67-因式分解的应用-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

这是一份67-因式分解的应用-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
67-因式分解的应用-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　）
A．45 B．63 C．54 D．不确定
2．（2022春·江苏苏州·七年级统考期中）（-8）2022+（-8）2021能被下列数整除的是（    ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．（2022春·江苏宿迁·七年级校考期中）边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为(　　)
A． B． C． D．
4．（2021·江苏镇江·七年级统考期中）对于算式，下列说法错误的是（    ）
A．能被98整除 B．能被99整除 C．能被100整除 D．能被101整除

二、填空题
5．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，则 的值为____．

6．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）已知正整数a，b，c（其中）满足，则的最小值是__________．
7．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）已知，则______________．
8．（2022春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣4xy2，取x＝20，y＝5时，写出一个用上述方法产生的密码__．
9．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）若，则________．
10．（2021春·江苏无锡·七年级校考期中）已知x＋y＝3，xy＝2，则x2y＋xy2＝_________ ．
11．（2021春·江苏扬州·七年级校考期中）d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4，则当x2﹣2x﹣4＝0时，d＝___．
12．（2021春·江苏盐城·七年级校联考期中）已知，，则______．

三、解答题
13．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）阅读下面的例题：分解因式：．
解：令得到一个关于x的一元二次方程．∵，
∴．解得， ；
∴．
这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
(1)已知代数式对应的方程解为和5，则代数式分解后为___________；
(2)将代数式分解因式．
14．（2022春·江苏盐城·七年级校考期中）阅读材料：若，求的值．
解：

根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
15．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数，的值均为(   )
A．正数        B．零         C．负数           D．非负数
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
16．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值．
解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：______＝（x－_______）；
(2)将变形为的形式，并求出的最小值；
(3)若，，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
17．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，∴
∴，又∵，
∴，∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，则_____________，_____________；
(2)根据以上的方法，试说明：代数式的值一定是一个正数；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足：，求的周长．
18．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴  m＝n＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2﹣2a+1+b2＝0，则a＝______，b＝______；
(2)已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，求△ABC的周长．
19．（2022春·江苏无锡·七年级统考期中）先化简，再求值：(x－2)2＋4(x－y)－(2y－1)2，其中x＝4.85，y＝2.575．
20．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）【知识情境】通常情况下，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
（1）如图1，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形．把余下的部分剪拼成一个长方形（如图2）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________；

【拓展探究】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
如图3是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成块．

图3
（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式可以为：
_________________________________________________________________；
（3）已知，，利用上面的恒等式求的值．
21．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）把下面各式分解因式：
（1）8a3b2-12ab3c
（2）4m2-16n2
（3）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1
22．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）已知x+y=1，，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2；             （2）（x2﹣1）（y2﹣1）．
23．（2021秋·江苏南通·八年级期中）已知a2﹣4a+b2+2b+5＝0，求a2b﹣ab2的值．
24．（2021春·江苏宿迁·七年级统考期中）（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
如图，正方形纸片A类，B类和长方形纸片C类若干张，
（1）①请你选取适当数量的三种纸片，拼成一个长为、宽为的长方形，画出拼好后的图形．

②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现=__________．
（2）①请你用这三类卡片拼出面积为的长方形，画出拼好后的图形．

②观察拼图共用__________张A类纸片，__________张B类纸片，__________张C类纸片，通过面积计算可以发现__________．
③利用拼图，把下列多项式因式分解
=__________；__________．

参考答案：
1．B
【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），
∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），
∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），
∴n﹣2＝9，m＝，
∴n＝11，m＝63．
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．
2．C
【分析】先将算式因式分解，找到含有选项的因数即可．
【详解】解：∵（-8）2022+（-8）2021
=（-8）2021×（-8）+（-8）2021
=（-8）2021×（-8+1）
=（-8）2021×（-7）
=82021×7．
∴能被7整除．
故选：C．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将2022拆成2021+1是解本题的关键．
3．B
【分析】先把所给式子提取公因式mn，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】根据题意得：m+n=7，mn=10，
∴．
故选：B．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
4．D
【分析】将993-99化成99×98×100，故能被99、98、100整除，即可得到答案．
【详解】解：993-99
=99×（992-1）
=99×（99+1）×（99-1）
=99×100×98，
故能被99、100、98整除，
故选：D．
【点睛】本题考查了整除，熟练分解因式是解题的关键．
5．
【分析】先把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴，，即，，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
6．7
【分析】由已知可化为，因为a、b、c都是正整数，a只能取2的倍数且最大值只能取4，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝2，b＝1，c＝5时，a＋b＋c＝8，
当a＝2，b＝2，c＝3时，a＋b＋c＝7，
当a＝2，b＝3，c＝2时，a＋b＋c＝7，
当a＝4，b＝1，c＝3时，a＋b＋c＝8，
所以则a＋b＋c的最小值是 7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
7．2
【分析】运用平方差公式将因式分解为(a+b)(a-b)，再已知整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴(a+b)(a-b)=2×1=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式因式分解是解题的关键．
8．201030（答案不唯一）
【分析】对多项式先进行因式分解，再代入求出每个因式的值，最后对因式的值进行排列组合即可得出答案．
【详解】解：x3－4xy2＝x(x2－4y2)，
＝x(x－2y)( x＋2y)，
当x＝20，y＝5时，
x=20，
x－2y=10，
x＋2y=30，
故密码为：201030．
故答案为：201030（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，涉及了提公因式法及平方差公式分解因式，属于阅读型的新定义题，解题的关键是根据阅读材料得出取密码的方法．
9．6
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式，把已知代入得出答案．
【详解】解：∵ab=2，a-b=3，
∴a2b-ab2=ab（a-b）
=2×3
=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确掌握找出公因式是解题关键．
10．6
【分析】将多项式因式分解后代入数值计算．
【详解】解：∵x＋y＝3，xy＝2，
∴x2y＋xy2＝xy(x+y)=,
故答案为：6．
【点睛】此题考查了多项式因式分解的应用，正确掌握多项式因式分解的方法是解题的关键．
11．16
【分析】先将x22x4=0化为x22x=4，再将d化为x2（x22x）+x22x8x4后整体代入计算可求解．
【详解】解：∵x2﹣2x﹣4＝0，
∴x2﹣2x＝4，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣10x﹣4
＝x2（x2﹣2x）+x2﹣2x﹣8x﹣4
＝4x2+4﹣8x﹣4
＝4（x2﹣2x）
＝16．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将d化x2（x22x）+x22x8x4是解题的关键．
12．-12
【分析】利用平方差公式分解因式后把，代入计算即可
【详解】解：∵，，
∴(x+y)(x-y)=3×(-4)=-12．
故答案为：-12．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
13．(1)
(2)

【分析】（1）根据材料所给公式进行分解即可；
（2）利用求根法进行因式分解．
【详解】（1）∵代数式对应的方程解为和5，
∴；
故答案为：；
（2）解：令：，
，
∴，
解得， ；
∴．
【点睛】本题考查求根法因式分解．理解并掌握题目中的求根法因式分解的方法是解题的关键．
14．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．
【详解】（1）解：由，得，
∵≥0，，
∴a-3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
（2）由得，

∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴=16；
（3）∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵，
∴，
∴，
∴a-4=0，c-5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
15．(1)A
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意得到，即可作出判断；
（2）根据题意由得到，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；
（3）由得到，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，即可求得c的取值范围．
（1）
解：


∵，，
∴≥4
∴不论x，y为何有理数，的值均为正数，
故选：A
（2）
∵，
∴，
∴，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴；
（3）
∵，
∴，
∴，
∴a－5＝0，b－4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，
∴，
即5≤c＜9，
即c的取值范围是5≤c＜9．
【点睛】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．
16．(1)25，5
(2)的最小值是
(3)，理由见解析

【分析】（1）根据完全平方公式求解；
（2）利用配方法求最小值即可；
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）x2-10x+25=（x-5）2，
故答案为：25，5；
（2）x2-8x+2
=x2-8x+16-16+2
=（x-4）2-14，
∵不论x取何值，（x-4）2总是非负数，
即（x-4）2≥0，
∴（x-4）2-14≥-14，
∴当x=4时，x2-8x+2有最小值，最小值是-14；
（3）M＞N．理由如下：
M-N
=4a2+9a+3-（3a2+11a-1）
=4a2+9a+3-3a2-11a+1
=a2-2a+4
=a2-2a+1-1+4
=（a-1）2+3，
∵（a-1）2≥0，
∴（a-1）2+3＞0，
∴M-N＞0，
∴M＞N．
【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，因式分解的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．
17．(1)-4，6
(2)见解析
(3)11或12或13

【分析】（1）仿照例题，结合完全平方公式分解因式即可；
（2）仿照例题将多项式变成完全平方式的形式，即可得到结论；
（3）将式子变形为完全平方式，根据三角形三边关系得到c的值，即可求出的周长．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
∴x+4=0，y-6=0，
∴x=-4，y=6．
故答案为：-4，6．
（2）
=
=
∵，
∴≥1，
∴代数式的值一定是一个正数．
（3）∵，
∴，
∴，
∴a-2=0，b-5=0，
解得a=2，b=5，
∵的三边长a、b、c都是正整数，5-2