上海市青浦区2022届高考二模数学试题（原卷+解析）

上海市青浦区2022届高考二模数学试题

一、单选题

1．“”成立的一个必要而不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

2．定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

4．设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（    ）

A． B． C． D．无穷多

二、填空题

5．已知为虚数单位，复数，则_________．

6．已知集合，，则集合_________．

7．已知角的终边过点，则的值为_________．

8．已知函数的反函数为，则_________．

9．若实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为_________．

10．已知为抛物线的焦点，过点的直线l交抛物线于，两点，若，则线段的中点到直线的距离为 _____．

11．已知数列的前项和,且满足,则正整数_____

12．一块边长为10cm的正方形铁片按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图(2)所示的正四棱锥容器，则当x=6cm时，该容器的容积为________cm3.

图(1)                  图(2)

13．受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）

14．若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_________．

15．已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．

16．已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．

三、解答题

17．如图，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，是弧的中点．

(1)求该圆柱的表面积和体积；

(2)求异面直线与所成角的大小．

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.

(1)求A；

(2)若a=2，的面积为，求b，c的值.

19．治理垃圾是改善环境的重要举措．地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的（记2020年为第年）.

(1)写出地每年需要焚烧垃圾量与治理年数的表达式；

(2)设为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列为递减数列．

20．已知椭圆的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点．

(1)若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；

(2)若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求面积的最大值；

(3)若椭圆Γ上存在点C使得|AC|＝|BC|，且的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．

21．设函数，定义集合，集合．

(1)若，写出相应的集合和；

(2)若集合，求出所有满足条件的；

(3)若集合只含有一个元素，求证：．

参考答案：

1．D

【分析】先求解，再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可

【详解】由有，解得，故“”成立的一个必要而不充分条件是“”

故选：D

2．C

【分析】曲线：上取点，利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，利用的范围可以判断出③，从而得出结论.

【详解】曲线：上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：，则，而椭圆：中，，故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个，

故选：C.

3．D

【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.

【详解】，因为，所以，因为，所以.

正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，

所以，所以的取值范围是.

故选：D

4．B

【分析】由已知可得，分析可知，则是的倍数，且，由已知，对的取值进行分类讨论，求出的值，并求出对应的的值，即可得出结论.

【详解】根据题意可知，，化简可得，

因为各项均为正整数，则，故是的倍数，且，

因为、、成等比数列，则，分以下情况讨论：

①若，则，可得，，解得，合乎题意；

②若，则，可得，，解得，合乎题意；

③若，则，可得，，解得，不合乎题意；

④若，则，可得，，解得，不合乎题意；

⑤若，则，可得，此时，是常数列，且每项均为，合乎题意.

综上所述，公差的所有可能取值的个数为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键时分析出，然后对的取值进行分类讨论，验证的值是否满足题意，即可得解.

5．

【分析】先将复数z化成的形式，再求模即可得答案.

【详解】解：因为，

所以.

故答案为：.

6．

【分析】由已知，根据题意给出的集合、集合的范围，可直接求解.

【详解】由已知，集合，，所以集合.

故答案为：.

7．

【分析】根据三角函数的定义计算即可.

【详解】解：因为角的终边过点，

所以.

故答案为：-2.

8．

【分析】根据互为反函数的定义域和值域的关系，即可求解.

【详解】令,所以

故答案为:

9．

【分析】根据约束条件，作出可行域，结合图象分析可得，当目标函数过点A时，截距最小，z有最小值，代入点坐标，即可得答案.

【详解】作出约束条件对应的可行域，如下图所示

联立，可得点，

目标函数整理为，

由图象可得，当目标函数过点时，截距最小，z有最小值，

此时.

故答案为：3

10．5

【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析即可．

【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，即．

分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有 .

过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，

，即到准线的距离为5．

故答案为：5

【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转化分析，属中档题．

11．8

【详解】 由题意，可得，所以，

 所以，

 即，解得，

 又，所以.

12．48

【详解】由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧高为5 cm，高为4 cm，所以所求容积为48 cm3.

13．

【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.

【详解】解：四个志愿者总的选择共种，

要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共种，

所以，

所以.

故答案为：.

14．；

【分析】依题意，不存在整数使不等式成立，设不等式的解集为，分情况讨论大于0且不等于1，等于1，小于0和等于0四种情况讨论，可得答案．

【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题，即不存在整数使不等式成立．

设不等式的解集为，

当时，得，不合题意；

当且时，原不等式化为，

，，要使不存在整数使不等式成立，

须，解得：且；

当时，，合题意，

当时，原不等式化为，，不合题意，

综上所述，．

故答案为：

15．

【分析】根据，可得，再根据结合指数运算可得，利用指数函数单调性求，运算整理．

【详解】

∵，即，则

又∵，即，则

∵，则，∴，则

∴

故答案为：．

16．或3.

【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可

【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.

再分析区间与的关系，因为，故或.

①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；

②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；

综上所述，或3

故答案为：或3.

17．(1)表面积为，体积为.

(2)

【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和体积公式可求出结果；

（2）根据，得到或其补角是直线与所成角，取弧的中点，连接、、，求出，进一步可得.

【详解】（1）由已知可得圆柱的底面半径，高，

，

（2），

∴或其补角是直线与所成角，

取弧的中点，连接、、，

，

在中，，

∴.

所以异面直线与所成角的大小为.

18．(1)

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用以及两角和的正弦公式代入计算即可；

（2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程组即可.

【详解】（1）由及正弦定理得

.

因为，

所以.

由于，

所以.

又，故.

（2）由题得的面积，故①.

而，且，故②，

由①②得.

19．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意可知从2020年开始的连续5年，焚烧垃圾量成等差数列，从第6年开始，成等比数列，根据等差等比的基本量即可求.

（2）根据年平均值的表达式，可得，然后根据的关系即可得到，结合等差等比的单调性，即可得到数列的单调性.

【详解】（1）设治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量构成数列.

当时，是首项为，公差为的等差数列，

所以；

当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，

所以，治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量的表达式为

（2）为数列的前项和，则．

由于

由（1）知，时，，所以为递减数列，

时，，所以为递减数列，

且，所以为递减数列，

于是，因此，所以数列为递减数列．

20．(1)3

(2)

(3)直线l：或或

【分析】（1）令，求出即可．

（2）设直线l：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式表达出的面积即可．

（3）分类讨论直线l，与椭圆方程联立，利用中点坐标公式求出M的坐标，再利用重心的性质求出C的坐标，代入椭圆即可求解．

【详解】（1）∵，令，则，∴，∴．

（2）设直线l：，，

联立得，则，

则，

，

，

令，则，

在上为增函数，

，当且仅当，即时取等号，

∴面积的最大值为．

（3）当直线l不与x轴重合时，

设直线l：的中点为M，

联立得，则，

则，

∵的重心G在y轴上，

∴

∴，

，

∴直线CM：

，代入椭圆得，

或

∴直线l：或

当直线l与x轴重合时，C点在椭圆的上，下顶点，满足题意，此时l：，

综上，直线l：或或

21．(1)，

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）由、解得，可得，；

（2）由得或，然后由，，方程只有一个实数解0，得， 转化为有唯一实数解0，可得答案；

（3）由条件，有唯一解，得有解，分有唯一解、有两个解，结合的图像和实数解的个数可得答案.

【详解】（1），，由解得或，由解得，所以，．

（2）由

，

得或，

，，而方程只有一个实数解0，所以，

即只需有唯一实数解0，所以．

（3）由条件，有唯一解，所以有解，

①若有唯一解，则，且有唯一解，结合图像可知，所以，所以．②若有两个解，

则，且两个方程，总共只有一个解，结合图像可知有唯一解，所以，，所以，且的对称轴，所以，所以．

综上，．

【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.