,∴DF=CF=2FM=4.(10分)

由(2)知△ADF是等边三角形,

∴AF=DF=4,

∴AC=AF+CF=4+4=8,(11分)

又∵AB=AC,∴AB=8.(12分)

18. 解:(1)AD=DE. (5分)

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,∠B=∠ACB=∠BAC=60°.

∵DF∥AC,∴∠BFD=∠BAC=60°,

∴△BDF是等边三角形,∠AFD=180°-∠BFD=120°,

∴DF=BD.

∵点D为BC的中点,∴BD=CD,∴DF=CD.

∵CE是△ABC的外角平分线,

∴∠ACE=(180°-∠ACB)=60°,

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD.

∵AB=AC,点D为BC的中点,

∴∠ADB=∠ADC=90°.

又∵∠BDF=60°,∠ADE=60°,

∴∠ADF=∠EDC=30°.

在△AFD和△ECD中,

∴△AFD≌△ECD,∴AD=DE.

(2)AD=DE.证明如下:

如图,过点D作DF∥AC,交AB于点F.

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=BC,∠B=∠BAC=∠ACB=60°.

∵DF∥AC,∴∠BFD=∠BAC=60°,

∴△BDF是等边三角形,∠AFD=120°,

∴BF=BD,∴AB-BF=BC-BD,即AF=CD.(8分)

∵CE是△ABC的外角平分线,

∴∠ACE=(180°-∠ACB)=60°,

∴∠DCE=120°=∠AFD.(10分)

∵∠ADC是△ABD的外角,

∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD.

∵∠ADE=60°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC,∴∠BAD=∠EDC.(12分)

在△AFD和△DCE中,

∴△AFD≌△DCE,∴AD=DE.(14分)

19. (1)证明:在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,

∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°.(1分)

∵BD平分∠ABC,

∴∠DBC=∠ABC=35°,

∴∠DBC=∠ACB,∴BD=CD,

∴△BCD为等腰三角形.(4分)

(2)证明:如图,在AC上截取AH=AB,连接EH.(5分)

由(1)知BD=CD,

∴BD+AD=CD+AD=AC.

∵AE平分∠BAC,∴∠EAB=∠EAH.

在△ABE和△AHE中,

∴△ABE≌△AHE(SAS),

∴BE=EH,∠AHE=∠ABE,(8分)

由(1)知∠ABE=70°,∴∠AHE=70°,

∴∠HEC=∠AHE-∠ACB=35°,

∴∠HEC=∠ACB,∴EH=HC,

∴AB+BE=AH+HC=AC,

∴BD+AD=AB+BE.(11分)

(3)解:(2)中的结论不成立,正确的结论是BD+AD=BE-AB.(14分)

如图,在BE上截取BF=AB,连接AF.

∵∠BAC=75°,∠ACB=35°,∴∠ABC=70°.

∵BF=AB,∴∠AFB=∠BAF=35°.

∵∠BAC=75°,∴∠HAB=105°.

∵AE平分∠HAB,

∴∠EAB=∠HAB=52.5°,

∴∠EAF=∠EAB-∠BAF=17.5°,

∠AEF=∠ABC-∠EAB=17.5°,

∴∠EAF=∠AEF,∴AF=EF.

∵∠AFC=∠C=35°,∴AF=AC=EF,

∴BE-AB=BE-BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD,

∴正确的结论是BD+AD=BE-AB。